Simple Frage zur Vektoralgebra

08.08.2007, 13:54

BMT-Sebastian

Simple Frage zur Vektoralgebra

Halli hallo!

Ich muss mich momentan zwangsläufig ein wenig mit Vektoren auseinandersetzen, bzw. der dazugehörigen Vektoralgebra. Ich soll am ende diverse Herzvektoren (Einhoven Ableitungenetc.) berechnen können und arbeite mich gerade ein wenig in die Grundlagen.

Frage:

Wenn es heißt, man berechne eine Fläche, die von 3 Vektoren aufgespannt wird (bei 3 eben ein Dreieck), wie soll man sich das Bild grob vorstellen?

a.) Ansatz:

Sind meine 3 Vektoren mit je x,y,z, Punkte in einem dreidimensionalen Raum R³ und ich verbinde diese 3 gg. Punkte zu einem Dreieck?

ODER

b.) Ansatz:

Sind meine Vektoren Geraden, die zu einem Dreieck aneinander gereiht werden? Also A(1,1,1), B(2,2,2) und C(3,3,3) könnte man ja die Länge berechnen und die Geraden zu einem Dreieck aneinder legen.

Was mich wiederum zu eine weiteren Frage bringt: Sollte Ansatz a.) richtg sein, und ich haben im raum R³ 3 Punkte, die ich zu einem Dreieck verbunden habe, wie berechne ich länge der Geraden (Ankatete, Gegenketete, Hypotenuse etc.). Gehe ich da irgendwie von einem weiteren Vektor V(0,0,0) aus und es gelte sowas wie S=A +B

Bin mich da erst am einarbeiten, sorry für evtl. ungereimtheiten Wink

08.08.2007, 14:11

therisen

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Vektoralgebra ist ein ziemlich schlechter Begriff für das, was du tust. Unter einer Algebra verstehe ich eher sowas: http://de.wikipedia.org/wiki/Algebra_%28Struktur%29

Die Fläche ist ein Dreieck, ja. Die Länge der Seiten kannst du bei gegebenen Koordinaten über die euklidische Norm berechnen.

Gruß, therisen

08.08.2007, 14:36

BMT-Sebastian

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Naja, ich habe es halt als Vektoralgebra bezeichnet, weil es über meinem "Skrips" so drüber steht ^^

Jedenfalls bin ich mit dem Artikel aus Wikipedia niht wirklich weitergekommen. Bei der Frage mit dem Dreieck wäre also Ansatz a.) richtig, sprich die Punkte zu einem 3-Ecke verinden.

Würde es dir ggf. etwas ausmachen, es mir an einem simplen Beispiel näher zu bringen:

P=(1,2,3), Q=(3,4,5), R=(1,3,2) bilden das Dreieck.

Wie komme ich nun auf die einzelnen Gerade, welche mir das Dreieck aus den gegegeben Punkten bilden?

Dankeschön!

08.08.2007, 14:44

BMT-Sebastian

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Obwohl, ggf. bin ich dann doch darauf gekommen:

Würde ich die Gerade jetzt einfach mal Vektor a nenen, zwischen P und Q dann läße sich dieser doch z.B. wie folgt berechnen:

a = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.08.2007, 14:53

zweiundvierzig

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Um genau zu sein, ist das der Vektor, der anschaulich von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ verläuft. Du kennst die Definition der Euklidischen Norm ("Länge" eines Vektors) für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 := \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2} \end{eqnarray*}$ . Dabei sind die Komponenten des Vektors $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \left( x_i \right)_{i=1, \ldots, n} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Edit: Benennungen präzisiert.

08.08.2007, 15:08

therisen

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Zitat:

Original von BMT-Sebastian
Würde ich die Gerade jetzt einfach mal Vektor a nenen, zwischen P und Q dann läße sich dieser doch z.B. wie folgt berechnen:

a = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Gerade ist kein Vektor. Sie ist ein (möglicherweise affiner) eindimensionaler Unterraum.

08.08.2007, 17:52

BMT-Sebastian

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Naja, eigentlich hat das jetzt mit meiner Frage ganz oben überhaupt nichsmehr zu tun und es ist auch irgendwo egal, ob es jetzt eine Gerade, ein Strich oder ein Vektor ist........

....... jedenfalls wenn ich doch jetzt Vektoren aus den gg. Punkten mache, wie oben beschriebene, hätte ich ja mein 3-Eck!

