Integrale Substitution

17.02.2005, 15:03

LK_Loser

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Integrale Substitution

Hey Leute

smile

Ich bin grad voll am verzeifeln....
Also wir haben grad mit "Integration durch Substitution" gemacht und ich dachte eigentlich ich hätte es verstanden. Jetzt sitzt ich hier vor der Aufgabe und komm aber voll nicht klar und hoffe mir kann jemand helfen...denn die Beispiele im Buch beziehen sich alle nur auf Brüche und jetzt ist es mal keiner und überhaupt....also hier ist die Aufgabe:

Ich soll das Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^2*e^{x^3+1}~dx \end{eqnarray*}$

Sorry komme mit dem Formeleditor nicht klar, weiß nicht was das komische br da oben soll und da wo e^x steht muss e^x^3+1 stehen....hoffe man versteht was ich meine unglücklich

unglücklich

Vielen Dank für eure Hilfe smile

smile

edit: latex-Code verbessert, bitte keine Zeilenumbrüche Augenzwinkern

Augenzwinkern

(MSS)

17.02.2005, 15:06

iammrvip

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LaTeX mag was bloß nicht, wenn du Absätze zwischen den Tag und dem Code machst. (HTML Problem), sonst hast du alles richtig eingegeben.

Das Integral muss du mit partieller Integration (Produktintegration) lösen. (mehrfach anwenden)

Kennst du das verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b~u\cdot v'~\mathrm dx = \left[u\cdot v\right]_a^b - \int\limits_a^b~u'\cdot v~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 15:08

LK_Loser

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Re:
...ach so und z=g(x) =x^3+1
und abgeleitet dementsprechend g'(x)=3x²
was mir aber auch nix bringt...

17.02.2005, 15:08

LK_Loser

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Ja ich kenen das schon aber irgendwie weiß ich grad nicht wie ich das hinkreige...die Aufgabe a) davon war mit nem bRuch da hab ich das einfach wie in den Beispielen gemacht, kannst du mir helfen bitte?!

17.02.2005, 15:10

LK_Loser

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Über der Aufgabe steht aber Lösen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution und nicht Produkintegration....

17.02.2005, 15:12

iammrvip

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Sorry, hab deine untere Zeile übersehen. Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1~x^2\mathrm e^{x^3 + 1}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Dann machst du alles richtig, wenn du

$\begin{eqnarray*} z = x^3 + 1 \end{eqnarray*}$

substituierst. Freude

Freude

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17.02.2005, 15:15

LK_Loser

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lol prima soweit war ich auch schon ;-)
Mur das substitoieren an sich klappt grad bei mir nicht....*hust*....ich steh wohl mal wieder auf der Leitung....könntest du mir sagen wie die geht udn wir versuchen die nächste gemeinsam....?

Ach und ist von sin²(x) die Ableitung ist 2cos(x)?
Hat nichts mit dieser Aufgabe zu tun aber mit einer anderen...

17.02.2005, 15:30

Calvin

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Zitat:

Original von LK_Loser
Ach und ist von sin²(x) die Ableitung ist 2cos(x)?

Nein. Benutze entweder die Kettenregel oder schreibe es als sin(x)*sin(x) und leite mit der Produktregel ab.

17.02.2005, 15:31

LK_Loser

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Hallo....noch da? Wink

Wink

17.02.2005, 15:31

iammrvip

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Zitat:

Original von LK_Loser
lol prima soweit war ich auch schon ;-)
Mur das substitoieren an sich klappt grad bei mir nicht....*hust*....ich steh wohl mal wieder auf der Leitung....könntest du mir sagen wie die geht udn wir versuchen die nächste gemeinsam....?

