Integrale

21.02.2005, 16:05

DanielE

Integrale

Hallo,
wie würdet ihr die Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{log(x)}{x} ~dx \end{eqnarray*}$

angehen ?

Bin wegen dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ verunsichert, weil ich 1 durch x ja nicht integrieren kann/darf, soll ....

21.02.2005, 16:10

Seimon

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RE: Integrale
Substitution!

21.02.2005, 16:12

DanielE

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hab ich schon versucht, komme aber nur auf noch kompliziertere Integrale. Wie würdest du denn substituieren ?

21.02.2005, 16:13

Seimon

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was hast du substituiert?

21.02.2005, 16:16

DanielE

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log(x)=u führt zu einem komplizierten Ausdruck 1/x*log(e)

1/X=u führt auch zu nichts !

21.02.2005, 16:19

Seimon

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Zitat:

Original von DanielE
log(x)=u führt zu einem komplizierten Ausdruck 1/x*log(e)

Beschreib mal was du da rechnest!

21.02.2005, 16:24

DanielE

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u=log(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= \frac{1}{x} log(e) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{\frac{1}{x}log(e) } =dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{u}{x}\cdot\frac{du}{\frac{1}{x}log(e) } ~ \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 16:40

Seimon

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Zitat:

Original von DanielE
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= \frac{1}{x} log(e) \end{eqnarray*}$

da ist was Faul! Welche Basis hat dein Logarithmus?

21.02.2005, 16:44

DanielE

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$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{log(x)}{x} ~dx \end{eqnarray*}$

Soll ein unbestimmtes Integral sein !

Lösung soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot (ln x)^{2} \end{eqnarray*}$ sein

21.02.2005, 16:53

Seimon

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du musst die Basis des Logarithmus in der Angabe haben!

der Lösung nach zu Urteilen ist es ein ln(x)

oke mit dieser erkenntnis nochmal substituieren! (was ist die Ableitung von ln(x) ?)

PS: $\begin{eqnarray*} (log_b(x))'=\frac {1} {x~ ln(b)} \end{eqnarray*}$ da hast du auch einen Fehler gehabt!

21.02.2005, 17:01

DanielE

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Ableitung von 1/x ist ln(x)

der log ... hat die Basis 10 wenn keine weitere Angaben dabei sind !

21.02.2005, 17:09

Seimon

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Zitat:

Original von DanielE
Ableitung von 1/x ist ln(x)

eher umgekehrt Augenzwinkern

Zitat:

Original von DanielE
der log ... hat die Basis 10 wenn keine weitere Angaben dabei sind !

also basis 10 ??? entscheide dich bitte!

was gibt dann $\begin{eqnarray*} (log_{10}(x))'=? \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 17:13

DanielE

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das gibt genau : 1/x*log(e) (alles immer Basis 10)

hatte ich eben aber schon raus ! (Ist eine elementare Ableitung)

21.02.2005, 17:16

Seimon

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Zitat:

Original von DanielE
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{u}{x}\cdot\frac{du}{\frac{1}{x}log(e) } ~ \end{eqnarray*}$

oke also zurück zum integral: was kann man da noch vereinfachen?

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{u}{x}\cdot\frac{du}{\frac{1}{x}log(e) }= \int~\frac u x \cdot x \cdot \frac 1 {log(e)}~du=? \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 17:40

DanielE

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Das x kürzen ...???

21.02.2005, 17:43

Seimon

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ja genau!

das ist der Sinn der Substitution!

21.02.2005, 17:51

iammrvip

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Auch, wenn Seimon schon drauf rumgehackt hat, möchte ich nochmal anmerken:

Die Lösung soll sein:

Zitat:

Original von DanielE
Lösung soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot (ln x)^{2} \end{eqnarray*}$ sein

Also ist hier nicht gemein:

Zitat:

Original von DanielE
der log ... hat die Basis 10 wenn keine weitere Angaben dabei sind !

sondern:

$\begin{eqnarray*} \log x = \ln x \end{eqnarray*}$

sonst kommst du auf eine andere Stammfunktion.

