0,[periode]9 = 1 |
23.02.2005, 22:19 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
0,[periode]9 = 1 habe ich beschlossen mich selbst zu erkundigen. Mir ist bewusst dass der Grenzwert von 0,[periode]9 natürlich 1 ist, jedoch bin ich mit der Aussage 0,[periode]9 = 1 nicht einverstanden. Ich denke die Zahl 0,[periode]9 nähert sich unendlich nah an 1 an, sie wird jedoch nie 1. Nach langen Diskussionen mit verschiedenen Mathamatik- und Physiklehrern an meiner Schule sind wir auf interessante Ansätze gestoßen. Beweis 1 10K = 9.999... - K = .9999... ________________ 9K = 9 K = 1 Beweis 2 0,[periode]3 = 1/3 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1 --> 0,[periode]9 = 1 |
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23.02.2005, 22:34 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Verschoben Eigentlich sieht man 0.99999... nicht als Zahl an. Aber wenn man doch will, es ist 0.9999999...=1!! 2 Argumente hast du selbst schon gebracht, das zweite kann man auch etwas anders fassen: Ein weiteres: Wären die beiden Zahlen verschiedene reelle Zahlen, so gäbe es zwischen ihnen unendlich viele weitere reelle Zahlen und hier wirst du nicht eine finden! |
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24.02.2005, 01:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
deshalb finger weg von solchen unsinnigen ausdrücken.... 1/3=1/3 und nix mit komischen kommazahlen
also das ist ja wohl.... uargs! |
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24.02.2005, 07:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wo ist das Problem? Die Rechnung ist absolut korrekt. Rechts stehen konvergente unendliche Reihen, sogar geometrische Reihen. Und mit unendlichen Reihen rechnet man nun einmal so. (Der Beweis für die Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe geht im übrigen doch genau so: Die Reihe mit dem Quotienten q aufeinanderfolgender Glieder multiplizieren und beide Reihen voneinander subtrahieren - und hier ist q=1/10.) Eine andere Frage ist, ob dieser "Beweis" taugt für jemanden, der sich mit unendlichen Reihen nicht auskennt. Dann ist das nämlich ein reiner "Überrumpelungsbeweis", gegen den der Verständnissuchende machtlos ist: Er versteht nicht, wie ihm geschieht, wird das Ganze wohl infolge höherer Autorität für richtig halten, ohne es wirklich begriffen zu haben. |
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24.02.2005, 09:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn ich so an meine Schulzeit zurückdenke, da wurden uns Neunerperioden gewissermaßen "verboten". So kann man die Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung natürlich auch erzwingen. Siehe auch folgenden Tadel, den ich mir mal (völlig zu Recht) von Leopold eingefangen habe. |
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24.02.2005, 20:30 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also sehe ich das Richtig dass die 2 "Beweise" mathematisch absolut korrekt sind? Mein Gedanke: wenn ich rechne dann ist es absolut richtig dass das Ergebnis 0,9 ist. Wenn ich jedoch 0,[periode]9 minus 0,0[periode]9 rechne dann rechne ich ja theoretisch die 2. Stelle der "Zahl" [periode]9 minus die erste stelle der Zahl [periode]9 ... Hat jemand verstanden was ich damit meine? 0,[periode]9 ist ja eine unendliche Reihe ... kann man so einfach mit unendlichen Reihen rechnen?
ja 0,[periode]9 ist eine Reihe oder bezeichnet man es als Zahl?
Das stimmt auf jeden Fall, als einige Mitschüler den "Beweis 1" sagen den ihnen mein Mathelehrer vor die Nase geknallt hat stimmten sie alle zu: "0,[periode]9 muss 1 sein" ... [/quote] Ich gehe das Ganze mit Logik an, und im Unendlichen wird es immer weitere 9er geben und somit wird es immer ein stück kleiner sein als 1 ... oder ist mein Problem dass meine Logik nicht logisch ist?
was willst du damit ausdrücken?