Ich zeig's der mal an einem anderen Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_2^3~x\mathrm e^{x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

ich substituiere:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich aber auch, dx ersetzen. Dazu leite ich beide Seiten der Gleichung nach x ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = 2x \end{eqnarray*}$

und stelle noch nach $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ um

$\begin{eqnarray*} \mathrm dx = \frac{\mathrm du}{2x} \end{eqnarray*}$

jetzt können wir wunderbar ersetzen. Wir müssen nur darauf achten, dass die Grenzen jetzt von u abhängen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_2^3~x\mathrm e^{x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int\limits_{u(2)}^{u(3)}~\mathrm e^{u}\cdot x~\frac{\mathrm du}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int\limits_{u(2)}^{u(3)}~\frac{1}{2}\mathrm e^u~\mathrm du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ können wir noch aus dem Integral ziehen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\int\limits_{u(2)}^{u(3)}~\mathrm e^u~\mathrm du \end{eqnarray*}$

jetzt können wir integrieren:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\left[\mathrm e^u\right]_{u(2)}^{u(3)} \end{eqnarray*}$

re-substituieren:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\left[\mathrm e^{x^2}\right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\left(\mathrm e^9 - \mathrm e^4\right) \end{eqnarray*}$

fertig Freude

Freude

. Versuch's mal an deinem Beispiel.

Zitat:

Ach und ist von sin²(x) die Ableitung ist 2cos(x)?
Hat nichts mit dieser Aufgabe zu tun aber mit einer anderen...

Du darfst du äuüßere Funktion nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

/edit: nicht so hastig, muss ja erstmal schreiben traurig

traurig

17.02.2005, 15:32

LK_Loser

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Ich glaub mein PC spinnt...ok hab deine Antowrt gelsen...aber warum steht es dann auf der Seite zur Substitution udn uns wurde gesagt wir müssen das substituieren - man bin cih jetzt verwirrt....

17.02.2005, 15:32

LK_Loser

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*das Beispiel zu verstehen versucht*

17.02.2005, 15:34

iammrvip

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Das ist ein anderes Beispiel als deines oder was verwirrt dich jetzt

verwirrt

17.02.2005, 15:34

LK_Loser

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SORRY hab vergessen, dass das mit dem komischen Editor was länger dauert ;-)

Ok ich versuche jetzt das auf meine Aufgabe zu übertragen....
kanna uch dauern :P

17.02.2005, 15:35

JochenX

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Zitat:

Original von LK_Loser
Hallo....noch da? Wink

Wink

was soll denn dieses gepushe??!
etwas geduld bitte unglücklich

unglücklich

17.02.2005, 15:41

LK_Loser

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Sorry hatte mich verlesen....ist wohl heut nicht mein Tag.

Also die Ableitung von sin2(x)...Kettenregel...ist dann....oh mann.....2cos(x)*cos(x)....wenn ich die ganze Zeit nur aufleite verlern ich das ableiten voll....

Ok und jetzt die Übertragung auf die Aufgabe:

Ich habe dz = 3x²dx und dann....argh....
Also irgendwie...nee ich kann das Bsp nicht mal nachvollziehen.... Hammer

Hammer

Ich glaube ich gebe auf....

@LOED Sorry...

17.02.2005, 15:44

iammrvip

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Zitat:

Original von LK_Loser
Also die Ableitung von sin2(x)...Kettenregel...ist dann....oh mann.....2cos(x)*cos(x)....wenn ich die ganze Zeit nur aufleite verlern ich das ableiten voll....

innere Funktion $\begin{eqnarray*} v(x) = \cos x \end{eqnarray*}$
äußere Funktion $\begin{eqnarray*} u(v) = v^2 \end{eqnarray*}$

Also verwirrt

verwirrt

Zitat:

Ich habe dz = 3x²dx und dann....argh....
Also irgendwie...nee ich kann das Bsp nicht mal nachvollziehen.... Hammer

Hammer

Ja stimmt. Du musst aber $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ ersetzen, Also stellst du die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ um und das setzt du dann statt $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ ein.

17.02.2005, 15:45

LK_Loser

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Komtm aber bei

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~sin²(x)*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

0 raus?

Ebenso wie bei
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~sin(x)*cos^3(x)~dx \end{eqnarray*}$

auch = 0?

