Mittelsenkrechte, gleichseitiges Dreieck

17.02.2005, 20:36	Delfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelsenkrechte, gleichseitiges Dreieck Mein Problem lautet: Gegeben sind die Punkte A (3\|1\|-2), B (7\|-1\|2) und P(3\|-2\|1). Bestimmen Sie die Gleichung der Mittelsenkrechten m der Strecke AB, die durch den Punkt P geht. Für die Mittelsenkrechte m bekomme ich x1 = 5 - 2t x2 = 0 - 2t x3 = 0 + t raus. Jetzt soll ich die Koordinaten des Punktes P* so bestimmen, dass P* auf m liegt und das Dreieck ABP* gleichseitig ist. Wie komme ich darauf? Kann mir da jemand einen Denkanstoß geben?
17.02.2005, 20:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In jedem gleichseitigen Dreieck hat die Höhe auf eine Seite $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ die Länge $\begin{eqnarray} h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ kannst du berechnen, es ist ja die Länge der Strecke $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Du mußt also nur vom Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ aus den auf die richtige Länge gebrachten Richtungsvektor von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ abtragen (zwei Lösungen).
17.02.2005, 21:12	Delfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, für a bekomme ich ja $\begin{eqnarray} h = 3\sqrt{3} \end{eqnarray}$ , das hab' ich mir fast schon gedacht, dass ich damit irgendwas machen muss. Aber ich kann den zweiten Teil irgendwie nicht nachvollziehen!?
17.02.2005, 21:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Um den Richtungsvektor von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ auf die richtige Länge zu bringen, gehe so vor: 1. Normiere ihn (d.h. teile ihn durch seine Länge, so daß er die Länge 1 hat) 2. Multipliziere ihn mit $\begin{eqnarray} 3\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Jetzt hat er die richtige Länge. Und jetzt mußt du ihn am Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ ansetzen. Ich kann dir aber auch noch eine Alternativlösung aufzeigen: Nimm einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray} P_t \end{eqnarray}$ der Geraden $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ (der Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ kommt also noch in ihm vor). Bestimme in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ den Abstand von $\begin{eqnarray} P_t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (oder $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ). Und jetzt muß dieser Abstand 6 sein.
17.02.2005, 21:24	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so gemeint: Die Koordinaten eines Punktes kann man berechnen, wenn man zu einem anderen Punkt den Vektor dazu zählt, der vom "anderen" Punkt zu deinem gesuchten reicht. neuer Punkt = bekannter PUnkt + Vektor (vom bekannten Punkt bis zum neuen Punkt) Dein bekannter Punkt ist M(AB) und zu dem musst du den Normalvektor der Strecke AB dazuzählen, aber der Normalvektor muss genau so lang sein wie die Höhe, denn sonst schießt er ja über deinen gesuchten Punkt hinaus, oder ist zu kurz. Daher musst nun vom Normalvektor den Einheitsvektor machen, denn der ist 1 cm lang, steht aber noch immer im rechten Winkel auf die Strecke AB. Dann multiplizierst den Einheitsvektor mit der Länge der Höhe, denn dann reicht der Vektor genau von M zu P. Und diesen verlängerten Vektor zählst dann zu M dazu. Und einmal musst ihn subtrahieren, denn dann geht er in die entgegengesetzte Richtung zu P1, denn es gibt 2 PUnkte auf der Mittelsenkrechten, die die Bedingung erfüllen, dass ein gleichseitiges Dreieck entsteht. lg kiki ps.... zu spät
17.02.2005, 21:25	Delfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, besten Dank euch beiden! Jetzt hab' ich's auch kapiert.
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