Punkte einer Ebene

03.08.2007, 19:02

FrankyHill

Punkte einer Ebene

Hallo,
gegeben is die Ebenenschar:

$\begin{eqnarray*} (\lambda +1)x+(2\lambda -1)y+z=0 \end{eqnarray*}$

ich soll nun 2 Punkte bestimmen die in jeder Ebene liegen.
Gut, Punkt 1 ist klar=(0,0,0) aber wie ermittele ich einen weiteren?

03.08.2007, 19:13

tmo

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setze für x und y einfach mal 1 ein.

stelle dann nach z frei.

edit: ups, sorry. ich hab gedacht du suchst einen punkt in abhängigkeit von lambda. vergiss das also Big Laugh

03.08.2007, 19:14

FrankyHill

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RE: Punkte einer Ebene
Mein Hauptproblem liegt darin das ich schwierigkeiten habe die Gleichung in Abhänigkeit von Lambda zu formen, so das ich durch den Koeffizientenvergleich zwei Gleichungen erhalte.

03.08.2007, 19:19

tmo

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so jetzt wo ich den aufgabentext richtig durchgelesen habe, kann ich dir richtig antworten:

du suchst ein x,y,z, für welche folgende gleichung erfüllt ist
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1 +1)x+(2\lambda_1 -1)y+z=(\lambda_2 +1)x+(2\lambda_2 -1)y+z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \neq \lambda_2 \end{eqnarray*}$

kleiner tipp: schneide einfach erst zwei ebenen der schar und schneide danach die schnittgerade mit einer weiteren ebene der schar. natürlich solltest du dabei aufpassen, dass die 3 ebenen nicht parallel btw. orthogonal zueinander sind.

danach zeigst du, dass der errechente durchstoßpunkt auf allen ebenen der schar liegt.

03.08.2007, 19:23

FrankyHill

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In der Aufgabenstellung steht in der Gleichung =0 , bestimmen sie 2 Punkte die in jeder Ebene liegen.

03.08.2007, 19:27

riwe

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bestimme einfach die schnittgerade der schar und wähle 2 punkte auf dieser,
z.b. für $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$

03.08.2007, 19:33

tmo

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eine weitere möglichkeit wäre einfach das "ausprobieren".

wenn man für x 2 einsetzt, hast du 2 lambda.

was musst du dann für y einsetzen, damit die lambda wegfallen?

und damit am ende 0 rauskommt, kannst du dann noch z anpassen.

03.08.2007, 19:40

FrankyHill

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Also

$\begin{eqnarray*} (\lambda +1)x+(2\lambda -1)y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1:\lambda =0 , E_2:\lambda =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1=(0+1)x+(2*0-1)y+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2=(1+1)x+(2*1-1)y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1=x-y+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2=2x+y+z=0 \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

Daraus dann die normalen Vektoren ablesen

$\begin{eqnarray*} nE_1=(1,-1,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} nE_2=(2,1,1) \end{eqnarray*}$

der Richtungsvektor steht senkrecht auf den Normalvektoren also

$\begin{eqnarray*} nE_1XnE_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=(-2,1,3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=(x,y,z)=(???)+\lambda (-2,1,3) \end{eqnarray*}$

wie errechne ich jetzt den Durchstosspunkt?

03.08.2007, 20:15

Rare676

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Sobald du deine ebenen in Koordinatenform hast, setze einfach x=r und y=s

Damit erhälst du 3 Gleichungen, die deine ebene ind parametergleichung ergeben. Den Stützvektor kannst du dann als Punkt der Ebene nehmen Augenzwinkern

03.08.2007, 20:38

riwe

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Zitat:

Original von FrankyHill
Also

$\begin{eqnarray*} (\lambda +1)x+(2\lambda -1)y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1:\lambda =0 , E_2:\lambda =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1=(0+1)x+(2*0-1)y+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2=(1+1)x+(2*1-1)y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1=x-y+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2=2x+y+z=0 \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

(bis auf "=")

$\begin{eqnarray*} \text{I + II}\quad{ } \to 3x + 2z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 3t \to x = -2t \quad{ }\text{mit I}\quad{ } \to y= t \end{eqnarray*}$

damit lautet die schnittgerade
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} t \end{eqnarray*}$

und z.b. $\begin{eqnarray*} t= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ liefert deine beiden gesuchten punkte.

03.08.2007, 20:41

riwe

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Zitat:

Original von Rare676
Sobald du deine ebenen in Koordinatenform hast, setze einfach x=r und y=s
Damit erhälst du 3 Gleichungen, die deine ebene ind parametergleichung ergeben. Den Stützvektor kannst du dann als Punkt der Ebene nehmen Augenzwinkern

ein bißchen viel parameter für eine gerade, oder verwirrt

03.08.2007, 20:44

FrankyHill

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Ok danke. soll nun die gemeinsame Schnittgerade der Ebenenschar ermitteln.

Ist das nicht genau das was ich grad gemacht habe?

03.08.2007, 21:07

riwe

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so ungefähr,
wenn du das zeug noch in die form meines obigen beitrags bringst unglücklich

03.08.2007, 21:42

FrankyHill

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Kenne das so das man die Schnitgerade in dieser Form schreibt

$\begin{eqnarray*} s=(x,y,z,)=(0,0,0)+\lambda (-2,1,3) \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt?

