Faltung zweier Sprungfunktionen

04.08.2007, 12:35

HansB

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Faltung zweier Sprungfunktionen

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich einfach nicht weiß wie ich diese lösen soll.

Und zwar soll man die Faltung zweier Sprungfunktionen berechnen, also:
$\begin{eqnarray*} \Theta(t)*\Theta(t) = \int_{-\infty}^{\infty }~\Theta(t)\Theta(a-t)~dt = ??? \end{eqnarray*}$

Gruß Hans

04.08.2007, 13:03

Calvin

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Die Sprungfunktion ist ja $\begin{eqnarray*} \Theta(t)=\begin{cases}0&t< 0\\1&t\geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wenn du diese Definition jetzt benutzt bzw. dir den Integrand mal aufzeichnest, kannst du die Integralgrenzen und den Integrand anpassen. Dann wirst du schnell feststellen, dass das Integral divergiert.

04.08.2007, 13:14

HansB

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Gilt folgendes?

= \int_{0}^{\infty}~\Theta(a-t)~dt

04.08.2007, 13:15

HansB

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So sollte es aussehen:

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{\infty}~\Theta(a-t)~dt \end{eqnarray*}$

04.08.2007, 13:25

Calvin

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Hammer

*fluch* Ich hätte auf meinen ersten Gedanken hören sollen.

Ich muss meine erste Antwort nochmal korrigieren. Das Integral divergiert nicht. Zeichne dir mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\Theta(a-t) \end{eqnarray*}$ auf. Dann siehst du, dass du die obere Integralgrenze auch noch anpassen kannst. Damit kriegst du ein ganz einfaches Integral.

04.08.2007, 13:46

HansB

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Also soweit ich das sehe ist zum ersten die Funktion an der y-Achse gespiegelt, und desweiteren um a in die Vergangenheit verschoben:

Die Funktion sollte also so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \Theta(a-t) = \begin{cases}0, & t\geq-a \\ 1, & t<-a\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das heißt das Integral müßte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{-a}~1~dt = -\int_{-a}^{0}~1~dt \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

EDIT von Calvin
Zeilenumbrüche aus LaTeX entfernt

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04.08.2007, 13:49

HansB

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Als Ergebniss käme dabei a heraus, jedoch hab ich von meinem Prof die folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} a(1-\Theta(-a)) \end{eqnarray*}$

04.08.2007, 14:12

WebFritzi

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Es gilt (nach calvins Definition)

$\begin{eqnarray*} \Theta(t) = \chi_{[0,\infty)}(t), \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \Theta(t)\Theta(a - t) &=& \chi_{[0,\infty)}(t)\chi_{[0,\infty)}(a-t)\\&=&\chi_{[0,\infty)}(t)\chi_{(-\infty,a]}(t)\\&=&\chi_{[0,\infty)\cap(-\infty,a]}(t)\\&=&\begin{cases}0&\text{für }\;a<0\\ \chi_{[0,a]}(t)&\text{für }\;a\ge 0\end{cases}. \end{eqnarray*}$

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \Theta(t)\Theta(a-t)\,dt = \begin{cases}\int_0^a\,dt&\text{für }a\ge 0\\0&\text{für }a<0\;\end{cases} = a\chi_{[0,\infty)}(a) = a\Theta(a). \end{eqnarray*}$

04.08.2007, 14:25

HansB

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Danke für deine Erklärung, aber an der Stelle:

Zitat:

Original von WebFritzi

$\begin{eqnarray*} =&\begin{cases}0&\text{für }\;a<0\\ \chi_{[0,a]}(t)&\text{für }\;a\ge 0\end{cases}. \end{eqnarray*}$

komm ich nicht mehr mit. Wieso ist dort wieder eine Fallunterscheidung vorhanden? Ich dachte an dieser Stelle steht nur noch das Integral?

04.08.2007, 19:19

sqrt(2)

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Schau dir die Menge, deren charakteristische Funktion in der Zeile drüber noch steht, doch einmal an. $\begin{eqnarray*} (-\infty,a]\cap[0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist nur dann nicht leer, wenn $\begin{eqnarray*} a\geq0 \end{eqnarray*}$ .

