kub. Splines |
05.08.2007, 21:48 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kub. Splines ich sitze zur Zeit vor den Splines, aber die Erklärungen, die ich gefunden habe, sind für mich als Nicht-Mathematiker nicht so ganz durchschaubar gewesen... Kann mir vllt jemand verständlich machen wie das anzugehen ist? Am besten hänge ich meine Aufgabe noch mit an, damit ihr des ein bissel eingrenzen könnt Also ich habe folgende vier Wertepaare: (0,1); (1,0); (2,0); (3,1). Die Punkte sollen durch eine kubische Spline-Funktion interpoliert werden. Keine Randbedingungen, außer dass die Spline-Fkt. im Intervall [1,2] konstant Null sein soll. S(x) soll für das Intervall [0,1] berechnet werden. Danke, Gruß |
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05.08.2007, 22:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: kub. Splines Erst einmal allgemein. Ein Spline ist eine stückweise polynomiale Funktion. Diese Stücke heißen Restriktionen. Dass sollen hier Polynom vom Maximalgrad 3 sein, daher der Name "kubischer Spline". D.h. zunächst einmal muss ein Spline noch nicht einmal stetig sein. Man hat insgesamt, bei n Teilstücken je Teilstück 4 Freiheitsgrade. Überlicher weise verwendet man dann man Splines, die den folgenden Bedingungen genügen (nächster Post). Ich wäre Dir Dankbar, wenn Du bei den Treads komplexe Zahlen in eulersche Form Gauß-Quadratur Mal etwas von Dir hören lassen würdest. Beide male hab ich auf dein PN reagiert, von Dir leider noch keine Reaktion |
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05.08.2007, 22:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus dem Workshop (in Arbeit)
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05.08.2007, 22:18 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, tigerbine! Da werde ich zwar erstmal mit zu tun haben, aber ich denke das wird mir weiterhelfen! Marcel P.S. Habe meinen Irrtum bei der Umformung in die eulersche Form schon eingesehen! |
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05.08.2007, 22:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mag sein, dennoch solltest Du es uns wissen lassen (was Du ja nun - auch in dem anderen Thread - getan hast). Zurück zur Spline Aufgabe. Dier Workshop lässt sich natürlich nicht 1 zu 1 übertragen, ich hoffe ihn aber so verständlich geschrieben zu haben, dass es auch ein nicht Mathematiker versteht Bei dir ist nun gegeben: Gesucht sind (wir nehmen mal alle) die Restriktionen: Dabei kennt man hier sogar schon eine: 4 Unbekannte sind also 0. Bleiben noch 8 Unbekannte übrig. Es gilt dann nun (Stetigkeit) Weiter soll gelten (1x stetig differenzierbar): Und weil es so schön ist (2x stetig differenzierbar): Nicht die Funktionswerte von Oben vergessen! Das sind dann die benötigten 8 Bedingungen. |
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05.08.2007, 23:09 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, es war zugegebenermaßen nicht ganz einfach sich durchzukämpfen, aber ich weiß nun wenigstens, dass ich auf einem ganz guten Weg war Danke sehr und sorry für die späte Störung |
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05.08.2007, 23:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich "online" bin, ist es ja keine Störung. Schön wäre es, wenn Du dann die Aufgabe hier im Forum fertig rechnen würdest. |
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05.08.2007, 23:25 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klar, das habe ich auch vor. Monologe sind ja immer nur begrenzt unterhaltsam Vielleicht komme ich heute aber nicht mehr dazu... Aber sonst morgen. |
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06.08.2007, 13:27 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Dann komme ich jetzt mal zurück zur Aufgabe. Also hier ist es doch klar, dass wir nur das 1. und das 3. Teilintervall zu interpolieren haben, da ja konstant Null sein soll. Dann habe die vier Bedingungen aufgestellt fürs 1. Intervall: Dass ist mir klar, habe das nur für den allgemeinen Fall mal aus Spaß so aufgeschrieben. Wie löst man jetzt nach auf? Ich bin dort irgendwie mit dem und durcheinander gekommen, sind die Koeffizienten in Abhängigkeit von aufzulösen? Gruß |
