Ortslinien in Dreieckscharen

21.02.2005, 17:55

Katjush

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Ortslinien in Dreieckscharen

Hey,

ich habe ein Problem mit einem Projekt, ich komme einfach nicht weiter.
Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist eine Strecke AB, über der ein „Fasskreis“ gezeichnet ist, d.i. ein Kreis, von dem aus die Strecke unter einem festen Winkel zu sehen ist. Auf diesem Kreis wandert ein Punkt C, der mit A und B jeweils ein Dreieck bildet.
Die Schnittpunkte der
a) Höhen
b) Seitenhalbierenden
c) Winkelhalbierenden
bewegen sich dabei auf Kurven.

Welcher Art sind diese, und wie hängen sie mit dem erwähnten Winkel zusammen? (Beweis!)

Meine bisherigen Ergebnisse durch Zeichnungen:

a) Höhen: Die entstandene Kurve ist ein Teil des Kreises selber (gesehen durch Verschiebung und/oder Spiegelung des unter der Strecke AB liegenden Kreissegments).
b) Seitenhalbierende: Die Kurve ist ein Kreis, der bei Verschiebung der Strecke AB gleich groß bleibt und auf dem senkrechten Durchmesser des Fasskreises wandert. Die Winkel sind wie im Fasskreis.
c) Winkelhalbierende: Die Kurve ist auch hier ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf dem Fasskreisumfang liegt.

Nochmal: Alle Ergebnisse bis jetzt nur durch Zeichnung!

Wie beweise ich rechnerisch, dass alle Kurven Kreise sind? Ich könnte Formeln gebrauchen wie z.B. Berechnung eines Schwerpunkts.
Generell, welche Formeln könnten mir da weiterhelfen?
Meine Gehirnkraft ist bereits ausgeschöpft Hammer

Hammer

Hoffe auf schnellstmögliche Hilfe, liebe Grüße Wink

Wink

21.02.2005, 19:01

AD

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RE: Ortslinien in Dreieckscharen
Es seien $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ der Schwerpunkt ( = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Umkreismittelpunkt des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} \vec{X} \end{eqnarray*}$ bezeichne ich mal den Ortsvektor des Punktes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \vec{S}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) \end{eqnarray*}$ .

Bei dem von dir beschriebenen Szenario sind $\begin{eqnarray*} A,B,M \end{eqnarray*}$ fixiert, und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ variabel auf dem Umkreis.

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \left|\vec{S}-\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{M})\right| = \frac{1}{3}\left|\vec{C}-\vec{M}\right| = \frac{R}{3} \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der Umkreisradius.

Damit hättest du schon mal den Kreis, auf dem die möglichen Schwerpunkte liegen: Es ist ein Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \frac{R}{3} \end{eqnarray*}$ um den Schwerpunkt des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABM \end{eqnarray*}$ .

23.02.2005, 00:59

Katjush

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oje, vielen Dank natürlich, aber leider hatte ich bis jetzt keine Vektorrechnung, bin erst in der 12!
bin mittlerweile etwas weiter gekommen, nur nicht genug böse

böse

LG

Hilfe

23.02.2005, 08:34

AD

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Die Leute mit böse

böse

beschimpfen und dann Hilfe

Hilfe

wollen? Das gewöhn dir mal ab. unglücklich

unglücklich

Und wer solche doch ganz anspruchsvoll klingenden Aufgaben wirklich lösen will, sollte sich schleunigst die Vektorrechnung aneignen. Natürlich kann man auch einzeln mit x-y-Koordinaten werkeln, aber das ist auf die Dauer doch sehr umständlich.

23.02.2005, 10:59

kurellajunior

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Kann zwar fachlich nicht weiterhelfen, aber zur Versöhnung:

erstmal Willkommen

Willkommen

im Board. Dann, immer deutlich machen auf wen Du schimpfst (Besonders, wenn Du dich meinst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sonst sind so fähige Leute wie Arthur Gott

Gott

ganz schnell weg... und das wäre kontrproduktiv

@Arthur: Nicht so persönlich nehmen, ich vermute, sie hat sich über sich selbst geärgert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie man das ohne Vektoren machen kann bin ich neugierig...

Jan

23.02.2005, 11:18

AD

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Wenn ich wirklich sauer gewesen wäre, hätte ich nicht noch den zweiten Satz angefügt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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23.02.2005, 11:20

kurellajunior

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Wois i doch Augenzwinkern

Augenzwinkern

, War ja vor allem Neue-Nutzer-Pflege... Bist halt 'n Schatz Mit Zunge

Mit Zunge

Jan

23.02.2005, 16:34

Katjush

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das Schimpfen galt tatsächlich mir! Sorry, wenn das falsch ankam Gott

Gott

also ich kann das wirklich nur durch Koordinaten ausrechnen. hab´s aber geschafft die Schwerpunkte auszurechnen und bei Addition von ihnen den Mittelpunkt des neuen Kreises zu ermitteln Rock

Rock

jetzt wäre meine nächste Frage:

wenn drei Seiten von einem Dreieck gegeben sind, kann ich irgendeinen Winkel damit ausrechnen?????
bzw. kann ich den Cosinussatz irgendwie umformen? Ah nee, glaub nicht, oder??

LG traurig

traurig

23.02.2005, 17:01

AD

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Zitat:

Original von Katjush
wenn drei Seiten von einem Dreieck gegeben sind, kann ich irgendeinen Winkel damit ausrechnen?????
bzw. kann ich den Cosinussatz irgendwie umformen?

