Mal wieder eine Zahlenreihe... []

22.02.2005, 13:47

KnightMove

Mal wieder eine Zahlenreihe... []

1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, ... wie geht diese Reihe weiter? Was ist die längste Folge von gleichlautenden Zahlen innerhalb der ersten 100 Glieder?

22.02.2005, 15:15

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...
Sicher bin ich mir keinesfalls , aber eine mögliche sinnvolle Deutungsvariante ergibt die Fortsetzung
1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, ...

Wir sollten aber gleich zu den Quotienten aufeinander folgender Glieder übergehen:
2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1

22.02.2005, 15:35

kurellajunior

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...
Die hab ich acuh, welche Systematik siehst Du denn da?

22.02.2005, 16:00

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ ... bei Primzahlpotenzen $\begin{eqnarray*} n=p^r \end{eqnarray*}$ die zugrunde liegende Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , sonst 1

Aber vielleicht meint es Knightmove ja auch anders, mal abwarten.

22.02.2005, 16:09

Seimon

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...

Zitat:

Original von KnightMove
1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, ... wie geht diese Reihe weiter?

3473,15703,50770,133334,...

wär auch eine Möglichkeit Big Laugh

22.02.2005, 16:25

JochenX

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seimon hat nicht ganz unrecht.
ich verweise mal wieder auf diesen schönen artikel: http://www.wissenschaft-online.de/autono...trum-verlag.php edit2: <--- den link da meinte ich nicht

mfg jochen

von dem her wäre die längste zahlenreihe sehr variabel bei mir aber 27 27 27 Hammer

edit:
großes sorrry, total falscher link!
http://www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archiv/1017 <-- das meinte ich.
danke, jan!

22.02.2005, 16:27

kurellajunior

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ ... bei Primzahlpotenzen $\begin{eqnarray*} n=p^r \end{eqnarray*}$ die zugrunde liegende Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , sonst 1

Aber vielleicht meint es Knightmove ja auch anders, mal abwarten.

Klingt gut, jedenfalls würde es Knightmoves zweite Frage beantwortbar machen, daher ist diese Lösung sehr wahrscheinlich... Also suchen wir nach der längsten Lücke zwischen zwei Zahlen, deren Zwischenzahlen min 2 verschiedene Primfaktoren haben...

hmm, da hilft wohl nur suchen, oder?

Edit: @ Seimon verwirrt

@LOED, welchen der vielenArtikel meinst Du?

EDIT2: es ist eine Folge von gleichen Zahlen gesucht, nicht Ziffern!

22.02.2005, 16:31

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...

Zitat:

Original von kurellajunior
hmm, da hilft wohl nur suchen, oder?

Ja, ist bis 100 sicher das effektivste. Mach mal - ich bin zu faul dazu. Big Laugh

22.02.2005, 16:42

kurellajunior

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RE: Mal wieder eine Zahlenreihe...
Mein Tafelwerk mit der Primzahlliste bis 1000 ist zu Hause, gibts sowas auch im Netz?

22.02.2005, 16:45

JochenX

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mit gugel gefunden

22.02.2005, 17:04

kurellajunior

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Danke LOED, am vielversprechendsten ist 89 - 97. das sind immerhin 7 Zwischenzahlen aber ob davon alle min zwei Primfaktoren haben?
Wer will?

ok 90 hat
91
92 hat
93
94 hat
95 hat
96 hat

22.02.2005, 17:08

JochenX

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91=7*13
93=3*31

jeder hat 2 primfaktoren.....

mfg jochen

ps: hoffe, du hast meinen editierten link oben bemerkt Augenzwinkern

22.02.2005, 17:31

kurellajunior

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Zitat:

Original von LOED
ps: hoffe, du hast meinen editierten link oben bemerkt Augenzwinkern

hääh?

Aber egal, die Antwort ist 7!

22.02.2005, 17:38

Seimon

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Zitat:

Original von LOED
http://www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archiv/1017

super artikel Freude

und JA ich hab mit einem Interpolationspolynom gewerkt Augenzwinkern

22.02.2005, 17:38

JochenX

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Zitat:

Original von kurellajunior

Zitat:

Original von LOED
ps: hoffe, du hast meinen editierten link oben bemerkt Augenzwinkern

hääh?

das bezog sich auf dein: "@LOED, welchen der vielenArtikel meinst Du?"
da hatte ich was falsches gepostet und habs aber verbessert.....

Zitat:

Aber egal, die Antwort ist 7!

5040?

22.02.2005, 17:46

kurellajunior

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Artikel gelesen, köstlich.

wieso 5040?

22.02.2005, 17:48

JochenX

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5040=7!.......

über das korrekte setzen von Ausrufezeichen in mathematischen Lösungen...

edit: darum gibt es auch so viele mathematische Sätze, aber nur so wenige mathematische Ausrufe! bitte mal drüber nachdenken!

