Abstand windschiefer Geraden (analytische Geometrie)

22.02.2005, 18:58	prinzesschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefer Geraden (analytische Geometrie) Hi! Kann mir jemand erklären, wie ich folgende Aufgabe berechne?? Wär nett! Gegeben ist eine Pyramide mit den Ecken A ( -9 / 3 / -3) B ( -3 / -6 / 0) C ( -7 / 5 / 5) D ( 4 / 8 / 0) Die Kantenmitten sind P, Q, R, S, T und U Wir sollen berechnen: - den Abstand der Geraden durch A und C zur Geraden durch B und D, - den Abstand von A zur Ebene durch B, C und D - den Abstand der Geraden durch T und U zur Geraden durch R und S P = AB S = BD R = DC U = AC T = AD Q = BD
22.02.2005, 19:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist definiert als der Abstand derjenigen zwei parallelen Ebenen, die die beiden Geraden enthalten. Bestimme also die Hessesche Normalform der Ebene, die parallel zu AC und BD liegt, und durch AC verläuft. Zur Abstandsbestimmung musst du dann nur noch B oder D da einsetzen.
22.02.2005, 20:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch einen direkten Weg, von den beiden Geraden ausgehend, deren kürzesten Normalabstand d_n (d. i. das Gemeinlot) zu berechnen, wenn die Endpunkte nicht benötigt werden: $\begin{eqnarray} d_n = \|(\vec{p_1} - \vec{p_2}) \cdot \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\| \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ der Normalvektor auf beide Richtungsvektoren der Geraden und $\begin{eqnarray} \vec{p_1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{p_2} \end{eqnarray}$ die Ortsvektoren zu den Anfangspunkten der Geraden sind. Gr mYthos
22.02.2005, 20:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen sind beide Weg äquivalent und auch gleich aufwändig, da ja dieses $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ auch Normalenvektor der oben von mir erwähnten Ebene ist.

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