21.02.2005, 17:57

etzwane

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Zitat:

Original von DanielE
log(x)=u führt zu einem komplizierten Ausdruck 1/x*log(e)
...

fangt doch noch einmal von vorne an und rechnet mit dieser Substition. Einfacher geht es wirklich nicht ...

21.02.2005, 18:20

DanielE

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Komme wieder nur bis:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~u\cdot \frac{1}{log(e)}~du \end{eqnarray*}$

Hilfe ...

21.02.2005, 18:28

Mathespezialschüler

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Alles korrekt bis dahin, jetzt umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\log(e)}\cdot \int~u~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

und ganz locker integrieren.

21.02.2005, 18:36

Calvin

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Mal eine Frage zu der Substitution. Wie kommst du denn auf log(e)?

Damit keine Missverständnisse aufkommen, hier mal eine einheitliche Bezeichnung. $\begin{eqnarray*} \log_{10} \end{eqnarray*}$ sei der Logaritmus zur Basis 10, $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ der Logaritmus zur Basis e!

$\begin{eqnarray*} t=\log_{10} x \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x\ln (10)} \Leftrightarrow dx=x\ln (10)\,dt \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \int~t\ln (10)\,dt=\ln (10)\int~t\,dt \end{eqnarray*}$

Oder habe ich mich irgendwo verrechnet?

21.02.2005, 18:45

etzwane

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Ich rechne einmal:

ln(10)=2,30258...

log(e)=0,43429... mit Logarithmus zur Basis 10.

und 1/log(e)=ln(10) zumindest den Zahlenwerten nach ...

Gilt das vielleicht allgemein ?????? Augenzwinkern

21.02.2005, 18:49

DanielE

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Aber dann komme ich doch auf log(x) und das kann ich nicht integrieren .... Finde zumindest keine Stammfunktion..

Komme als Endergebnis auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(e)}\cdot \frac{1}{2} (log(x))^{2} \end{eqnarray*}$ und nicht auf

0,5(ln(x))^2

21.02.2005, 18:53

Calvin

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@etzwane

Das war mir bislang nicht bekannt. Aber jetzt weiß ich es. Danke dir Prost

@DanielE

Wo kommst du auf log x? Du hast log(e) vor dem Integral, da das nur eine Zahl ist. Und dann rechnest du erst das Integral aus und machst dann die Rücksubstitution.

21.02.2005, 18:57

Mathespezialschüler

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@DanielE
Wie Calvin schon sagte, erst integrieren, dann resubstituieren und nicht erst resubstituieren und dann integrieren. Dann wäre die Substitution ja sinnlos, sie ist ja dafür da, dass man das Substituierte integriert!

@Calvin
Du kennst nicht die Formel

$\begin{eqnarray*} \log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \end{eqnarray*}$

?? Speziell z.B.

$\begin{eqnarray*} \log_a(b)=\frac{\lg(b)}{\lg(a)}=\frac{\ln(b)}{\ln(a)} \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 19:06

Calvin

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Doch, die kenne ich. Aber ich habe mir den Spezialfall $\begin{eqnarray*} \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \end{eqnarray*}$ nie bewußt gemacht. Deshalb war ich zuerst ziemlich erstaunt über diese Umformung.

21.02.2005, 19:06

etzwane

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Zitat:

Original von DanielE
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{log(x)}{x} ~dx \end{eqnarray*}$

Soll ein unbestimmtes Integral sein !

Lösung soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot (ln x)^{2} \end{eqnarray*}$ sein

@Daniel:

Du hättest in der Aufgabenstellung schon schreiben müssen:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{ln(x)}{x} ~dx \end{eqnarray*}$ ,

dann würde obige Lösung sofort zu der Aufgabenstellung passen.

Aber so ist da halt ein gewisser Widerspruch, es passt NICHT zusammen.

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