funktion mit parameter a und variabel x

06.08.2007, 18:57

noflur

funktion mit parameter a und variabel x

hi leute,
wie kann ich die gleichung dort unten lösen?
wie geht man am besten vor?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}t^{3}-at^2+a^2t=0 \end{eqnarray*}$

a>0

danke im voraus

06.08.2007, 19:08

Bjoern1982

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Ausklammern und dann schauen wann ein Produkt null werden kann.

Gruß Bjön

06.08.2007, 19:18

noflur

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aber ausklammern kann ich doch nur t,
das bringt mir doch nix, oder? verwirrt

06.08.2007, 19:21

aRo

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doch. erst Bjoern1982s Hinweis beachten und dann an die pq-Formel oder wie ihr sie nennt denken smile

Viel Erfolg!

06.08.2007, 19:42

noflur

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mhh
also wenn ich ausklammer dann hab ich ja:
$\begin{eqnarray*} t\cdot(\frac{1}{4}t^2-at+a^2) \end{eqnarray*}$

so dann muss ich einen faktor mit null gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}t^2-at+a^2=0 \end{eqnarray*}$

dann vereinfach ich:
$\begin{eqnarray*} t^2-4at+4a^2=0 \end{eqnarray*}$

und wie soll ich denn jez die pq formel benutzen?
hilfee

06.08.2007, 20:36

aRo

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das ist schon mal richtig so!
Du konntest übrigens schon eine Lösung ablesen, ist die dir auch nicht entgangen?
Die PQ Formel sieht doch so aus:
wenn
$\begin{eqnarray*} x^{2} + px + q = 0 \end{eqnarray*}$
dann
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} \;=\; - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q } \;\ =\;\ - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q } \end{eqnarray*}$

kannst du das auf deine Gleichung anwenden?

06.08.2007, 21:00

noflur

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ja also eine lösung hab ich ja
t=0 smile

aaber iwie stört es mich, dass ich zwei variablen hab und mehrere quadratisch sind...

aber hab ne idee, könnte man vielleicht, dass dann so machn:

$\begin{eqnarray*} 2\pm \sqrt{4-4a^2} \end{eqnarray*}$
oder is das ganz falsch?

06.08.2007, 21:07

vektorraum

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Mmh, da aRo offline ist, antworte ich mal schnell.

Nun gut, du hast bestimmt in die Lösungsformel eingesetzt, hast aber was entscheidendes vergessen. Ich schreibe es dir mal so hin:

$\begin{eqnarray*} 0=t^2+(-4a)\cdot t+(4a^2) \end{eqnarray*}$

P.S. bitte nicht bei einer Gleichung das =0 vergessen! Sonst gilt ja die Formel nicht.

Nun einsetzen! Was ist dein p, und was dein q???

06.08.2007, 21:16

noflur

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achsoo,
also p=-4a, q=4a²

$\begin{eqnarray*} 2a\pm \sqrt{(2a)^2-4a^2} \end{eqnarray*}$

so??

06.08.2007, 21:18

vektorraum

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Korrekterweise müsste es lauten:

$\begin{eqnarray*} t_2=2a\pm\sqrt {(2a)^2-4a^2} \end{eqnarray*}$ .

06.08.2007, 21:24

noflur

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oh stimmt habs vergessen,
so nun hab ich die pq formel aufgestellt,
wie rechne ich sie denn aber aus?
wir habn dass nie gemacht mit zwei variablen, jez hab ich ja doch das a in meiner pq formel

06.08.2007, 21:25

Rare676

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Rechne aus, was unter der wurzel rauskommt. fertig...

06.08.2007, 21:29

aRo

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in diesem fall ist es sehr einfach, simply Rare676 Tipp beachten.
Das passiert natürlich nicht immer, in welchen Fällen du zwei Lösungen hättest. Deshalb hat vektorraum auch dieses komische $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ dahin gemacht.

06.08.2007, 21:30

vektorraum

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Zitat:

Original von noflur
oh stimmt habs vergessen,
so nun hab ich die pq formel aufgestellt,
wie rechne ich sie denn aber aus?
wir habn dass nie gemacht mit zwei variablen, jez hab ich ja doch das a in meiner pq formel

Die geliebten Parameter Augenzwinkern

Du brauchst jetzt nur noch zu quadrieren und dann zu subtrahieren unter der Wurzel. Das Ergebnis ist dann

$\begin{eqnarray*} t_2=2a \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, deine beiden Lösungen sind $\begin{eqnarray*} t_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2=2a \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein Parameter. Du kannst für Parameter jede beliebige Zahl einsetzen, die du möchtest, solange keine einschränkenden Bedingungen angegeben sind. In deinem Fall soll der Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ immer größer als Null sein.

Rechnungen mit Parameter liefern dir die Lösung für eine ganze Klasse von Aufgaben, d.h. du brauchst jetzt für verschiedene $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die du frei wählen kannst mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ nicht nochmal die Gleichung lösen, sondern kennst deren Lösung gleich. Also ist z.B. eine Zahl $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , dann sind die Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} t_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2=2\cdot 1=2 \end{eqnarray*}$ .

Verstanden?