22.02.2005, 17:58

kurellajunior

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Du *zensiert*

22.02.2005, 18:35

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Da wir grad so schön bei Primzahllücken sind:

Gibt es 100 aufeinander folgende natürliche Zahlen kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^{22} \end{eqnarray*}$ , die keine Primzahlen sind?

(Hoffentlich sind die Zahlen groß genug, dass mich nicht einer per Computer Brute Force austrickst! Big Laugh

)

22.02.2005, 18:40

kurellajunior

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Frech wie Oskar: Nö! ist aber obdA

22.02.2005, 18:46

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Jetzt weiß ich endlich, was "ohne besonders durchdachte Argumente" bedeutet - das ist nämlich falsch. Zunge

22.02.2005, 22:28

JochenX

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wieviel ist etwa 101! ??
viel zu viel mist....
aber man braucht ja auch nicht alle..... kgV von {1,2,...,101} bestimmen, dann sollte (kgV+2) bis (kgV+101) nichtprim sein.....
wie groß ist nur das kgV?

22.02.2005, 22:40

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Etwa $\begin{eqnarray*} 2.3\cdot 10^{38} \end{eqnarray*}$ ...

Du hast doch wohl nicht erwartet, dass es so einfach wird. Augenzwinkern

EDIT: Entschuldige, das ist nicht das kgV, sondern nur das Produkt der Primzahlen von 2 bis 101 (das meintest du aber wahrscheinlich). Das kgV wäre noch größer...

22.02.2005, 22:46

JochenX

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die paar stellen... Menno!
dann fällt mir da erst mal kein mathematischer ansatz mehr ein....
werde das aber mal weiter verfolgen.....

ist eigentlich zur ursprünglichen aufgabe und eurer lösung schon ein okay gekommen?

kleiner edit: ne ich hatte oben wirklich kgV gemeint....
ich dachte, na wenn schon viel, dann lieber genug!

23.02.2005, 08:22

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Dann gebe ich mal einen kleinen, nein, eher großen Tipp:

Betrachte mal Zahlen der Form

$\begin{eqnarray*} M=C\cdot\prod\limits_{\substack{p\leq 47\\p\;\mathrm{prim}}} p=C\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 43\cdot 47\approx C\cdot 6.15\cdot 10^{17} \end{eqnarray*}$

und halte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aus gesehen nach beiden Seiten Ausschau nach möglichen Nichtprimzahlen.

Natürlich ist das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ noch passend zu wählen. verwirrt

23.02.2005, 14:33

JochenX

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hmm, ja diese zahl +2,+3,+... bis +49 ist nichtprim, genauso mit -2,-3,...-49, ebenso ist auch die zahl selbst nichtprim....
bleibt noch das problem mit +1 bzw. -1, was ohne *C auf jeden fall zu einer primzahl führen würde...
dafür gesucht also das korrekte C.... ich hab da schon ein vermutung für +1 aber das kann auch humbug sein! (hab das mal auf weniger primzahlen reduziert und damit zuminmdest mal eine erste vermutung gefunden....)

23.02.2005, 14:36

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Zitat:

Original von LOED
was ohne *C auf jeden fall zu einer primzahl führen würde...

Wenn das stimmen würde, hätte man eine tolle Methode zur Gewinnung großer Primzahlen. Big Laugh

Aber ich glaube zu wissen, was du mit dieser unvorsichtigen Formulierung eigentlich meinst.

Und überhaupt - du bist mit den +1, -1 auf der richtigen Spur.

23.02.2005, 14:41

JochenX

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hmpf, ja für das C muss ich noch grübeln mit rückshließen sehe ich da grad doch nichts.....

Zitat:

Wenn das stimmen würde, hätte man eine tolle Methode zur Gewinnung großer Primzahlen.

aber ist das "produkt von allen primzahlen bis zu einer oberen grenze" +1 nicht automatisch eine primzahl?
immerhin kann sie keinen der kleineren primteiler?

23.02.2005, 14:47

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$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509 \end{eqnarray*}$
Aber dein letzter Satz stimmt.

23.02.2005, 15:18

JochenX

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na da bin ich beruhigt! hatte mich da tatsächlich verdacht......
zum glück kommen da andere potentielle primteiler dazu, denn sonst gäbe es keine möglichkeit für das c, wie eine zerlegung in (c-1)+1 zeigen würde....

gibt es denn zum lösen des c-problems überhaupt einen logischen geeigneten mathemastischen ansatz?
auf den man auch kommen kann.... (?)

mfg jochen

ps: aber spaß machts auf alle fälle...
siehe auch hier: alle primzahlen bis 10^6 download txt

23.02.2005, 15:52

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War ja eh nicht als "Rätsel" gedacht, also löse ich mal auf: $\begin{eqnarray*} M\pm 1 \end{eqnarray*}$ ist ja nach Konstruktion durch keine der Primzahlen 2 bis 47 teilbar. Aber mit den nächsten beiden kann man es ja ruhig mal versuchen - besser gesagt: erzwingen!