04.08.2007, 23:47

Dual Space

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RE: Faltung zweier Sprungfunktionen

Zitat:

Original von HansB
Und zwar soll man die Faltung zweier Sprungfunktionen berechnen, also:
$\begin{eqnarray*} \Theta(t)*\Theta(t) = \int_{-\infty}^{\infty }~\Theta(t)\Theta(a-t)~dt = ??? \end{eqnarray*}$

Also dass was du da hingeschrieben hast ist sicher keine Faltung. Überprüf mal die Integrationsgrenzen und den Integrator. Bei dir steht links vom "=" eine Funktion von t, hingegen rechts eine von a.

Edit (08:57): Also mal ausfürhlicher: Die zitierte Gleichung fängt schon falsch an, denn die Faltung zweier Funktionen (hier die der Heaviside-Funktion mit sich selbst) ausgewertet an einer Stelle t muss man schon so schreiben

$\begin{eqnarray*} (\Theta*\Theta)(t)=\int_0^t\Theta(\tau)\Theta(t-\tau)\dd\tau. \end{eqnarray*}$

Hinter dem "=" steht nun die Faltung wie ich sie kenne, verwende und immer wieder lese. Mag sein, dass man auch $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ als Grenzen wählen darf - mit welchem Hintergrund auch immer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn man es genau nimmt muss man nämlich $\begin{eqnarray*} \Theta(t)*\Theta(t) \end{eqnarray*}$ wie folgt interpretieren

$\begin{eqnarray*} \Theta(t)*\Theta(t)=(\Theta(t)*\Theta(t))(\cdot)=\Theta^2(t) \int_0^{\cdot} \dd\tau, \end{eqnarray*}$

wobei dieses Bsp. wieder für die Wahl meiner Integrationsgrenzen spricht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2007, 14:31

Leopold

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@ Dual Space

Deine Bemerkungen hinsichtlich der Variablenkonfusion im Eröffnungsbeitrag von HansB waren wichtig und richtig. Dann geht es bei dir aber auch ein bißchen durcheinander.

@ HansB

Halten wir fest, worum es geht. Gegeben ist zunächst die Funktion

$\begin{eqnarray*} \Theta(x) = \begin{cases} 0 & \ \mbox{für} \ x<0 \\ 1 & \ \mbox{für} \ x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und nun soll deren Faltung mit sich selbst bestimmt werden. Dazu ist

$\begin{eqnarray*} (\Theta * \Theta)(x) = \int \limits_{- \infty}^{\infty} \Theta(t) \Theta(x-t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Der Integrationsbereich ist hier tatsächlich die ganze reelle Zahlengerade (siehe auch den Wikipedia-Artikel). Der Integrand verschwindet allerdings für negative $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , einfach weil der Faktor $\begin{eqnarray*} \Theta(t) \end{eqnarray*}$ für solche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Null wird. Effektiv reicht es daher,

$\begin{eqnarray*} (\Theta * \Theta)(x) = \int \limits_0^{\infty} \Theta(t) \Theta(x-t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Das liegt hier aber an der speziellen Funktion $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ und ist keinesfalls immer richtig. Und weil $\begin{eqnarray*} \Theta(t) = 1 \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} t \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ , kann man sogar noch einfacher

$\begin{eqnarray*} (\Theta * \Theta)(x) = \int \limits_0^{\infty} \Theta(x-t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

schreiben. Und jetzt sollte man eine Fallunterscheidung hinsichtlich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durchführen.

Sei zunächst $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} t \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} x-t < 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \Theta(x-t) = 0 \end{eqnarray*}$ . Der Integrand verschwindet, also auch das Integral. Es gilt daher

$\begin{eqnarray*} (\Theta * \Theta)(x) = 0 \ \ \mbox{für} \ x<0 \end{eqnarray*}$

Sei dann $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} t>x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x-t < 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \Theta(x-t) = 0 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} t \in [0,x] \end{eqnarray*}$ dagegen ist $\begin{eqnarray*} x-t \geq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \Theta(x-t) = 1 \end{eqnarray*}$ . Es reicht daher, über das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} (\Theta * \Theta)(x) = \int \limits_0^x 1~\mathrm{d}t = x \ \ \mbox{für} \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassend gilt

$\begin{eqnarray*} (\Theta * \Theta)(x) = \begin{cases} 0 & \ \mbox{für} \ x<0 \\ x & \ \mbox{für} \ x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wer gerne mit Funktionen als den Objekten arbeitet und charakteristische Funktionen liebt, kann dafür auch

$\begin{eqnarray*} \Theta * \Theta = \operatorname{id_{\mathbb{R}}} \cdot \ \chi_{[0,\infty)} = \operatorname{id}_{\mathbb{R}} \cdot \ \Theta \end{eqnarray*}$

schreiben.