06.08.2007, 21:37

noflur

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jaaaa, habs verstanden Freude

vielen daaaank für die schnellen antworten, es war wirklich sehr hilfreich Mit Zunge

07.08.2007, 11:21

Airblader

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@vektorraum

Korrekterweise eig. ja sogar $\begin{eqnarray*} t_{2,3} = \ldots = 2a \end{eqnarray*}$ smile

Die Wurzel wird zwar 0, aber es ist eben eine doppelte Nullstelle (@noflur: Woraus man übrigens ablesen kann, dass deine Funktion an der Stelle auf der x-Achse ein Extremum besitzt Augenzwinkern

)

air

07.08.2007, 12:08

vektorraum

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Ja, ja - wenn man es denn so nennen möchte auch so Lehrer

07.08.2007, 12:15

Airblader

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Ich meine es hauptsächlich aus dem Grund, dass es bei uns (und ich schätze überall in den Schulen) ein Fehler ist, das als einzelne NS anzugeben smile

air

07.08.2007, 18:56

noflur

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hii,
heut habn wir eine neue aufgabe bekommen zu dieser funktion.
wir sollen die extremstellen ermitteln.
also muss ich doch die 1.ableitung mit null gleichsetzen.
f'(t)=0

$\begin{eqnarray*} f'(t)=\frac{3}{4}t^2-2t+2a \end{eqnarray*}$
richtig?

so dann vereinfach ich wieder:
$\begin{eqnarray*} t^2-\frac{8}{3}t+\frac{8}{3}a=0 \end{eqnarray*}$

und benutz die pq-formel:

$\begin{eqnarray*} t_1=\frac{4}{3}\pm \sqrt{ \frac{16}{9} -\frac{8}{3} a} \end{eqnarray*}$

und nu?

07.08.2007, 20:06

aRo

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gehe ich richtig in der Annahme, dass:
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{4}t^{3} -at^{2} +a^{2} t \end{eqnarray*}$ ??

dann ist deine Ableitung leider falsch. Oder habe ich das jetzt hier falsch verstanden mit deiner Funktion?

07.08.2007, 20:45

noflur

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nene hast du richtig verstanden,
mh ja mit der ableitung war ich mir auch unsicher, aber was genau ist denn daran falsch? verwirrt

07.08.2007, 20:48

Airblader

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Nur der erste Summand stimmt.
Beim 2. geht das a bei dir irgendwie verloren
und im 3. leitest du nach a ab (und verlierst das t)?

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t}(-at^2) = \text{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t}(a^2t) = \text{?} \end{eqnarray*}$

air
(d/dt bedeutet nach t abzuleiten)

07.08.2007, 21:04

noflur

Auf diesen Beitrag antworten »

also mit dem ableiten hab ich so meine probleme

$\begin{eqnarray*} f'(t)=\frac{3}{4}t^2-2at+a^2 \end{eqnarray*}$

so vielleicht ??

07.08.2007, 21:06

vektorraum

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Korrekt!

07.08.2007, 21:09

brain man

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Zitat:

also mit dem ableiten hab ich so meine probleme

Tipp : Für Polynomfunktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ gilt simpel :

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x)}{dx}=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

07.08.2007, 21:17

Airblader

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Und wegen dem a:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und f eine (diff.bare) Funktion, dann gilt
$\begin{eqnarray*} (c \cdot f)' = c \cdot f' \end{eqnarray*}$

D.h., in Kombination mit dem von brain man gesagtem:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}(a \cdot x^n) = a \cdot \frac{\dd}{\dd x}(x^n) = a \cdot nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ smile

air

07.08.2007, 21:20

vektorraum

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Wollt ihr noch mehr Regeln hinhauen??? Die Ableitung war doch korrekt gewesen - ich denke er wird die Regeln schon kennen verwirrt

07.08.2007, 21:25

aRo

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würde ich auch sagen. Konzentration auf das wirkliche Problem und keine Wissensabladung. Das kann auch verwirren, und da er es ja jetzt richtig hatte, kann man erstmal zum nächsten Problem fortschreiten, wie ich finde.
Aber noflur ist der Boss Augenzwinkern

07.08.2007, 21:55

noflur

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hehe danke leute,

so also jetzt nochmal mit der richtigen Ableitung:

$\begin{eqnarray*} t^2-\frac{8}{3}at+ \frac{4}{3}a^2=0 \end{eqnarray*}$

pq-formel:

$\begin{eqnarray*} t_1,_2=\frac{4}{3}a \pm \sqrt{\frac{16}{9}a^2- \frac{4}{3} a^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1,_2=\frac{4}{3}a \pm \frac{2}{3} a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

dann nur noch ein vorzeichenwechsel durchführn, dann kenn ich meine extremstellen, richtig?
hoffentlich....

07.08.2007, 22:20

noflur

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ne doch nich, einen vorzeichenwechsel kann ich ja gar nich machen oder.
woher weiß ich denn jez ob meine werte tief- oder hochpunkte sind

07.08.2007, 22:45

noflur

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ups hatte was vergessen, die lösung lautet natürlich

$\begin{eqnarray*} t_1=2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2=\frac{2}{3}a \end{eqnarray*}$

hoffentlich

07.08.2007, 22:47

aRo

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du hast gaaaaanz am Ende, beim letzten Schritt, etwas vergessen, sonst stimmts! Freude

edit: --> jetzt stimmt sogar alles bis dahin!!!!!!!!!

Richtig, der nächste Schritt ist zu überprüfen, welche Art von Extremstelle du nun gefunden hast. Dazu setzt du dein t in die zweite Ableitung ein und schaust, was für ein Vorzeichen dabei heraus kommt. ist es >0 liegt ein tiefpunkt vor, ist es <0 ein Hochpunkt.

07.08.2007, 23:47

Airblader

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Eig. müsste man wegen a dann noch eine Fallunterscheidung machen, da je nach Abhängigkeit von a der Wert pos. oder neg. werden kann.
Das bleibt dir hier glücklicherweise erspart, da a>0 vorausgesetzt wird Augenzwinkern

Nur als Erinnerung, dass du das bei andern Aufgaben dann nicht vergisst smile

air

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