Aber klar doch - Kosinussatz nach Winkel umformen, ist richtig! Freude

Freude

23.02.2005, 17:43

Leopold

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Und im Anhang eine Datei zum Anschauen. Um sie öffnen zu können, brauchst du Euklid.

23.02.2005, 19:14

AD

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Leopolds (dynamische) Zeichnung zeigt auch schön deutlich die Bedeutung des Südpolsatzes für den geometrischen Ort der Inkreismittelpunkte - die hatten wir ja bisher nicht angesprochen.

23.02.2005, 21:05

Katjush

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euklid einfach bei download runterladen??? danke danke übrigens!!

hab festgestellt, wie viel ich gerechnet, aber doch nichts bewiesen habe mit meinen rechnungen, ich brauch SCHOKOLADE Tanzen

Tanzen

wie berechnet man die schnittpunkte von winkelhalbierenden?

*heul*

PS: ich steh sonst 5 in mathe, wunder mich über das, was ich bis jetzt selber geschafft oder nicht geschafft hab Hammer

Hammer

LG

23.02.2005, 21:29

AD

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Zitat:

Original von Katjush
wie berechnet man die schnittpunkte von winkelhalbierenden?

Koordinatenformeln zum Inkreismittelpunkt findest du hier:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=49178#post49178

Aber ich würde in diesem Fall (im Gegensatz zum Schnittpunkt der Höhen und Seitenhalbierenden) von einem solchen Lösungsversuch hier bei Winkelhalbierenden abraten. Der elementargeometrische Weg ist viel kürzer und weniger fehleranfällig.

Eins muss ich noch anmerken: Wenn du tatsächlich in Mathe auf 5 stehst, dann traust du dich an solche Sachen hier ran? Mut hast du auf alle Fälle.

23.02.2005, 21:56

Katjush

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ich sag nur Facharbeit und Abgabetermin diesen Freitag ^^

die Schwerpunte hatte ich ja berechnet, indem ich die x- und y-Werte von A, B und C der Dreiecke addiert und durch 3 diviert habe.

das was ich jetzt machen muss ist ablesen von meinen Zeichnungen, weil ich die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden und Höhen nicht berechnen kann. Aber ich guck jetzt mal beim Link.

Was meinst Du mit dem elementargeometrischen Weg? Wie geht der?

23.02.2005, 22:17

Katjush

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so, hab beim link geguckt, ich dürfte das ja gar nicht in meine arbeit schreiben, weil ich absolut keinen plan davon hab ^^
ehrlich, das ist so eine blöde geschichte bei mir,
ich hatte mir das thema ausgewählt, da ich dachte es sei interessant und geometrie lag mir immer mehr oder weniger. dann, wie man es als guter schüler macht, habe ich bis zwei wochen vor abgabetermin gewartet, um dann in die bibliothek und ins internet zu gehen und festzustellen, dass es absolut NIX zu diesem thema gibt. blieb mir nur meine eigene kopfarbeit und jetzt bin ich nur froh, auf dieses forum gestoßen zu sein, auch wenn ich nichts peile hier ^^
naja, nun sitz ich hier und werde wahnsinnig Buschmann

Buschmann

da hilft nur eins Prost

Prost

LG

PS: kann man den schnittpunkt der höhen auch anders ausrechnen, als es in dem link stand???

24.02.2005, 08:30

AD

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Na gut, auch wenn es dir bei dem knappen Abgabetermin nicht mehr viel nützen wird:

Die Halbierende von Winkel $\begin{eqnarray*} \angle ACB \end{eqnarray*}$ schneidet den Umkreis des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ in einem (außer $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ) weiteren Punkt $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , dem sogenannten Südpol. Das ist derjenige Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ mit dem Umkreis, so dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auf verschiedenen Seiten von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ liegen.

Der Inkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ liegt ja nun auf dieser Winkelhalbierenden, und durch diverse Winkelbetrachtungen in den verschiedenen Dreiecken dieser (von Leopold hervorragend aufbereiteten) Zeichnung erhält man die Gleichschenkligkeit des Dreieckes $\begin{eqnarray*} AZI \end{eqnarray*}$ . Wenn es dir gelingt, das zu beweisen, dann folgt:

Die möglichen Inkreismittelpunkte liegen alle auf dem Kreis um den Südpol $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \overline{ZA}=\overline{ZB} \end{eqnarray*}$ . Genauer gesagt, nur auf dem Bogenstück dieses Kreises, welches oberhalb der Gerade durch $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ liegt (also in derselben Halbebene wie $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ).

24.02.2005, 19:30

Katjush

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hab die ganze nacht durchgeschrieben, bin fast fertig Tanzen

Tanzen

vielen dank für die hilfe Gott

Gott

, mein interesse an mathe ist nach so vielen jahren plötzlich zum vorschein gekommen! anscheinend mag ich es, zu knobeln ^^ hat die sache doch was gutes.

danke für die rechnung, ich verstehe sie sogar Rock

Rock

!!!

LG

fröhlich

08.08.2009, 21:57

Dotti

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moin katjush, ich muss auch grad die aufgabe mit dem schnittpunkt der winkelhalbierenden lösen. der beitrag von dir ist zwar schon ewig her, aber vielleicht hast du deine ausarbeitung ja noch und kannst mir weiterhelfen mit dem beweis?

09.08.2009, 10:09

AD

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Willkommen

im Board.

Da katjush seit ca. 4½ Jahren nicht mehr hier im Matheboard vorbeigeschaut hat, wirst du eine Menge Glück brauchen, dass sie deinen Wunsch erhören wird.

Einstweilen kannst du es ja eventuell auch mit der Beweisskizze versuchen, die du hier im Thread direkt vorliegen hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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