Additivität und Homogenität

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Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »
Additivität und Homogenität
Hallo zusammen,

wir haben vor kurzem mit der Additivität und der Homogenität von Linearen Gleichungssystemen angefangen.

Additiv

Homogenität

=

Würd mich freuen wenn wir das jemand mal erklären würde. Vielen Dank schon mal !!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additivität und Homogenität
Wie ist denn eine Lineare Abbildung formuliert?

Wie hängen lin. Abbildungen und Matrizen zusammen?
 
 
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

keine Ahnung ?

mir sagt das so irgendwie nichts
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann schlecht. Steckbrief sagt, Du machst BWL, kein Mathe? Augenzwinkern

Wie rechnet man dann aber allgemein:

Ax = ???
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist auch richtig Studiere BWl und kein Mathe!!!

sagt mir nicht wirklich was, alzu lange haben wir auch noch nicht drüber gesprochen

A x =b aber wo für steht das genau ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, aber ihr solltet dann doch schon mal "geregelt" haben wie man eine Matrix und einen Vektor multipliziert Augenzwinkern

Schau erstmal hier rein

[Workshop] Matrizen

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

ach so na wie man eine Matrix oder einen Vektor multipliziert weiß ich auch!!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib mir das doch mal allgemein auf Augenzwinkern
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

mich stöhrt aber z.B. das ich die erste Matrix mit x1 und x2 multiplizieren müsste ?

und dann würde ich doch nicht auf meine Lösung kommen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte doch bitte erst einmal meine Frage Augenzwinkern Was ist:

Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »




man multipliziert jede Spalte der ersten Matrix mit jeder zeile der zweiten Matrix!!!

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß schon wie es geht Augenzwinkern . Ich möchte es ausgeschrieben sehen. Was ist b in Ax=b?




b1 = ?, ..., bm=?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

moment das stimmt so nicht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir es mal so:



Klar? Lies mal meine Signatur wegen Latex Augenzwinkern
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir klar, aber unabhänig vom multiplizieren der Matrixen, was hat das nun mit meiner Aufgabe zutun
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je unglücklich . Naja, Was ist denn dann




nun lautet die bj, wie?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt, keine ahnung ich habe in meinen aufzeichnungen auch nichts mit Summenzeichen stehen, so etwas haben wir gar nicht gemacht !!!

habe extra nocheinmal nachgeschaut, kann die zwar miteinader multiplizieren, aber hab überhaupt keine ahnung was das mit meiner Aufgabe zu tun hat
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Na auch als BWLerin solltest Du keine Angst vor dem Summenzeichen haben. Ich habe es Dir ja auch "ausgeschrieben". Es ist doch wohl jetzt nun folgendes der Fall:



Da ihr als BWLer wohl "nur" in den Reellen Zahlen rechnet, sollte es nun kein Problem sein, die Klammer aufzulösen. Danach sollte es Dir eigentlich wie Schuppen von den Augen fallen, was das nun mit deiner Aufgabe zu tun hat.
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also als erstes löse ich mal die Klammer auf




HilfSt Du mir nochmal was das jetzt mit der Aufgabe zu tun hat, glaube ich bin blind
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist jetzt aber ein EDIT fällig. Augenzwinkern

Zitat:
Lies mal meine Signatur wegen Latex Augenzwinkern


Danach vielleicht mal nach x und y sortieren
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

in wie weit ist den der edit fällig !!!

vielleicht sollte man das mal auf mein Beispiel übertragen, würde vielleicht helfen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Siehst Du den Unterschied zwischen

und

wirklich nicht? Big Laugh

Auch war es eine dezente Bitte \cdot statt * zu verwenden.


Und wir sind schon längst bei deiner Aufgabe.
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »




dabei irgendwie nicht Hammer obwohl da bleibt noch die Frage wie ich auf meine Lösung komme ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nun stimmt die Optik, aber da waren wir ja schon

Zitat:
tigerbine


Auch was dann zu tun ist, sagte ich schon. Klammern auflösen und nach x und y sortieren. Augenzwinkern
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »





so habe das nocheinmal geordnet und die Klammern aufgelöst, und nun
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Von den "falschen" Indizes mal abgesehen, es fehlen die ...Um die noch einen Optischen Tipp zu geben, setze ich mal noch Klammern



Nun sollte es aber klar sein, warum



gilt
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

warum

ist mir klar geworden aber auf die Lösung dieser Aufgabe komme ich noch nicht

=
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem sollte dann auch klar sein. Bei der nächsten Aufgabe muss erstmal wieder die Optik dran glauben





Ich fange jetzt icht mehr an Dir zu erklären, wie man Lineare Gleichungssysteme löst. Es kann i.A. eindeutig eine, unendlich viele oder keine Lösung geben.


