Linearkombination

06.08.2007, 11:43

BeautyM

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Linearkombination

Stellen sie den Vektor x mithilfe einer Linearkombination dar, die möglichst wenig Vektoren benötigt; a, b, c, d sind reelle Zahlen
$\begin{eqnarray*} \vec{x}= a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} + c* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab nicht die leiseste Ahnung, wie man die Aufgabe angeht.....????????? unglücklich

unglücklich

06.08.2007, 11:46

Cordovan

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Moin!

Wie viele Vektoren braucht man denn, um jeden Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ darzustellen?

Cordovan

06.08.2007, 13:40

BeautyM

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3, oder nicht?

06.08.2007, 13:49

zweiundvierzig

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Alle Elemente eines Vektorraums lassen sich eindeutig durch Linearkombinationen der linear unabhängigen Elemente seiner Basis darstellen. Die Anzahl der Basisvektoren heißt Dimension. Wie sieht denn die naheliegende Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aus und welche Dimension hat er?

06.08.2007, 13:53

BeautyM

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Keine Ahnung?! " vielleicht 2 Basisvektoren. Zweidimensional

06.08.2007, 13:57

zweiundvierzig

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Das war richtig geraten, was Dir aber auf Dauer nicht viel nützt. Es ist jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \vec{a} := \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Versuch mal $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ möglichst geschickt als Linearkombination zweier Vektoren darzustellen.

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06.08.2007, 14:06

BeautyM

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woher soll ich den 2.ten Vektor nehmen, wenn nur einer da ist??
$\begin{eqnarray*} \vec{a}= r * \begin{pmatrix} \alpha \\\beta \end{pmatrix} oder \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.08.2007, 14:13

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Alle Elemente eines Vektorraums lassen sich eindeutig durch Linearkombinationen der linear unabhängigen Elemente seiner Basis darstellen. [...]

Daher. Da du wohl noch einen Tipp brauchst: Es gilt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

06.08.2007, 14:16

BeautyM

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ohhh....Jetzt klingelt es!

06.08.2007, 14:21

zweiundvierzig

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Nun?

smile

06.08.2007, 14:23

BeautyM

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Aber wie ist das bei der ersten Aufgabe..????Was heißt möglichst wenig Vektoren? Es sind vier, aber ein zweidimensionaler Raum, wie soll ich das denn machen? 2a+4b+c= 0 und 3a - 1b+1d= 0 ????

06.08.2007, 14:27

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von BeautyM[...]
Was heißt möglichst wenig Vektoren? Es sind vier, aber ein zweidimensionaler Raum[...]

Wie Du siehst, hast Du Dir Deine Frage schon selbst beantwortet. Bevor Du weitermachst, schreibst Du vielleich erstmal Deinen vorigen Gedanken zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ auf, um so die kanonische Basis zu erhalten.

Edit: Okay, das läuft dann auch darauf hinaus, was tmo geschrieben hat (s.u.).

06.08.2007, 14:28

tmo

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stelle doch die ersten beiden vektoren als linearkombination die letzten beiden dar.

dann hast du x mit 2 vektoren dargestellt.

06.08.2007, 15:09

BeautyM

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$\begin{eqnarray*} a*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} und,<br /> a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder wie muss ich das verstehen?

[/latex]

06.08.2007, 15:18

zweiundvierzig

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Das ergibt ein Gleichungssystem für gewisse $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , was wir aber nicht wollen. Es geht darum, jeweils $\begin{eqnarray*} a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

06.08.2007, 16:07

BeautyM

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$\begin{eqnarray*} 3 * \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
????

06.08.2007, 16:11

zweiundvierzig

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Wenn du jetzt noch richtig mit den Skalaren $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mutiplizierst, stimmt es.

07.08.2007, 10:06

BeautyM

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Was hab ich falsch gemacht?? unglücklich

unglücklich

Das Ergebnis stimmt doch, oder nicht? Dann hab ich doch auch richtig multipliziert, oder was überseh ich???

07.08.2007, 12:53

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von BeautyM
$\begin{eqnarray*} 3 * \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hat hier erstmal nichts zu suchen, es sei denn, Du schreibst
$\begin{eqnarray*} a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end {pmatrix} = a \left( 3 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von BeautyM
$\begin{eqnarray*} -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt, so wie es da steht. Allerdings ist für die Aufgabe ja noch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ relevant.

07.08.2007, 14:31

BeautyM

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also das dann + b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.08.2007, 15:29

zweiundvierzig

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Nein. Du sollst $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht addieren, sondern $\begin{eqnarray*} b\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination schreiben,

07.08.2007, 17:57

BeautyM

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Häää? Hab ich doch schon!!! Was ist denn daran falsch?????????
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+4*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.08.2007, 18:07

zweiundvierzig

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Daran per se ist nichts falsch. Nur steht eben in der Aufgabe noch ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als skalarer Faktor davor.

07.08.2007, 18:12

Lazarus

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Obwohl diese 3 Ausrufezeichen und 10 Fragezeichen sehr unhöflich wirken möchte ich dennoch einen Tipp geben:
Wähle als Basis nicht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann hast du nicht das "Problem" mit dem späteren durchmultiplizieren.

07.08.2007, 18:13

BeautyM

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Und was muss ich jetzt machen?? Wie ist denn die richtige Schreibweise???

07.08.2007, 18:19

BeautyM

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Das hat mir jetzt nicht wirklich geholfen...Die Ausrufezeichen sind Merkmale von anfangendem Wahnsinnigwerden und sollten nicht unhöflich wirken!
Ich soll jetzt b einsetzen für eine eins? Immer ? Für allle Zahlen? D Zahl vor dem Vektor ist dann weg? Oder den Vekor komplett als b einsetzen?? traurig

traurig

unglücklich

Hammer

ie

08.08.2007, 10:25

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
$\begin{eqnarray*} a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end {pmatrix} = a \left( 3 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

Versuch das mal zu übertragen.

08.08.2007, 10:56

BeautyM

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$\begin{eqnarray*} b \begin{pmatrix}4\\ -1 \end {pmatrix} = b \left( -1 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

08.08.2007, 11:02

zweiundvierzig

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Genau. Und jetzt erinneren wir uns an $\begin{eqnarray*} \vec{x} := a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

08.08.2007, 11:15

BeautyM

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jaaa und jetzt? Du hast ja gesagt es ist nicht Gleichung a + b! Was ist es dann?

08.08.2007, 12:11

BeautyM

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(2a+4b) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}+ (3a -1b)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}?? \end{eqnarray*}$

08.08.2007, 14:10

zweiundvierzig

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ja, jetzt bist du fast fertig.

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