Produkt (Reihe aus Produkten), Anzahl Nullen gefragt |
| 21.02.2005, 19:34 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Produkt (Reihe aus Produkten), Anzahl Nullen gefragt ich sitze hier gerade an einer Aufgabe die zur "Einladung zum Tag der Mathematik 12. März 2005" gehört. Und zwar handelt es sich um die Einzelwettbewerbsaufgabe Nr.1: "Alle positiven Vielfachen von 6, d.h. 6, 12, 24,..., die kleiner als 200 sind, werden miteinander multipliziert. Auf wie viele Nullen endet dieses Produkt?" So...nun habe ich mir das überlegt: Und da sieht man dann ja, wenn man 200 mal durch 6 teilt, dass es die sechs in diesem Produkt 33mal gibt und dann jeweils die Faktoren von 1-33 gehen, also: Aus diesem Produkt brauche ich nun das Ergebnis, damit ich die Anzahl der Nullen bekomme. Nun, wie kann ich das jetzt ohne Taschenrechner ausrechnen, da bei dem Tag der Mathematik bzw. für die Aufgaben auch, kein Taschenrechner erlaubt ist? Danke für Hilfe im Voraus! |
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| 21.02.2005, 20:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
tipp. 2*5=10........ überleg mal weiter.... ist da ein offizieller konkurrenzwettbewerb? dann sollten wir da nicht unbedingt helfen...... |
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| 21.02.2005, 20:46 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, das ist noch kein offizieller Konkurrenzwettbewerb, der findet am 12. März statt und zwar nicht zum "Daheim-Bearbeiten". 
Das sind sozusagen Probe-Aufgaben zur Vorbereitung/Übung, hab's auch nur mal so erwähnt. Aber was hilft mir hier bitte 2*5=10 ? Wenn ich z.B. das 33! ohne Rechner ausrechnen soll, da bringt 2*5=10 doch nicht wirklich etwas?! |
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| 21.02.2005, 20:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
es sagt ja keiner, dass du irgendwelche zahlen ausrechnen sollst.... du sollst ja nur die nuller am ende angeben..... tipp: 600=2³*3*5² mfg jochen |
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| 21.02.2005, 21:08 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ja, richtig ich brauche nur die Anzahl der Nuller. Hm...ich kann noch nicht richtig was damit anfangen.. also wir haben ja 6³³ und das könnte man jetzt natürlich in 2^10 's zerlegen und sich so dann die Nuller überlegen bzw. aufschreiben. Aber dann würde ja noch das 33 Fakultät fehlen. Aber irgendwie einen direkten Weg wie ich das 6³³ zerlegen kann oder so, damit ich die Nuller gleich sehe gibt's nicht oder? Du hattest im ersten Beispiel 2*5=10, da ist 5^1 dabei und ein Nuller im Ergebnis, bei dem zweiten Tipp 5² und zwei Nuller, aber das hat jetzt nichts zu sagen oder? |
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| 21.02.2005, 21:12 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*geheimhinsvollguck* du bist auf dem rechten weg...... aber 75 hat auch 5² als teiler, aber keinerlei 0er.... hmmmmm. mach mal weiter! tipp: 16000=2^7*5³
was bringt das? wieviele nuller hat z.b. 2^11 als endung? edit: quotte nach quote
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| 21.02.2005, 21:13 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@skyfighter Überlege dir mal, auf welche Ziffer 6^33 endet. Das solltest du rauskriegen
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| 21.02.2005, 21:24 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber ich habe bei ja gar kein Ergebnis/Zahl die für 6^33 rauskommt und kann die somit auch nicht in sowas zerlegen, wie in deinen Beispielen. Da nimmst du eine Zahl und zerlegst die dann oder?! @Calvin, dann wäre die Fragstellung ja irgendwie etwas "blöd". *g* Denn 6^33 endet ja auf die Ziffer 6. Und was ist mit der 33! (33 Fakultät) zu machen, die sollte man ja auch beachten oder etwa nicht? |
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| 21.02.2005, 21:30 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist nicht so wirklich mein Spezialgebiet, deswegen finde ich die Aufgabe durchaus spannend. Aber 6^33 bringt doch zunächst mal keine weiteren 0er dazu. Es wäre also nur noch nachzusehen, ob das Produkt der ersten von 0 verschiedenen Ziffer aus 33! mit 6 ergibt. Oder sehe ich da was falsch 
Also zunächst mal die Anzahl der 0er aus 33! bestimmen. Das wäre zumindest mein Ansatz
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| 21.02.2005, 21:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also ich kann 6^33 zerlegen ohne weiteres
denk mal noch mal drüber nach..... da dies eine knobel-üb-aufgabe sein soll, will ich auch echt nicht zu viel verraten..... tipp: 25=5*5, 10=2*5, 20=2*2*5 |
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| 21.02.2005, 22:14 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, also irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig...bewege mich immer Kreis mit dem Zerlegen und so. 6³³ = 2³³ * 3³³ = 2*2^16*2^16 * 3*3^16*3^16 = 5³³*1,2³³*10³³ = 5^33*2^33*0,6^33 = 10^33*0,6^33*10^-33 ^^ Nur als ein Beispiel....also das wird irgendwie nichts.