Das ist natürlich ganz das Ergebnis von WebFritzi. Nur habe ich seine Darstellung auf elementare Ebene heruntergeholt. Vielleicht trägt dieser alternative Weg zum besseren Verständnis bei. Versuche dann noch einmal, den abstrakteren Zugang von WebFritzi nachzuvollziehen.

05.08.2007, 14:51

Dual Space

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Okok... ich muss zugeben, dass es dort oben bei mir ziemlich wild (und teilweise nicht ganz korrekt) zuging. Mein obiges Edit gilt nur für Funktionen mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+:=\{x\in\mathbb{R}:x\geq0\} \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Forum Kloppe

Danke für den Hinweis, Leopold.

Naja ... wie auch immer: Integriert wird über den Durchschnitt der Definitionsbreiche der zu faltenden Funktionen. Hier die ganze reelle Achse. Und genau der Grund den Leopold anführt um die Integration auf die positive Achse einzuschränken liefert auch, dass hier die Integration von 0 bis x ausreichend ist. (Das trägt zur Lösung der Aufgabe aber nicht wesentlich bei.)

Wollte nur sicher gehen, dass ich dir keine Faltungs-Flausen in den Kopf gesetzt habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2007, 14:14

HansB.

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Hallo danke für eure Antworten. Ich war erst mal im Urlaub und schreibe daher erst jetzt. Nachdem ich alle Antworten einmal durchgegangen bin, denke ich ich habe daas verstanden. Ich komme auf die selben Lösungen.

Jetzt habe ich nur das Problem das mein Prof es in seiner Lösung anders schreibt. Und zwar gibt er die Lösung an mit:

$\begin{eqnarray*} (f*g)(t) = t(1-\sigma(-t)) \end{eqnarray*}$

an. Ist das vielleicht das selbe?

Grüße Hans

03.09.2007, 14:21

HansB.

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Nun habe ich noch eine ähnliche Aufgabe. Hier sind die Signale $\begin{eqnarray*} f(t) = \sigma(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(t) = sin(t)\sigma(t) \end{eqnarray*}$ zu falten.

Wenn ich es mir aufzeichne und die Schritte von den Lösungswegen folge gelange ich zu der Faltung: \int_{0}^{t}~sin(\tau)~d\tau

Daraus ergibt sich die Lösung $\begin{eqnarray*} (1-cos(t))\sigma(t) \end{eqnarray*}$ . Mein Prof hingegen schreibt wieder $\begin{eqnarray*} (1-cos(t))(1-\sigma(-t)) \end{eqnarray*}$ .

03.09.2007, 14:31

WebFritzi

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Wenn du uns freundlicherweise auch verrätst, was sigma für eine Funktion ist...

03.09.2007, 15:04

HansB.

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Hallo,

Sigma ist die Sprungfunktion.

03.09.2007, 15:06

WebFritzi

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Es gibt nicht DIE Sprungfunktion. Wo springt sie, und welche Werte nimmt sie an.

03.09.2007, 15:13

HansB.

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In den Aufgabe ist nichts weiter angegeben, also gehe ich davon aus das sie bei t=0 von 0 auf eins springt.

03.09.2007, 15:19

WebFritzi

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \sigma(t) = 1-\sigma(-t) \end{eqnarray*}$ für t <> 0.

03.09.2007, 15:45

HansB.

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Danke

03.09.2007, 18:44

HansB.

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Hmm, also ich hab da noch einmal drüber nachgedacht und dabei ist mir aufgefallen, dass es ja schon fast peinlich war die Frage zu stellen. Natürlich ist es das selbe smile

smile

. Naja danke nochmal für die Hilfe.

Gruß Hans

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