Komische Geradendarstellung

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27.07.2007, 10:17	Obert	Auf diesen Beitrag antworten »
Komische Geradendarstellung Hallo! Ich sitze hier vor einer Aufgabe, in der eine Gerade der Form 2x-2=y+1=z+2 gegeben ist. Kann man die irgendwie umschreiben? Grüße Obert
27.07.2007, 10:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komische Geradendarstellung Das ist der Schnitt der Ebenen E1: 2x - 2 = y + 1 E2: y + 1 = z + 2.
27.07.2007, 10:57	Obert	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komische Geradendarstellung Danke für die schnelle Antwort. Allerdings hilft mir das noch nicht so sehr weiter. Ich soll nämlich eine Ebene aufstellen, die durch die oben genannte Gerade geht und senkrecht auf der Ebene 2x+3y-z=4 steht. Dafür brauche ich doch einmal den Normalenvektor der Ebene und den Aufpunkt der Geraden oder geht das viel einfacher? Grüße Bertl
27.07.2007, 11:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus den von WebFritzi angegebenen Ebenengleichungen kannst du in gewohnter Weise die Parameterdarstellung der Schnittgeraden ermitteln. Ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor der Ebene $\begin{eqnarray} 2x + 3y - z = 4 \end{eqnarray}$ sind Richtungsvektoren der gesuchten Ebene. Ich habe als Ergebnis $\begin{eqnarray} 8x - 5y + z = 11 \end{eqnarray}$ erhalten.
27.07.2007, 12:00	Obert	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist richtig. Kannst du bitte mal die Parameterdarstellung der Schnittgeraden posten? Irgendwo muss ja mein Fehler liegen.
27.07.2007, 12:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine mögliche Parameterdarstellung der Geraden ist $\begin{eqnarray} \lambda \ \ \mapsto \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beachte aber, daß das nicht die einzige Möglichkeit ist. Du darfst einen anderen Stützvektor nehmen, und beim Richtungsvektor darfst du ein beliebiges skalares Vielfaches ungleich dem Nullvektor nehmen.
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27.07.2007, 13:03	Obert	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich völlig verwirrt. Wenn ich die Schnittgerade ausrechnen will, komme ich mit den beiden Ebenen E1: 2x-y-3=0 und E2: y-z-1=0 nicht auf die genannte Gerade. Wie kommt man auf diese und wie berechnet man danach die Ebene?
27.07.2007, 13:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{matrix} 2x & - & y & & & = & 3 \\ & & y & - & z & = & 1 \end{matrix} \end{eqnarray}$ hat bereits Stufenform. Führe für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ einen Parameter ein, z.B. $\begin{eqnarray} y = 2 \lambda \end{eqnarray}$ .
27.07.2007, 20:37	Obert	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt in der zweiten Gleichung ersetze $\begin{eqnarray} y = 2\lambda \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2\lambda - z = 1 \Rightarrow z = -1 + 2\lambda \end{eqnarray}$ und in die erste Gleichung einsetze: $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2x - 2\lambda = 3 \Rightarrow 2x = 3 + 2\lambda \Rightarrow x =\frac{3}{2} +\lambda \end{eqnarray}$ Mit den errechneten x, y, z stelle ich dann folgende Geradengleichung auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Stützvektor ist hier aber anders. Was bedeutet, dass ich einen anderen Stützvektor nehmen kann? Wovon ist das abhängig? Ich hatte einen Wert immer nur durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ersetzt und hab deshalb nur ein vielfaches von deinem Richtungsvektor erhalten. Aber damit hätte es ja auch funktionieren müssen. Dann liegt mein Fehler wohl beim Aufstellen der Ebenengleichung. Was muss ich genau machen, um $\begin{eqnarray} 8x - 5y + z = 11 \end{eqnarray}$ herauszubekommen?
27.07.2007, 20:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
2 geraden sind identisch, wenn die differenz ihrer stützvektoren und jeweils ein richtungsvektor linear abhängig sind. das trifft bei den beiden geraden, die leopold und du angegeben haben, zu wie man leicht nachrechnen kann. der stützvektor ist doch einfach nur ein ortsvektor eines beliebigen punktes auf der gerade. und da die gerade unendliche viele punkte besitzt, kann man auch unendlich viele verschiedene stützvektoren angeben.
27.07.2007, 21:57	Obert	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp! Daran hatte ich überhaupt nicht gedacht! Jetzt muss ich nur noch wissen, wie ich die Ebene aufstelle.
27.07.2007, 23:07	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum stellst du das in die Hochschulmathematik?

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