Das heißt, man bestimmt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ so, dass die simultane Kongruenz
$\begin{eqnarray*} M-1\equiv 0\mod 53 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M+1\equiv 0\mod 59 \end{eqnarray*}$
erfüllt ist. Natürlich kannst du +- auch vertauschen, oder überhaupt andere Primzahlpaare als (53,59) nehmen, aber die bieten sich als nächste eben an. Das erhaltene $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist eindeutig modulo 53*59=3127, also ist ein $\begin{eqnarray*} C\leq 3127 \end{eqnarray*}$ wählbar, und folglich
$\begin{eqnarray*} M\leq 3127\cdot 6.15\cdot 10^{17}\approx 1.9\cdot 10^{21} \end{eqnarray*}$
so erklären sich die $\begin{eqnarray*} 10^{22} \end{eqnarray*}$ , ich wollte "großzügig" sein.

Tatsächlich kommt bei obiger Kongruenz $\begin{eqnarray*} C\equiv 850\mod 3127 \end{eqnarray*}$ heraus, also hätte ich auch $\begin{eqnarray*} 10^{21} \end{eqnarray*}$ angeben können... Big Laugh

23.02.2005, 16:07

JochenX

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okay dieses M soll bei teilung durch 53 rest 1 lassen, bei teilung durch 59 rest 58, bzw. rest -1.
ansatz ist klar und eigentlich auch ganz sinnig....
das du das dann ausrechnen kannst, ob es etwas gibt, auch klar.....
das ob scheint aber gar keine frage zu sein.....

ich wäre das nie drauf gekommen, denn ich wüsste ja nichtmal, dass so ein C in der menge {1,...,53*59} sicher existiert.
gilt das immer?
also:
C lässt bei Teilung durch A einen Rest a
C lässt bei Teilung durch B einen Rest b
so ein C existiert in der Menge {1,...,A*B}
oder liegt das an den 1ern oder woran?

das riecht wieder nach zahlentheoretischen voraussetzungen....

mfg jochen

23.02.2005, 16:16

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Zitat:

Original von LOED
ich wäre das nie drauf gekommen, denn ich wüsste ja nichtmal, dass so ein C in der menge {1,...,53*59} sicher existiert.
gilt das immer?

Ja, nennt sich Chinesischer Restsatz:
http://de.wikipedia.org/wiki/Chinesischer_Restsatz

Hier bei uns liegt der einfache Fall teilerfremder Module vor.

EDIT: Um mal die Argumentationskette zu schließen - ein bisschen rechnen muss man doch. Man muss z.B. aus

$\begin{eqnarray*} M=C\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 43\cdot 47 \end{eqnarray*}$

auch erstmal

$\begin{eqnarray*} M\equiv 27C\mod 53,\quad M\equiv 27C\mod 59 \end{eqnarray*}$

ausrechnen (dass hier beidesmal 27 rauskommt, ist allerdings wirklich "Zufall"). Die Forderungen
$\begin{eqnarray*} M\equiv 1\mod 53 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M\equiv -1\mod 59 \end{eqnarray*}$
ergeben dann bei Division durch 27 in den jeweiligen Restklassenkörpern modulo 53 bzw. 59 die eigentliche simultane Kongruenz

$\begin{eqnarray*} C\equiv 2\mod 53,\quad C\equiv 24\mod 59 \end{eqnarray*}$ .

23.02.2005, 16:25

JochenX

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vielen Dank für den Link. da steht ja eigentlich wirklich genau, das, was man hier braucht!
den Namen chinesischer Restsatz habe ich schon mal vernommen.....

warum dieser algorithmus so genau funktioniert, weiß ich nicht ganz, aber sieht ja ganz possierlich aus.....

schön!

mfg jochen

23.02.2005, 16:29

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Hab noch was angefügt oben, um den Kreis zu schließen. Augenzwinkern

23.02.2005, 16:38

JochenX

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ne, das verstehe ich jetzt nicht.... wie kommst du jetzt auf diese 27??
ich glaube der hauptkern der aufgabe ist dann doch an mir vorbeigegangen.....

wir haben unser C berechnet und wissen nach wie vor: M+2= C*2*3*...*47 +2 ist durch 2 teilbar, M+3 ist durch 3 teilbar......
also waren ja nur M+1 und M-1 problematisch.....

allerdings wissen wir doch: ...
ja, da scheint tatsächlich noch ein problem zu sein....
wir brauchen ja zahlen 850+Z*3127.... und nicht 850*..... <-- edit: da meine ich um bei teilung durch 53 bzw 59 den richtigen rest zu erhalten <-- edit2: ja ne vergesst es
öhm, stimmt das ganze dann überhaupt?

also woher gerade die 27?

