konvergenzüberprüfunge einer reihe 1/ ...

17.02.2005, 19:37

gtb

konvergenzüberprüfunge einer reihe 1/ ...

Ahoi ich hab folgende reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \end{eqnarray*}$

ich bab mir überlegt dass die wohl konvergiert weil

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)} > n \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

weil ja alle $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$ für k > 1 konvergieren folgere ich also dass obige reihe konvergiert. ABER reicht das als begründung?

ich finde auch einfach kein passendes kriterium meine vermutung zu belegen... da sich die abschätzung dann im unendlichen so dermaßen dicht aneinander bewegt fällt mir kein passende majoratenfolge ein die ich da dazwischenquetschen kann...

alle andere kriterien hab ich ähnlich erfolglos versucht - irgendwer ne idee?

17.02.2005, 21:00

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RE: konvergenzüberprüfunge einer reihe 1/ ...

Zitat:

Original von gtb
alle $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$ für k > 1 konvergieren

Richtig.

Zitat:

Original von gtb
folgere ich also dass obige reihe konvergiert.

Falsch - für k=1 divergiert die obige Reihe. Und das ist letztendlich das, worauf es bei diesem Beispiel drauf ankommt.

Als Tipp: Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} > \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

18.02.2005, 11:09

gtb

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)}=m; m^k > n^l; m=n \Rightarrow k>l : l=1 \Rightarrow k>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l=1; k > 1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert

oder nicht? will sagen diese Wurzel wird im unendlichen fast wieder zu n aber nur fast sies immer ein stückchen größer, damit folgt dass der exponent über dem "bisschen-größer-als-n"-n größer als 1 ist, damit ist doch die vorr. für eine konvergierende reihe gegeben... ? oder nicht?

.... so und jetzt rechne ich A.D's Vorschlag ;-)

EDIT: a jetzt sehe ichs... da ist ja ne perfekte minorante, also muss ich hier auch ingrenzwerten denken? wenn es sich im unendlichen wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ verhällt dann sind auch konvergenz/divergenz gleich?

18.02.2005, 12:43

gtb

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aufbauend auf den vorigen überlegungen nun die nächste, ähnliche aufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{\sqrt{n^3+n}} \end{eqnarray*}$

meine vermutung: konvergiert

finden einer majoranten konvergenten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n^\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{\sqrt{n^\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$ *

nun gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^\frac{5}{2}}} > \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} \end{eqnarray*}$ mit * folgt Reihe ist konvergent

18.02.2005, 13:02

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Zitat:

Original von gtb
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}} \end{eqnarray*}$

meine vermutung: konvergiert

Richtig, kannst übrigens auch gleich die Majorante

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{n^3}} > \frac{1}{\sqrt{n^3+n}} \end{eqnarray*}$

nehmen.

18.02.2005, 13:06

gtb

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ gibt es einen weg zu zeigen dass die konvergiert mit allem AUSSER dem Integralkriterium (wurzelkrit, quotientenkrit. irgendsowas)?

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Ma...%29#Beispiele_2

weil falls so eine aufgabe drankommt darfich integral nicht nutzen weil das hatten wir nicht... wenns aber keinen andere weg gibt dann wüsste ich dass diese nicht drankommen Hammer

denn letztlich kann ich ja nicht aus purer laune heraus eine majorante hernehmen ohen zu zeigen dass auch die majorante konvergiert... oder?

18.02.2005, 13:53

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Schwierig aus der Ferne zu beurteilen, was als bekannt voraus gesetzt werden kann und was nicht. Ich sehe das Wissen über das Konvergenzverhalten der Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{-s} \end{eqnarray*}$

(also s > 1 Konvergenz, s <= 1 Divergenz) als Standard an - aber deine Lehrer/Professoren sehen das möglicherweise anders. Wie man das ohne Integral nachweist - auf jeden Fall geht es mit Bernoulli-Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)^s\geq 1+sx \end{eqnarray*}$ , aber vermutlich darfst du die auch nicht verwenden...

18.02.2005, 13:58

gtb

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doch die hatten wir... und wie ich grad feststelle haben wir auch dieses "kriterium" 1/n^k im hefter... hab den dozenten mal gemailt was seine meinung dazu ist.

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