Das hab ich mit Produktintegration gemacht und da kam bei mir 0 raus...

17.02.2005, 15:47

iammrvip

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Zitat:

Original von LK_Loser
Komtm aber bei

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~sin²(x)*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

0 raus?

substituiere:

$\begin{eqnarray*} u = \cos x \end{eqnarray*}$

Beim zweiten ist es anders, was denkst du verwirrt

verwirrt

und warum.

17.02.2005, 15:47

Calvin

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Zitat:

Original von LK_Loser
Also die Ableitung von sin2(x)...Kettenregel...ist dann....oh mann.....2cos(x)*cos(x)....wenn ich die ganze Zeit nur aufleite verlern ich das ableiten voll....

Ich hoffe, es gibt hier jetzt nicht zu viel Durcheinander. Aber ich antworte trotzdem mal dazwischen. Im Normalfall darfst du dafür einen neuen Thread eröffnen. Das macht es auch für dich einfacher.

Die Ableitung ist auch falsch. Als äußere Funktion hast du $\begin{eqnarray*} u(v)=v^2 \Rightarrow u'(v)=2v \end{eqnarray*}$ und als innere Funktion $\begin{eqnarray*} v(x)=\sin(x) \Rightarrow v'(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt dann mit der Kettenregel $\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(v)\cdot v'(x) \Rightarrow f'(x)=2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$

Gruß
Tobi

Edith weist mich gerade darauf hin, dass ich das nächste mal schneller tippen soll *lol*

17.02.2005, 15:55

LK_Loser

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Ok ich dachte das muss alles in einen Thread, dann weiß ich Bescheid.

Jetzt erinner ich mich wieder wie das bei sin/cos ableiten war...glaub ich zunindest Hammer

Hammer

Dann vergesst einfach mal die 1. Aufagbe, die ich eh nicht kapiere und wir bleiben jetzt bei dem was ich mit produktintegration geschrieben hab, wo dann wohl leider doch nicht 0 raus kommt.

Also zu der 1.

$\begin{eqnarray*} \int_{PI}^{0}~sin²(x)*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

da hab ich
u(x) = sin²(x)
u'(x)=2sin(x)*cos(x)
v(x)sin(x)
v'(x)=cos(x)

Stimmt das soweit?

17.02.2005, 15:56

LK_Loser

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Sorry vertippt udn da ich kein User hier bin kann ich nicht editieren....die Intervallgrenzen sind genau umgekehrt oben PI und unten O

17.02.2005, 15:56

iammrvip

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Nein, ist hier überflüssig, kostet nur wertvolle Zeit. Das ist eine wunderschöne Substitutionsaufgabe.

substituiere: $\begin{eqnarray*} u = \sin x \end{eqnarray*}$

/edit: LK_Loser du kannst du auch anmelden, da kannst du Beiträge editieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.02.2005, 16:01

LK_Loser

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lol das verleitet mich nur euch öfter zu nerven und mich unbeliebt zu machen....da ich wohl kaum in der Lage bin andern zu helfen...

Das ist jetzt wohl wieder Schicksal, denn mir wurde von höchster Stelle = mein Mathe Lehrer befohlen diese Aufgabe mit Produktintegration zu machen....freak.... verwirrt

verwirrt

...aber in der Aufgabenstellung steht es wäre beides möglich....d.h man kann ja beides versuchen....beginnen wir mit Produktintegration ;-) also stiimmte denn die Einteilung sowei? Ich nehme es jetzt einfach mal an und amche weiter....

17.02.2005, 16:03

LK_Loser

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Also das ist dann

$\begin{eqnarray*} [sin²(x)*sin(x)][x]_{0}^PI-\int_{0}^{PI}~(2sin(x)*cos(x)*sin(x)~dx \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 16:04

LK_Loser

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Weiter gemacht :
(wollte nämlich noch gar nich posten ;-)

$\begin{eqnarray*} [sin²(x)*sin(x)][x]_{0}^PI-\int_{0}^{PI}~(3sin(x)*cos(x))~dx \end{eqnarray*}$

so das nach dem - muss ich dann aufleiten....