03.08.2007, 21:50

riwe

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Zitat:

Original von FrankyHill
Kenne das so das man die Schnitgerade in dieser Form schreibt

$\begin{eqnarray*} s=(x,y,z,)=(0,0,0)+\lambda (-2,1,3) \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt?

wenn du es so kennst, warum fragst du dann unglücklich

aber ist bis auf den beistrich nach dem z ist es ok. wie du aus einem vergleich mit meinem beitrag sehen kannst, oder ist das auch eine dir bekannte form verwirrt

04.08.2007, 01:07

mYthos

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Man kann die Aufgabe auch unter dem (interessanten) Aspekt lösen, dass Elemente gesucht sind, die gegenüber dem Scharparameter invariant sind. Dies sind hier nun jene Punkte, welche unabhängig von der Wahl des Parameters sind und somit in allen Ebenen der Schar liegen.

Wir setzen zwei (voneinander verschiedene) Ebenen der Schar allgemein an:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1x + 2\lambda_1y + x - y + z = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2x + 2\lambda_2y + x - y + z = 0 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \neq \lambda_2 \ \to \ (\lambda_1 - \lambda_2) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Subtraktion beider Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1 - \lambda_2)x + 2y(\lambda_1 - \lambda_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Division durch $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 - \lambda_2) \ \ \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + 2y = 0 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert noch:

$\begin{eqnarray*} z = 3y \end{eqnarray*}$

Wir erhalten damit nun die Eigenschaften jener Punkte, die in allen Ebenen der Schar liegen. Wir können nun beliebige geeignete Punkte erstellen:

z.B. (0;0;0); (-2;1;3); (-4;2;6)

mY+

04.08.2007, 10:01

riwe

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womit wir wieder bei der schnittgeraden

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} t \end{eqnarray*}$

wären, oder verwirrt

04.08.2007, 11:41

mYthos

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Natürlich, das habe ich ja nie angezweifelt. Allerdings finde ich den eingeschlagenen Weg dahin interessant und auch effizient (im Gegensatz zu den anderen vorhin gesehenen Wegen, die m. M. nach nicht unbedingt als ökonomisch zu bezeichnen sind), d.h. mit zwei allgemeinen Parametern ein System zu erstellen und dieses dann parameterfrei zu machen -> als Ergebnis erhalten wir alle gemeinsamen Punkte der Schar*. Nur das war mein Anliegen.

mY+

*) Dieses Verfahren funktioniert schnell und effizient bei allen Aufgaben, bei denen nach Fixpunkten einer Schar gefragt wird.

04.08.2007, 12:10

riwe

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@mythos,
das ist mir schon klar, dass dir das klar ist.
wo aber die größere effizienz sein soll, bleibt mir verschlossen verwirrt

04.08.2007, 14:56

Rare676

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

ein bißchen viel parameter für eine gerade, oder verwirrt

oje...war irgendwie im "Ebenen-Fieber"^^ Vergiss das einfach wieder Hammer

06.08.2007, 11:47

FrankyHill

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Ja, der Weg scheint mir auch schneller zu sein. Das war glaube ich der Rechenweg den der Prof. mit Koeffizientenvergleich meinte.Funktioniert das immer bei solchen Aufgaben oder muss man irgendwelche Sonderregeln beachten?

Soll nun im 3. Teil der Aufgabe berechnen welche 2 Ebenen der Schar vom Punkt (1,1,1) den Abstand 1 haben.

Würde jetzt so Anfangen das ich das Skalarprodukt gleich 1 setze und nach Lambda auflöse.

06.08.2007, 13:55

riwe

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Zitat:

Original von FrankyHill
Ja, der Weg scheint mir auch schneller zu sein. Das war glaube ich der Rechenweg den der Prof. mit Koeffizientenvergleich meinte.Funktioniert das immer bei solchen Aufgaben oder muss man irgendwelche Sonderregeln beachten?

Soll nun im 3. Teil der Aufgabe berechnen welche 2 Ebenen der Schar vom Punkt (1,1,1) den Abstand 1 haben.

Würde jetzt so Anfangen das ich das Skalarprodukt gleich 1 setze und nach Lambda auflöse.

was soll da das skalarprodukt verwirrt

aber vielleicht geht es damit auch schneller unglücklich

versuche die HNF Freude

07.08.2007, 12:36

FrankyHill

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Habe jetzt mit der Hesseschen Normalform gerechnet,aber komme an einem Punkt nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{\mid (\lambda +1)*1+ (2 \lambda-1 )*1+1 \mid }{\sqrt{(\lambda+1 )^{2}+(2\lambda-1 )^{2}+ 1^{2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{ \mid 3\lambda +1\mid }{\sqrt{5\lambda^{2}-2\lambda+3 } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid 3\lambda+1 \mid = \sqrt{ 5\lambda ^{2}-2\lambda+3 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9\lambda ^{2} +6\lambda +1=5\lambda ^{2}-2\lambda +3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2} +2\lambda -0,5=0 \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist da doch was falsch. Soll doch die zwei Ebenen angeben. Würde jetzt normalerweise die pq Formel anwenden, aber ich weiß nicht was ich mit dem Lambda anfangen soll.

07.08.2007, 12:49

FrankyHill

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$\begin{eqnarray*} \lambda _1,_2=-1\pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt in die Ursprüngliche Gleichung einsetzt müsste ich doch die zwei Ebenen haben ,oder ?

08.08.2007, 11:52

riwe

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