Berechnen einer Ergänzungspyramide

28.07.2007, 20:35

Bino65

Berechnen einer Ergänzungspyramide

Folgende Aufgabe:
Gegeben ist ein quadratischer Pyramidenstumpf mit der Grundkante a1 = 9,8 cm und der Deckkante a2 = 6,4 cm. Das Volumen V beträgt 479 cm³.
a) Berechnen Sie die Höhe des Stumpfes

Habe ich ausgerechnet ( 7,2 cm gerundet)

b) Fertigen Sie eine Skizze an, mit der man die Gesamthöhe des Stumpfes und der Ergänzungspyramide berechnen kann.

Habe ich auch schon erledigt. Hänge sie als Anhang an.

c) Berechnen Sie die Höhe hs der gesamten Pyramide ( Schnitt verwenden)

Hier bin ich mir nicht sicher wie ich anfangen soll. Die Diagonalen AC(Grundfläche zu a1) = 13,859 cm und die Diagonale EG ( Grundfläche zu a2) = 9,0514 (gerundet) cm.
Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

d) Berechnen Sie die Mantelfläche der gesamten Pyramide. Die gesamte Pyramide ist zusammengesetzt aus dem Stumpf und der Ergängzungsyramide.

Das dürfte dann nicht mehr das Problem sein: M = 4\cdot \frac{1}{2} \cdot g\cdot hs

Kann mir jemand helfen?

Danke

28.07.2007, 21:17

magneto42

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Hallo Bino.

a) und b) sind ok.

c) Die Höhe der Gesamtpyramide erhält man bequem über den Strahlensatz. Schau Dir dazu in Deiner Zeichnung die Höhe der Pyramide und die Seitenlinie hs an. Siehst Du die parallelen Linien, die diese "Strahlen" schneiden?

d) Die Mantelfläche der Pyramide ist:

$\begin{eqnarray*} M = \frac{4 \cdot a_1 \cdot h_s}{2} \end{eqnarray*}$

29.07.2007, 11:15

Bino65

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Vielen Dank. Kannst Du mal überprüfen ob ich das richtig gemacht habe oder ob bei mir ein Denkfehler vorliegt.

: c² = a² + b²
c² = 9,8² + 9,8² c² = 6,4² + 6,4²
c² = 192,08 c² = 81,92
c = $\begin{eqnarray*} \sqrt{192,08} \end{eqnarray*}$
c = 13,859 c = 9,051

a1 = $\begin{eqnarray*} \frac{AB}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ a2= $\begin{eqnarray*} \frac{AB}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

=
=
6,4 • (7,4 + hE) = 9,7997 • hE
47,36 + 6,4 • hE = 9,7997 • hE
47,36 = 3,3997 • hE
hE = 13,9306
Die Höhe der Ersatzpyramide beträgt (rund) 13,93 cm

hs² = h² + ( $\begin{eqnarray*} \frac{hE}{h+hE} \end{eqnarray*}$
hs² = 13,9306² + ( )²
hs² = 194,0616+ 24,01
hs² = 218,0716
hs =
hs = 14,7672 cm 14,77 cm

Die Größe hs beträgt (rund) 14,77 cm

29.07.2007, 13:30

mYthos

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Aus deinen Bezeichnungen kann man als Aussenstehender nichts wirklich Schlüssiges herauslesen! Was ist denn c, AB, hE ??

Nichtsdestoweniger erscheinen weder dein h_E noch h_s richtig!

Eine Diskrepanz liegt auch in der Bezeichnung der Höhen. In der Zeichnung ist h_s die Seitenhöhe (Höhe der Seitenflächen), im Text aber die Gesamthöhe der Pyramide! Zur Vermeidung von Mißverständnissen bzw. eines Durcheinanders habe ich die Höhe der Gesamtpyramide mit $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ bezeichnet, $\begin{eqnarray*} h_s \end{eqnarray*}$ ist die Höhe der Seitenflächen der Gesamtpyramide, $\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ die Höhe der Ergänzungspyramide.

Wenn du den Strahlensatz richtig anwendest, ist zumindest zur Berechnung der Höhe der Gesamtpyramide kein Pythagoras vonnöten!

Noch zusätzlich verdirbt die Mischung aus LaTex und nicht bei allen Browsern lesbaren Hochzahlen die Übersichtlichkeit. Also nicht a², sondern $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ . Verwende doch durchgehend LaTex.