17.02.2005, 16:05

iammrvip

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Gauenvoll, das so zu machen...aber wenn du unbegint willst.

bis jetzt stimmt's noch.

Zitat:

Original von LK_Loser
$\begin{eqnarray*} [sin²(x)*sin(x)][x]_{0}^PI \end{eqnarray*}$

wo kommt denn das x her??

17.02.2005, 16:09

LK_Loser

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Sorry aber wenn der, also mein lehrer, das so sagt muss ich wohl....

Also:

$\begin{eqnarray*} [sin²(x)*sin(x)][x]_{0}^PI-[\frac{2}{3}sin²(x)*\frac{1}{2}cos2(x)][x]_{0}^PI \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 16:10

iammrvip

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Was macht denn das $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ dort immer verwirrt

verwirrt

17.02.2005, 16:10

LK_Loser

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ehmm ehrlich gesagt, das weiß ich auch nicht...ich ahsse den editor...bzw. ich bin zu blöd dafür...also dieses extra[x] teil muss beide male weg....

17.02.2005, 16:11

LK_Loser

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$\begin{eqnarray*} [sin²(x)*sin(x)]_{0}^PI-[\frac{2}{3}sin²(x)*\frac{1}{2}cos2(x)]_{0}^PI \end{eqnarray*}$

Glaube jetzt müsste es weg sein....

17.02.2005, 16:12

iammrvip

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Also du meinst so:

$\begin{eqnarray*} &. \int\limits_0^{\pi}~\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx \\ &= \left[\sin^2x \cdot \sin x\right]_0^{\pi} - \int\limits_0^{\pi}2\sin x\cdot \cos x\cdot \sin x~\mathrm dx \\ &= \left[\sin^3x\right]_0^{\pi} - \int\limits_0^{\pi}2\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 16:16

LK_Loser

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Bis auf die 3. Zeile, die ich anders gehabt hätte...ja!
*scih erstmal mit SChokolade beruhigt*

17.02.2005, 16:21

LK_Loser

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Abgesehen von der Tatsache, dass mir das nicht aufgefallen wäre wo ist da ein cos²?

Kann ich jetzt nicht "einfach" wieder aufleiten in [] und dann mit f(b)-f(a) das Integral berechenen?

17.02.2005, 16:23

iammrvip

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Nein, wir machen das besser anders. Du hast du jetzt diese Gleichung stehen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\pi}~\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx &= \left[\sin^3x\right]_0^{\pi} - \int\limits_0^{\pi}2\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Die 2 kann man noch aus dem Integral ziehen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\pi}~\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx &= \left[\sin^3x\right]_0^{\pi} - 2\int\limits_0^{\pi}\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

fällt dir was auf verwirrt

verwirrt

17.02.2005, 16:28

LK_Loser

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ja da rechts im Integral steht jetzt das gleiceh wie links in der Ausgangsgleichung...
Ok was mach ich jetzt damit....ich tu den rechten teil links rüber dann hab ich da 2..... und dann kann ich das wieder teilen oder so....ja?!

17.02.2005, 16:31

iammrvip

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Genau so

Freude

.

Aber 2 + 1 = 3

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\pi}~\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx &= \left[\sin^3x\right]_0^{\pi} - 2\int\limits_0^{\pi}\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx \\ 3\int\limits_0^{\pi}~\sin^2x\cdot \cos x~\mathrm dx &= \left[\sin^3x\right]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 16:39

LK_Loser

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$\begin{eqnarray*} 3\int_{0}^{pi}~sin²(x)*cos(x)dx~dx \ = sin³(x)[x]_{0}^pi \ \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 16:40

LK_Loser

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Toll...das stand ja da schon ;-) Na ja egal so hab ichs selber noch mal geschafft...ok ich versuchs weiter....ich leite das linke Integral auf?

17.02.2005, 16:41

LK_Loser

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obowhl nee ich wollte durch 3 teilen...

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