ist denn 0,[periode]9 eine reelle Zahl? Ich weis nicht ob sie als solche definiert wird aber oo ist ja auch keine reelle Zahl ... |
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24.02.2005, 20:44 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn du sozusagen unendlich viele 9en hinschreibst, dann ist es =1 und es gibt da keinen Unterschied! Gehen wir mal zur angesprochenen Reihe. Es gilt Wenn du jetzt irgendwann aufhörst, 9en zu schreiben, also z.B. 0,99999 oder 0,9999999999999, dann gibt es immer einen Abstand. Aber je mehr 9en du schreibst, desto kleiner wird der Abstand und wenn du letztendlich die Anzahl der 9en gegen unendlich gehen lässt, dann wird es doch 1. Das ist alles im Grunde genommen nur die Konvergenz der oben angegeben Reihe. Die konvergiert ja und geht gegen 1, das heißt in diesem Fall, es ist immer ein Abstand da, aber der wird beliebig klein und für geht der eben gegen 0. Das ist die Quintessenz der Konvergenz. Wenn du das Thema schon hattest, dann sollte dir das klar werden! Nein, ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau 1 und zwei verschiedene Dezimalschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Dezimalschreibweise einer reellen Zahl. |
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24.02.2005, 20:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Na! ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau und zwei verschiedene Bruchschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Bruchschreibweise für eine rationale Zahl. Glaubst du das wirklich? |
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24.02.2005, 21:11 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
könnte man nicht sagen der Abstand geht gegen 0, somit geht gegen 1 aber der Abstand wird nie null und wird nie 1?
der Ansatz von Leopold ist auch sehr interessant
Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert ... das heist doch aber nicht dass die Folge dem Grenzwert entspricht?! Wenn ich doch schreibe dann wird f(x) niemals 0 werden, es konvergiert gegen 0 aber wird es doch nie ... |
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24.02.2005, 21:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mein Beitrag war natürlich nicht ernst gemeint, sondern eher als "Nasenstüber" für MSS gedacht. |
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24.02.2005, 21:13 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
kann mir niemand einen mathematischen Beweis bringen dass [latex] 0,\overline{9} [l/atex] nicht 1 ist? |
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24.02.2005, 21:15 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es ist halt schwer, etwas Richtiges zu widerlegen. |
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24.02.2005, 21:16 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
nö, geht nicht, schließlich ist es das ja.... zeigen dass 5 nicht gleich 5 ist geht ja auch nicht...... edit: zu spät, leopold war schneller........ |
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24.02.2005, 21:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe nicht behauptet, dass die Bruchschreibweise eindeutig ist, dass sich also jede rationale Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Bruch darstellen lässt. Ich habe "nur" behauptet, dass sich jede reelle Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Dezimalbruch darstellen lässt!! |
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24.02.2005, 22:19 | Guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wenn was ist dann ... natürlich ist es aber ich meine man kann es doch nicht anders ausdrücken als , oder |
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24.02.2005, 22:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das Problem ist einfach, dass 0,99999999...=9/9=1 ist, bei 0,33333333=3/9=1/3 findest du halt keinen weiteren Ausdruck dafür, aber das hat doch auch nichts zu sagen! Nur weil es beides periodische Dezimalzahlen sind, muss für sie doch nicht sofort das gleiche gelten! |
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24.02.2005, 22:29 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
aber statt 1/3 einfach zu sagen hat doch stil edit: und gilt auch nicht allgemeingültig, da musst du noch n=0 ausschließen |
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24.02.2005, 22:40 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja ich wollte vermeiden dass du sagst sagt mal was gegen das was ich geschrieben habe:
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24.02.2005, 22:51 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das stimmt auch noch nicht ganz, so ist es Allgemeingültig: \ |
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24.02.2005, 22:52 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du vertauschst da die Folge und den Grenzwert. Sei , also abbrechend! Z.B. oder . Und jetzt füge ich das in deinen Text ein, sodass es passt: Könnte man nicht sagen der Abstand geht gegen 0, somit geht gegen 1 aber der Abstand wird nie null und wird nie 1? ... So wäre es richtig. Aber wir wissen ja, dass der Grenzwert von 1 ist und er ist auch . Das is auch ne Plausibilitätserklärung für ! |
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24.02.2005, 23:21 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
okay es ist ein weiterer Beweis dafür das mathematisch gesehen ist ... aber gehen wir das ganze doch mal mit logik an Für euch ist weil es den Grenzwert 1 hat. Für mich ist weil egal wie wie nah man an 1 kommt, es wird niemals 1 werden da im undendlichen immernoch eine Differenz zwischen 1 und ist. Genauso kann ich 1 durch teilen, es wird doch niemals 0 werden. Das Problem liegt einfach darin dass man mathematisch sehen kann aber die Logik dem ganzen doch widerspricht. Auf jeden fall meine (un)Logik. |
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24.02.2005, 23:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
"0,9periode" hat keinen grenzwert, da irrst du. MSS folge, die gegen 0,9periode konvergiert hat einen grenzwert, 1. aber eine zahl ist eine zahl ist eine zahl. die ist und konvergiert nicht. |
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24.02.2005, 23:27 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ist doch keine Zahl, es ist eine Folge |
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24.02.2005, 23:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
a_1=0,9 a_2=0,99 a_3=0,999 a_n=.... steht vorne schon, ich will jetzt nicht texen, das ist eine folge 0,9 periode ist ein zahl. |
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25.02.2005, 06:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eben. Und genau das Letzte ist falsch. Durch die (natürlich falsche) Analogiebildung bei Brüchen wollte ich dich darauf stoßen. Aber du läßt dich einfach nicht davon abbringen ...
Jeder Dezimalbruch ist nur eine Schreibweise für eine Zahl, und zwar ist die dargestellte Zahl eben genau der Grenzwert der dem Dezimalbruch zugrundeliegenden Folge. Und das ist gar nichts Besonderes bei , das ist bei jeder reellen Zahl so. Du hast die drei Pünktchen noch nicht verstanden. Den Schritt von "furchtbar viel" nach "Unendlich" hast du gedanklich noch nicht bewältigt. "Unendlich viele Neunen" bedeutet eben mehr als "sehr viele", ja mehr als 1000 Neunen, sogar mehr als 1000000 Neunen, ja mehr, als jede Anzahl von Neunen, die du dir überhaupt vorstellen kannst. Das ist fast wie im Traum: Der Jüngling sieht seine Angebetete, er kommt ihr immer näher und näher, schon will er sie fassen, aber letztlich ist sie jenseits seiner Gedanken, er bekommt sie nicht. Und diesen letzten Sprung hinter seine Gedanken, den muß er noch wagen. Dann steht seliger Umarmung nichts mehr im Wege ... |
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25.02.2005, 09:43 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Endlich mal ein Bild für die Unendlichkeit, mit dem auch Nichtmathematikern dieses Phänomen vielleicht erklärt werden kann. *freu* und Danke Leopold. |
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25.02.2005, 12:38 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, ich denke genau das ist das Problem! aber wenn es doch immer weitere 9en gibt ... es gibt unendlich viele 9en ... dann ist es doch auch im unendlichen nie 1. Klingt das nicht logisch? |
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25.02.2005, 12:54 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Liege ich richtig wenn ich behaupte dass ihr davon ausgeht dass 1/oo = 0 ist? Das steht unter Wikipedia (Unendlich):
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25.02.2005, 14:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie oben schon gesagt, es gibt immer einen Abstand zwischen jedem meiner Folgenglieder und 1, aber eben keinen zwischen und 1. Das Argument, was du grad gebracht hast, hast du doch schon mehrere Male vorher genannt und wir haben gesagt, dass es falsch ist und Begründungen geliefert, deswegen verstehe ich nicht, warum du immer das gleiche Argument bringst.