Die Bestimmung ist hier einfach, aufgrund der letzen Zeile.






nun setzt man das in die zweite ein und bestimmt x_2. Dann prüft man, ob auch die Gleichiet in der ersten Zeile erfüllt ist.
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem Landa ist mir aber noch nicht ganz klar, was prüft man genau damit !!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

was ist in dem fall b_j?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Kira, ein bisschen Mühe geben traurig






Was ist also ?
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Das wird wohl heute nichts mehr, oder?





Da ich nun ins Bett will, schreibe ich Dir noch die Umformung hin



Nun sollte auch diese Gleichheit



klar sein. Wenn du den Link über Lineare Abbildungen liest, und meine ganz am Anfang gestellten Fragen:

Zitat:
Original von tigerbine
Wie ist denn eine Lineare Abbildung formuliert?

Wie hängen lin. Abbildungen und Matrizen zusammen?


beantwortest, siehst Du sofort, was diese Gleichheiten bedeuten. Man prüft damit nichts, sondern verifiziert die Linearität der Abbildung

Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar schaue mir das nochmal an, alles andere Frage ich morgen gehe auch gleich schlafen
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additivität und Homogenität
Hallo Kira!

Ganz allgemein bedeutet Additivität die Eigenschaft, dass eine Funktion, die in ausgewertet ist, gleich der Summe der einzelnen Werte dieser Funktion in und in ist. Z.B. ist die Funktion "Identität"



additiv, denn trivialerweise gilt



Hier müssen und nicht unbedingt reelle Zahlen sein, es muss nur eine Operation (die Addition) definiert sein. Insbesondere, für Vektoren ist eine solche Addition definiert (z.B. komponentenweise, etc.)

Andererseits, eine allgemeine Funktion heisst homogen, falls sie die folgende Eigenschaft hat: wird durch einen Faktor gestreckt, so auch das Funktionswert, also



Z.B. die Normfunktion



ist homogen über die positiven Zahlen, da





und allgemein



Dies funktioniert offensichtlich nicht mit negativem Lambda, da die Norm nie negativ sein darf.

Im Fall von Vektoren fordert man, dass die Homogenität auch für die negativen Lambdas gilt. Eine Skalarmultiplikation von Zahlen mit Vektoren ist auch definiert, also macht das Sinn wenn ein Vektor ist.

Eine lineare Abbildung ist nichts anderes als eine additive und homogene Funktion auf Vektoren. Tigerbine hat gezeigt, wieso Matrizen additive, homogene Abbildungen definieren. In der Tat ist die Identitätsfunktion von vorhin sowohl homogen:



Also additiv und homogen, das heisst, die Identität ist eine lineare Funktion! Als solche, besitzt Sie auch eine Matrix: die Einheitsmatrix





usw. (dimensionsabhängig).

Wenn man über lineare Funktionen redet, schreibt man statt (mindestens dein Lehrer tut so Augenzwinkern ) Manchmal sind wir an lineare Gleichungssysteme interessiert, d.h. Vektorgleichungen wie



wo ein unbekanntes Vektor (oder der Vektor der Unbekannten) ist. Z.B. in deinem Fall ist







Da als lineare Abbildung additiv ist, gilt



wenn du ein weiteres Gleichungssystem



hast.

Da homogen ist, gilt



d.h. wenn eine Lösung deines Gleichungssystems mit rechter Seite , dann ist eine Lösung des Gleichungssystems mit .

In deinem Fall gilt z.B.

=

=

usw.

Liebe Grüsse
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für eure Hilfe!!

woran erkenne ich aber an meiner Aufgabe ob die Beziehungen additiv oder Homogen sind.

Und für was stehzt das Lambda genau ?

Deshalb verstehe ich noch nict ganz für ich auf mein ergebnis komme

=
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das Du deswegen die Aufgabe nicht Lösen kannst, glaube ich Dir nicht.

@tensor
Deine Ausführungen sind gut gemeint, aber ich glaube Kira ist noch nciht auf dem Wissenstand sie verstehen zu können.

Das ist zumindest mein Eindruck nach ihren bisherigen Antworten. Nur eine Feststellung, und ich lasse mich da gerne eines besseren belehren.

@ Kira:

Ich hatte dir schon gesagt was zu tun ist, und auch die erste Rechnung gemacht. Wir sind hier mittlerweile im Bereich Schulmathematik, Lösen von Linearen Gleichungssystemen. Das solltest Du können. sonst benutz bitte einmal die Boardsuche und schaue dir Beispiele an.

Zitat:





Ich fange jetzt icht mehr an Dir zu erklären, wie man Lineare Gleichungssysteme löst. Es kann i.A. eindeutig eine, unendlich viele oder keine Lösung geben.


Die Bestimmung ist hier einfach, aufgrund der letzen Zeile.






nun setzt man das in die zweite ein und bestimmt x_2. Dann prüft man, ob auch die Gleichheit der ersten Zeile erfüllt ist.



Bitte estmal das machen, dann kommen die anderen Fragen dran.
Kira 007 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das jetzt in die zweite Zeile einsetzte erhalte ich





tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Index mit x_2 böse smile












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