$\begin{eqnarray*} a_1 = 9,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = 6,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = 7,195 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_1 \ldots \text{Höhe der Gesamtpyramide} \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} h_2 = h_1 - h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 : h_1 = a_2 : (h_1 - h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to h_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt h_s mittels Pythagoras ...

[Mein Kontr. Ergebnis, o. A. a. Ff.: $\begin{eqnarray*} h_1 = 20,74; \ h_s = 21,31 \end{eqnarray*}$ ]

mY+

29.07.2007, 14:52

Helferlein

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@mYthos

Evtl. ist Dein

$\begin{eqnarray*} a_1=9,8cm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=6,4cm \end{eqnarray*}$

hier etwas verwirrend.

Da $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ lt. Aufgabenstellung die kompletten Seitenlängen sind.

Für den Strahlensatz betrachte ich eigentlich folgende Verhältnisse :

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{2} : h_1 = \frac{a_2}{2} : (h_1-h) \end{eqnarray*}$

D.h. ich betrachte das rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse $\begin{eqnarray*} h_s \end{eqnarray*}$ und den beiden Seiten $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}a \end{eqnarray*}$ , welches rot in der Zeichnung hervorgehoben ist.

Natürlich ändert sich am Ergebnis nichts smile

30.07.2007, 14:12

mYthos

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Wieso verwirrend? verwirrt

Das sehe ich nicht ein. Die Proportion kann doch genauso gut mit den (ganzen) gleichschenkeligen Dreiecken erstellt werden (nicht nur mit den halben rechtwinkeligen), daher durchaus

$\begin{eqnarray*} a_1 : h_1 = a_2 : \ \ \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

30.07.2007, 15:11

Helferlein

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Ich sagte ja auch "eventuell".

Natürlich kann man die Proportionen mit den ganzen gleichschenkligen Dreiecken erstellen, keine Frage.

In der Schule betrachtet man aber eher das rot dargestellte Dreieck und geht davon aus.
Zumindest fällt es mir persönlich schneller auf, vielleicht gerade weil es rot ist^^

Ich rechne dann der Einfachheit halber "intern" auch mit $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ . Aber halt auch nur weil ich weiß warum.

Wird einem der Strahlensatz nur anhand des roten Dreiecks erklärt tut man sich "evtl." schwer das auf das ganze Dreieck umzusetzen.
Zumindest beim ersten Mal smile

Auf jeden Fall ist´s nun für ihn einfacher, da er nun beide Möglichkeiten zur Ermittlung anhand der Zeichnung sehen kann smile

30.07.2007, 19:08

Bino65

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Die Höhe der Ergänzungspyramide habe ich nun auch herausbekommen. Allerdings habe ich als Ergebnis: 13,54352941 cm. Wenn ich da nun die Höhe des Pyramidenstumpfes dazu rechne ( 7,195 cm) komme ich auf 20,738 cm.

Aber für die Länge h (tiefergestelltes s) bekomme ich einen komplett anderen Wert.
c² = a² + b²
c² = 4,9² + 20,738²
c² = 454,074644
c = $\begin{eqnarray*} \sqrt{454,074644} \end{eqnarray*}$
c = 21,309 = 21,31 cm

Die Länge der Linie h (tiefergestelltes s) beträgt also für die komplette Pyramide (rund) 21,31 cm.

Liege ich nun richtig? Der Wert von Mythos mit 7,39 ist mir etwas dubios bei einer Gesamthöhe von 20,74 cm.

Und vielleicht kann mir jemand auch mal erklären wie ich tiefergestellte Zahlen oder Buchstaben einfügen kann. Finde diese im Formeleditor nicht.

Danke.

Bino

30.07.2007, 20:53

riwe

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A_x $\begin{eqnarray*} \to A_x \end{eqnarray*}$

30.07.2007, 21:05

Bino65

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Danke für das tiefergestellte x.

Bino

30.07.2007, 23:33

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
[Mein Kontr. Ergebnis, o. A. a. Ff.: $\begin{eqnarray*} h_1 = 20,74; \ h_s = 21,31 \end{eqnarray*}$ ]
...

Das wurde doch schon längst richtig zugeordnet, bitte mal lesen! 7,39 war die Seitenhöhe beim Pyramidenstumpf.

Und nochmals: NICHT c², sondern c^2, in LaTex -> $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$

mY+

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