Hmmm, warum soll das falsch sein? Nenn mir mal ein Gegenbeispiel (wahrscheinlich wirst du nennen, richtig?). Ich glaub, es läuft darauf hinaus, wie man die Dezimalschreibweise definiert ... |
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25.02.2005, 16:01 | pfnuesel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Angenommen , wie viel wäre dann ? Etwa ? Auch der griechische Philosoph, Zenon der Ältere, hatte so seine Mühe mit den Grenzwerten:
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25.02.2005, 16:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, das tue ich: Aber nicht nur ich allein tue das. Da gibt es auch noch andere:
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25.02.2005, 16:39 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich wusste, dass das kommt. Ich hab ja selbst bemerkt, dass ich mich damit widersprechen würde, aber dann hab ich mir gedacht, dass es schwer ist, das anders auszudrücken. Also hab ich einfach mal die Notation übernommen, sie sollte das nur möglichst einfach darstellen. Ich bleibe aber dabei und wie ich schon gesagt hatte, kommt es auf die Definition an. Wenn ich es jetzt so definiere: Sei a eine beliebige reelle Zahl. Dann gibt es genau eine Ziffer aus {0,1,2,...,9} mit Dann gibt es auch genau eine Ziffer aus {0,1,2,...,9} mit Das kann man jetzt immer weiter spielen. Somit erhält man mit der Zehnteilungsmethode eine Intervallschachtelung für a und man nennt dann die Ziffern der Folge die Dezimalstellen von a und stellt a in der Form dar. Das fettgedruckte soll die Definition darstellen. Bliebe noch deine Definition. |
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25.02.2005, 16:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Warum versuchst du, etwas mit Zwang eindeutig zu machen, wo das gar nicht nötig ist? Und was ist das für eine Definition? Du unterstellst am Ende deiner Definition, daß es Dezimalbrüche mit der Periode 9 gibt, aber wenn einem denn einmal einer begegnete, dann sei er in Wirklichkeit verboten und in einen abbrechenden Dezimalbruch umzuwandeln. EDIT Leider hat MSS seinen Beitrag geändert, so daß meine letzte Bemerkung nicht mehr verständlich ist. Laß es doch, wie es ist: Jeder abbrechende Dezimalbruch kann auch als Dezimalbruch mit der Periode 9 geschrieben werden: . |
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25.02.2005, 17:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Richtig, vorher war es eine Zwangsdefinition. Jetzt habe ich es stark vereinfacht, nachdem mir aufgefallen ist, dass es so geht.
Naja, ich denke einfach, dass Definitionen in der Mathematik eindeutig sein müssen. Siehst du das nicht so? Definition: e ist diejenige reelle Zahl, für die gilt! |
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25.02.2005, 17:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Zahlen sind eindeutig, aber nicht ihre Darstellung: Das sind jetzt nur einmal drei Darstellungen der Eulerschen Zahl. Willst du nur eine zulassen und die anderen verbieten? |
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25.02.2005, 17:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, du hast mich überzeugt Aber du kannst ja trotzdem nur (höchstens) eine der drei Darstellungen als Definition auffassen und musst die anderen beiden daraus schlussfolgern. Das müsstest du dann bei der Dezimaldarstellung auch so machen. Allerdings seh ich auch selbst, dass das wohl nicht schwer ist (sei ): ... |
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25.02.2005, 17:37 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@MSS Wenn du noch die Voraussetzung anfügst (also die Neunerperiode "maximal" auch nach vorn ausgedehnt wird), dann können wir das gelten lassen. Herrje, da gibt's dann auch noch ... ach, was soll's, jeder weiß, was gemeint ist. |
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25.02.2005, 17:41 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, verbessert Und für kann sichs ja jeder denken, dann ist halt und es wird das gleiche Spielchen gespielt. |
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25.02.2005, 17:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Am besten, man beruft sich auf die Axiome der reellen Zahlen und läßt das Rechnen mit Dezimalbrüchen sein. Die brauchen ja sowieso nur die angewandten Mathematiker (z.B. die Statistiker ) - und die meisten Stellen lassen die dann auch gleich nach undurchschaubaren Regeln weg: |
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25.02.2005, 17:56 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Leopold ist doch ein spitzenmäßiger Näherungswert, wenn man an das denkt, was 1897 in Indiana verabschiedet wurde: http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl oder per Gesetz! (Es gibt sich widersprechende Quellen, welcher von beiden Werten es war.) P.S.: Übrigens netter Versuch, der Hinweis auf Statistiker - aber ich bin heute viel zu friedlich gestimmt, um zu streiten. |
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