23.02.2005, 16:46

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Du musst einfach die Zahl 2*3*...*47 einmal durch 53, und dann auch noch durch 59 dividieren! Der Quotient interessiert nicht, nur der Rest - und der ist in beiden Fällen 27. (Natürlich geht man mit bloßem Taschenrechner bewaffnet so vor, bereits bei der Produktbildung immer mal wieder modulmäßig zu "reduzieren".)

Die größenordnungsmäßig entschärfte Variante war mal eine Olympiadeaufgabe (und da ohne Taschenrechner-Unterstützung!), etwas vor meiner "aktiven" Zeit:

Zitat:

241246A
Man untersuche, ob es 40 aufeinander folgende natürliche Zahlen gibt, die sämtlich kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^9 \end{eqnarray*}$ und nicht Primzahlen sind.

23.02.2005, 17:05

JochenX

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okay *etwas zögernd*
ich glaube damit beschäftige ich mich mal genauer, wenn ich mal groß bin...

hab dann doch noch mal die probe gemacht und meinTR sagt auf jeden fall: es stimmt.....

danke!

24.02.2005, 11:03

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Aufgrund von Irritationen (Sciencefreak Wink

) durch die nichtchronologische Darstellung meiner Lösung zu

Zitat:

Gibt es 100 aufeinander folgende natürliche Zahlen kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^{22} \end{eqnarray*}$ , die keine Primzahlen sind?

will ich diese nochmal in "korrekter" Reihenfolge darbieten:

Grundidee ist die Konstruktion einer Zahl $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} M-52,M-51,\ldots,M+51,M+52 \end{eqnarray*}$ sämtlich keine Primzahlen sind (das sind sogar 105 Zahlen). Durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} M=Cm \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C\geq 1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} m=\prod\limits_{\substack{p\leq 47\\p\;\mathrm{prim}}} p=2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 43\cdot 47 \end{eqnarray*}$

ist schon mal gewährleistet, dass mit Ausnahme der beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} M\pm 1 \end{eqnarray*}$ die restlichen 103 Zahlen jeweils durch wenigstens eine der Primzahlen 2,...,47 teilbar sind. Genauso klar ist aber für beide Zahlen $\begin{eqnarray*} M\pm 1 \end{eqnarray*}$ , dass sie leider durch keine der Primzahlen 2,...,47 teilbar sind.Aber dieses "Problem" lösen wir nun so, dass $\begin{eqnarray*} M-1 \end{eqnarray*}$ durch 53 und $\begin{eqnarray*} M+1 \end{eqnarray*}$ durch 59 teilbar sein sollen - das stellt natürlich Anforderungen an diesen Vorfaktor $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ !

Sind diese überhaupt erfüllbar? Nun, durch kurze Modulrechnung ermittelt man $\begin{eqnarray*} m\equiv 27\mod 53 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\equiv 27\mod 59 \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt die erste Bedingung $\begin{eqnarray*} 1\equiv M=Cm\equiv 27C\mod 53 \end{eqnarray*}$ nach Division durch 27 im Restklassenkörper modulo 53 die äquivalente Bedingung $\begin{eqnarray*} C\equiv 2\mod 53 \end{eqnarray*}$ . Und analog ergibt $\begin{eqnarray*} -1\equiv M=Cm\equiv 27C\mod 59 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} C\equiv 24\mod 59 \end{eqnarray*}$ . Und die Simultankongruenz

$\begin{eqnarray*} C\equiv 2\mod 53,\quad C\equiv 24\mod 59 \end{eqnarray*}$

ergibt nach chinesischem Restsatz die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} C\equiv 850\mod (53\cdot 59)= 850\mod 3127 \end{eqnarray*}$ .

Für unsere Aufgabe wählen wir natürlich das "kleinste" mögliche positive $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} C=850 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt dann letztendlich die Zahl

$\begin{eqnarray*} M=850\cdot (2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 43\cdot 47)\approx 5.23\cdot 10^{20} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Mit ein wenig mehr Probiererei hinsichtlich der Teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} M\pm 1 \end{eqnarray*}$ durch andere Primzahlen als 53 und 59 lässt sich vermutlich auch ein kleineres $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ finden - aber das Prinzip sollte auch so klar sein.

24.02.2005, 11:27

kurellajunior

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Ich muss feststellen, dass modulo mir zwar ein Begriff aus der Informatik ist, aber die Kongruenz und die Restklassen an mir vorbeigegangen sind. Ich beobachte das noch eine Weile und such dann mal einfache Aufgaben dazu, vielleicht versteh ichs ja dann...
Danke erstmal

Jan

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