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Linearkombination
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06.08.2007, 11:43 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM Linearkombination

Stellen sie den Vektor x mithilfe einer Linearkombination dar, die möglichst wenig Vektoren benötigt; a, b, c, d sind reelle Zahlen
[latex] \vec{x}= a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} + c* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex]

Ich hab nicht die leiseste Ahnung, wie man die Aufgabe angeht.....????????? unglücklich
 
 
 
06.08.2007, 11:46 Auf diesen Beitrag antworten »
Cordovan

Moin!

Wie viele Vektoren braucht man denn, um jeden Vektor aus dem [latex]\mathbb{R}^2[/latex] darzustellen?

Cordovan
06.08.2007, 13:40 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

3, oder nicht?
06.08.2007, 13:49 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Alle Elemente eines Vektorraums lassen sich eindeutig durch Linearkombinationen der linear unabhängigen Elemente seiner Basis darstellen. Die Anzahl der Basisvektoren heißt Dimension. Wie sieht denn die naheliegende Basis des [latex]\mathbb{R}^2[/latex] aus und welche Dimension hat er?
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06.08.2007, 13:53 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

Keine Ahnung?! " vielleicht 2 Basisvektoren. Zweidimensional
06.08.2007, 13:57 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Das war richtig geraten, was Dir aber auf Dauer nicht viel nützt. Es ist jeder Vektor [latex]\vec{a} \in \mathbb{R}^2[/latex] gegeben durch [latex]\vec{a} := \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}[/latex] mit [latex]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/latex]. Versuch mal [latex]\vec{a}[/latex] möglichst geschickt als Linearkombination zweier Vektoren darzustellen.
06.08.2007, 14:06 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

woher soll ich den 2.ten Vektor nehmen, wenn nur einer da ist??
[latex] \vec{a}= r * \begin{pmatrix} \alpha \\\beta \end{pmatrix} oder \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} [/latex]
06.08.2007, 14:13 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Alle Elemente eines Vektorraums lassen sich eindeutig durch Linearkombinationen der linear unabhängigen Elemente seiner Basis darstellen. [...]

Daher. Da du wohl noch einen Tipp brauchst: Es gilt [latex]\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ \beta \end{pmatrix}[/latex].
06.08.2007, 14:16 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

ohhh....Jetzt klingelt es!
06.08.2007, 14:21 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Nun? smile
06.08.2007, 14:23 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

Aber wie ist das bei der ersten Aufgabe..????Was heißt möglichst wenig Vektoren? Es sind vier, aber ein zweidimensionaler Raum, wie soll ich das denn machen? 2a+4b+c= 0 und 3a - 1b+1d= 0 ????
06.08.2007, 14:27 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Zitat:
Original von BeautyM[...]
Was heißt möglichst wenig Vektoren? Es sind vier, aber ein zweidimensionaler Raum[...]


Wie Du siehst, hast Du Dir Deine Frage schon selbst beantwortet. Bevor Du weitermachst, schreibst Du vielleich erstmal Deinen vorigen Gedanken zu [latex]\vec{a}[/latex] auf, um so die kanonische Basis zu erhalten.

Edit: Okay, das läuft dann auch darauf hinaus, was tmo geschrieben hat (s.u.).
06.08.2007, 14:28 Auf diesen Beitrag antworten »
tmo

stelle doch die ersten beiden vektoren als linearkombination die letzten beiden dar.

dann hast du x mit 2 vektoren dargestellt.
06.08.2007, 15:09 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

[latex] a*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} und,<br /> a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex] oder wie muss ich das verstehen?

[/latex]
06.08.2007, 15:18 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Das ergibt ein Gleichungssystem für gewisse [latex]a,b[/latex], was wir aber nicht wollen. Es geht darum, jeweils [latex]a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/latex] und [latex]b \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/latex] als Linearkombination der Basisvektoren [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}[/latex] und [latex]\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}[/latex] zu schreiben.
06.08.2007, 16:07 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

[latex] 3 * \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} [/latex]
????
06.08.2007, 16:11 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Wenn du jetzt noch richtig mit den Skalaren [latex]a,b[/latex] mutiplizierst, stimmt es.
07.08.2007, 10:06 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

Was hab ich falsch gemacht?? unglücklich Das Ergebnis stimmt doch, oder nicht? Dann hab ich doch auch richtig multipliziert, oder was überseh ich???
07.08.2007, 12:53 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Zitat:
Original von BeautyM
[latex] 3 * \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/latex]


Das [latex]a[/latex] hat hier erstmal nichts zu suchen, es sei denn, Du schreibst
[latex]a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end {pmatrix} = a \left( 3 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) [/latex].


Zitat:
Original von BeautyM
[latex]-1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} [/latex]


Das stimmt, so wie es da steht. Allerdings ist für die Aufgabe ja noch [latex]b[/latex] relevant.
07.08.2007, 14:31 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

also das dann + b [latex] \Rightarrow -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} [/latex]
07.08.2007, 15:29 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Nein. Du sollst [latex]b[/latex] nicht addieren, sondern [latex]b\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/latex] als Linearkombination schreiben,
07.08.2007, 17:57 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

Häää? Hab ich doch schon!!! Was ist denn daran falsch?????????
[latex] \Rightarrow -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} [/latex]
07.08.2007, 18:07 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Daran per se ist nichts falsch. Nur steht eben in der Aufgabe noch ein [latex]b \in \mathbb{R} [/latex] als skalarer Faktor davor.
07.08.2007, 18:12 Auf diesen Beitrag antworten »
Lazarus

Obwohl diese 3 Ausrufezeichen und 10 Fragezeichen sehr unhöflich wirken möchte ich dennoch einen Tipp geben:
Wähle als Basis nicht [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}[/latex] und [latex]\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}[/latex] sondern [latex]\begin{pmatrix} b \\ 0\end{pmatrix}[/latex] und [latex]\begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix}[/latex] dann hast du nicht das "Problem" mit dem späteren durchmultiplizieren.
07.08.2007, 18:13 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

Und was muss ich jetzt machen?? Wie ist denn die richtige Schreibweise???
07.08.2007, 18:19 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

Das hat mir jetzt nicht wirklich geholfen...Die Ausrufezeichen sind Merkmale von anfangendem Wahnsinnigwerden und sollten nicht unhöflich wirken!
Ich soll jetzt b einsetzen für eine eins? Immer ? Für allle Zahlen? D Zahl vor dem Vektor ist dann weg? Oder den Vekor komplett als b einsetzen??traurig unglücklich Zunge raus ie
08.08.2007, 10:25 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Zitat:
Original von zweiundvierzig
[latex]a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end {pmatrix} = a \left( 3 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) [/latex].


Versuch das mal zu übertragen.
08.08.2007, 10:56 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

[latex]b \begin{pmatrix}4\\ -1 \end {pmatrix} = b \left( -1 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) [/latex].
08.08.2007, 11:02 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

Genau. Und jetzt erinneren wir uns an [latex]\vec{x} := a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/latex].
08.08.2007, 11:15 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

jaaa und jetzt? Du hast ja gesagt es ist nicht Gleichung a + b! Was ist es dann?
08.08.2007, 12:11 Auf diesen Beitrag antworten »
BeautyM

(2a+4b) [latex] \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}+ (3a -1b)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}?? [/latex]
08.08.2007, 14:10 Auf diesen Beitrag antworten »
zweiundvierzig

ja, jetzt bist du fast fertig.
 
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