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06.08.2007, 18:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun sortier deine Bedingungen eben nach den Restriktionen. eigentlich ist das was Du geschrieben hast, ja keine" neue Erkenntnis", ich erwähnte es ja bereits hier Da die Bedingungen symmetrisch sind, reicht es ja nun erstmal, wenn wir uns auf konzentrieren. Es gilt dann: Nun die Bedingungen: Somit ist das hier eine "ganz einfache" Steckbriefaufgbabe, wie man die aus der Schulmathematik kennt. Lösung über LGS, ggf. Boardsuche. |
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06.08.2007, 18:19 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist die allgemeingültige Formel für jedes Intervall einer kubischen Splinefunktion? Ja, dann wäre es wirklich Schulmathematik... |
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06.08.2007, 19:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So kann man ein Polynom dritten Grades nunmal aufschreiben. Darstellung bzgl. der Monombasis, nennt sie sich Und die Restriktionen eines Kubsichen Splines sind eben Polxnome vom max. Grad 3. |
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06.08.2007, 19:20 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hab ichs mir wohl wieder zu schwer gemacht... Und für einen 2.,..,n. inneren Knotenpunkt bzw. für die anderen Restriktionen hat die allgemeine Formel für kubische Polynome auch Geltung? Oder ist das hier nur die Ausname, weil ? |
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06.08.2007, 22:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Frage verstehe ich nicht. Alle Restriktionen lassen sich in der Art darstellen. Sind ja wie gesagt alles Polynome vom M-Grad 3. Der Auszug aus dem Workshop bezieht sich nur auf andere Angaben der bekannten Größen. Bekannt sind nur die Funktionswerte an den Knoten. Ansonsten fordert man eben noch eine gewisse Glattheit und das Verhalten an den Rändern. dann ist die Bestimmung der Restriktionen komplizierter. In deinem Beispiel, bei nur 3 Restriktionen, eine sogar schon bekannt, kennt man ja schon die konkreten Werte der Ableitungen. Damit löst es sich schnell in Wohlgefallen auf. |
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07.08.2007, 00:29 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Aufgabe ist mir schon klar, meine Frage war nur wie es aussieht, wenn ein Teilintervall mal nicht gleich Null ist, sodass wir die ersten beiden Ableitung von S (R) auch nicht gleich null setzen können. Dies ist dann ja die 1. bzw. 2. Ableitung des Nachbarsplines an dem jeweiligen Knotenpunkt. Ich weiß aber nicht, wo sich da ein Unterschied befindet, weil die Form des kubischen Polynoms sich doch irgendwie unterscheiden muss für das linke und das rechte Teilintervall (?) Andernfalls würde ich ja zwei identische Gleichungen haben, in denen in zwei gleiche Funktionswerte einsetze. Da wäre ja ein glattes . Ja, ich weiß -verwirrend |
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07.08.2007, 11:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
marcel!, rechne doch bitte erstmal die Aufgabe, einfach oder nicht, fertig. Ich sprach von Symmetrie, nicht von Identität. Wie gesagt, deine Aufgabe ist ein Spezialfall. Man kennt eine Restriktion, und es sind auch insgesamt nur 3. Deswegen ist es hier so leicht. Für den typisch allgemeinen Fall, dass nur eine Datenmenge (Knoten und Funktionswert) gegeben ist, habe ich das Verfahren doch ausführlich beschrieben. Ich kann aber jetzt nicht für jede mögliche Angabe Dir ein Lösungsschema basteln. |
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08.08.2007, 00:08 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist schon gut, wir werden eh nur den einfachen Fall mit einem Nullintervall für die Klausur können müssen. Hab das Polynom erstellt und war auch alles richtig. |
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08.08.2007, 01:19 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es wäre dann üblich, die Lösung der Aufgabe auch einzustellen. Danke |
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08.08.2007, 01:37 | marcel! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Büdde!! |
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