Das klappt bei mir auch, nur ohne Plan bringt mir das Zerlegen halt auch nicht viel. *gg*
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| 21.02.2005, 22:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
versuche nur in primfaktoren (oder gegebenenfalls auch in 10=2*5) zu zerlegen... keine kommazahlen.... na, immer noch nichts? wieviel end0er hat denn folgende zahl (erstmal vermuten, ohne sie auszurechnen)? 2^4*5^2*3, entdeckst du ein system? was hat denn die 3 für die endnuller zu tun? mfg jochen |
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| 21.02.2005, 22:59 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ja alles klar...da ist dann jeweils der Exponent der 5 die Anzahl der End0en. Nun müsste dann also die 6^33 irgendwie zerlegt/aufgeteilt werden, sodass es etwas mit 5^x gibt. Ich wüsste aber gerade nicht wie. Ich habe es mal rein probeweise mit Hilfsmittel ausgerechnet, also bei 6^33 hätten wir 11 Nullen. Dann brauchen wir ja noch die 33 Fakultät, was 22 Nullen bringt. Die Multiplikation der Ziffern ergeben weitere 15 Nullen. Das macht dann insgesamt 48 Nullen, wenn das soweit stimmt. *g* Wüsste ehrlich nicht, wie ich dann insgesamt auf 48 Nullen kommen soll?! |
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| 21.02.2005, 23:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
autsch, nein! wie oben erwähnt hat 5² keinerlei 0en am ende... nicht nur die 5er sind ausschlaggeben (10=5*2), sondern auch noich die....? 6^33=5^x gilt für keine natürliche zahl n, wie leicht zu beweisen ist, denn eine primzerlegung ist eindeutig!
was isn das für ein hilfsmittel, das endet doch auf 6?!
du bist auf dem richtigen weg! |
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| 21.02.2005, 23:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie kommst du auf die 11 Nullen bei 6^33?? Die letzte Ziffer muss doch ne 6 sein! 6*6 ergibt als Endziffer 6, wenn du das wieder mit 6 multiplizierst, wieder Endziffer 6 usw. Der Rest ist leider auch alles falsch! 
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| 22.02.2005, 19:42 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
...2er. *g* Da es ja Primfaktorzerlegung ist und ich 5er und 2er brauche.
Ich ziehe die kompletten Ergebnisse da mit den Nullen zurück, das ist das Ergebnis welches ich durch MS Excel erhalten habe!! Ich beziehe mich also wieder auf mein Posting von weiter oben, wo ich das ja schon bestätigt habe, dass 6^33 auf die 6 endet!
Und das heißt für mich ja, ich muss die 6^33 gar nicht beachtet werden muss! Da das Produkt auf 6 endet, wie ich mir das auch schon überlegt hatte weiter oben im Posting und Mathespezialschüler eben auch nochmal gesagt hat! Für mich ist nun also nur noch die 33! wichtig bzw. zu betrachen und wie ja nun mir bekannt ist, in Primfaktoren zu zerlegen. Ich habe dann die Faktoren von 1-33 aufgeschrieben und mir dort dann jeweils die Zerlegung für jeden Faktor überlegt, daraus hat sich dann Folgendes ergeben: D.h. für mich die 33! hat 7 End0en, auch durch Hilfmittel nun korrekt (*g*) überprüft!!! 
Ich bedanke mich nochmal für die tolle Hilfe @ll und vor allem @LOED.
Ich habe nun noch eine Frage...muss ich das mit der Fakultät dann wirklich komplett zerlegen für jeden Faktor oder kann ich das grad so überlegen: Eine 2 bekomme ich so und so, ja sogar mehrfach bei den Faktoren von 1-33, d.h. das ist "erledigt". Dann muss ich nur noch schauen, welche Zahlen durch 5 teilbar sind, das geht von 1-33 ja auch schnell. Nämlich 5, 10, 15, 20, 25 und 30. Das ergibt und somit habe ich meine End0er, oder? |
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| 22.02.2005, 22:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja das geht...so habe ich mir das auch gleich einfach gedacht...... übrigens darfst du die 6^33 nicht immer unter den tisch fallen lassen..... wie viele endnuller hat denn 5^7*6^33?? hat auch 7 endnuller, denn die scheinbar fehlenden 2er kommen aus dem 6^33!! denn das liefert dir ja 33 mal den primfaktor 2! nur noch als nachtrag! mfg jochen |
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| 22.02.2005, 22:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und als weiteren Nachtrag: Die Primzahl kommt in genau -mal vor. Dabei ist wie üblich die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Die obige "Reihe" ist keine echte Reihe, sondern eine gewöhnliche (endliche) Summe, da nur endlich viele Glieder ungleich Null sind. |
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| 23.02.2005, 20:48 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ahja, stimmt ²LOED - da muss dann aufpassen. Noch eine Frage / Nachtrag: Du hattest mal 10 = 2*5 als Beispiel gebracht => 1 Endnuller, da 5^1. Was ist bei 50 = 2*5² ? Es ist eine 2 enthalten und 5², aber keine 2 Endnuller?! |
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| 23.02.2005, 21:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du zählst, wie oft die 2 in einer Zahl (d.h., in ihrer Primfaktorzerlegung) enthalten ist, und wie oft die 5 darin enthalten ist. Die kleinere dieser beiden Anzahlen ist die genaue Anzahl der Endnullen - klar jetzt? |
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| 24.02.2005, 00:59 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das hat zwar arthur schon beantwortet, aber da muss ich noch mal einhaken: wie oft habe ich dir gesagt, dass z.b. 5² keine endnull hat und warum eben nicht nur die 5 entscheidend ist? da hättest du dir das aber auch selbst zusammenreimen können!
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