Den Flächeninhalt dieses 3-Ecks könnte ich doch simplerweise auch nur mit 2 Vektoren berechnen indem ich den Betrag des Vektorproduktes 2er Vekoren bilde und praktisch davon die hälfte nehme.... oder?

08.08.2007, 18:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von BMT-Sebastian
Naja, eigentlich hat das jetzt mit meiner Frage ganz oben überhaupt nichsmehr zu tun und es ist auch irgendwo egal, ob es jetzt eine Gerade, ein Strich oder ein Vektor ist........

Nein, das ist nicht egal. Ein Vektor ist ein Vektor (Charakteristik: Länge und Richtung), und keine Gerade (Charakteristik: Richtung, ein fester Punkt).

Zitat:

Original von BMT-Sebastian
Den Flächeninhalt dieses 3-Ecks könnte ich doch simplerweise auch nur mit 2 Vektoren berechnen indem ich den Betrag des Vektorproduktes 2er Vekoren bilde und praktisch davon die hälfte nehme.... oder?

Du solltest nochmal in die fünfte Klasse gehen und lernen, wie man den Flächeninhalt eines Dreicks bestimmt. Zudem ist das Vektorprodukt nur im IR³ definiert.

08.08.2007, 18:09

BMT-Sebastian

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Danke!

Das hilft mir jetzt auch unheimlich bei meiner frage weiter !!!

08.08.2007, 18:33

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von WebFritzi
[...] Zudem ist das Vektorprodukt nur im IR³ definiert.

Das ist vielleicht OT, aber eventuell von allgemeinem Interesse: Verallgemeinerung auf endlichdimensionale euklidische Vektorräume

08.08.2007, 18:36

tigerbine

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WebFritzi zeigt sich mal wieder von der charmanten Seite. Mit Zunge

Dennoch ist im Kern wahres, und auch therisen bemerkte schon am Anfang, dass der Titel nicht passt.

Bislang ist das höchstens Analytische Geometrie und gehört in die Schulmathe.

*verschoben*

08.08.2007, 18:41

BMT-Sebastian

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Jaaaaa...

...und genau aus dem Grund steht diese Aufgabe auch in einem Buch für Ingenieure und Naturwissenschaflter!

VEKTORALGEBRA (!)

1 (a.) Untersuchen Sie, ob die 4 Punkte:

P=(1,2,2), Q=(3,4,5), R=(1,3,2), S=(5,2,3)

des R³ ein einer Ebene liegen.

(b.) Berechnen Sie den Flächeninhalt das Dreiecks, dass von den Punkten P, Q, R aufgespannt wird.

08.08.2007, 18:47

tmo

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bei der a hast du 2 möglichkeiten:

entweder du prüfst ob ob die vektoren PQ, PR und PS linear abhängig sind.

oder du stellst eine ebene durch 3 punkte auf und prüfst, ob der 4te punkt auf dieser ebene liegt.

bei der b musst du wissen wie man den abstand eines punktes von einer geraden berechnet. das ist nämlich gerade die höhe des dreiecks.

08.08.2007, 18:48

tigerbine

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Dennoch ist bisher es Schulmathe. Ende.

Die 3 Punkte sind paarweise verschieden. 3 von ihnen liegen also immer in einer Ebene (warum? Augenzwinkern

)

a. Bilde die 3 Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS} \end{eqnarray*}$

Untersuche sie auf lineare Unabhängigkeit. Wie interpretierst Du das Ergebnis?

b. Bilde die 2 Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR} \end{eqnarray*}$

Was ist ihr Kreuzprodukt?

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Wie interpretiert man die Länge (steht oben im Link)

08.08.2007, 19:03

BMT-Sebastian

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Morgen früh zurück ..... Teufel

08.08.2007, 21:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von BMT-Sebastian
Danke!

Das hilft mir jetzt auch unheimlich bei meiner frage weiter !!!

Ja, das tut es, wenn du dich mit meiner Kritik auseinandersetzt. Wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmt, lernt man in der fünften Klasse: "Seite mal Höhe durch 2" und nicht "Seite mal Seite durch 2". Ich denke, das weißt du auch. Du hättest also z.B. schreiben können: "Danke, stimmt. Und wie bekomme ich jetzt die Höhe?" Oder du hättest es vielleicht selber rausgekriegt. Wenn du Hilfe nicht annehmen möchtest, frage ich mich, warum du dann in einem Forum postest...

08.08.2007, 22:47

mYthos

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Es sollte auch mal festgehalten werden, dass es viele Wege zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreieckes gibt.

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \end{eqnarray*}$

ist ja nur eine von mehreren Möglichkeiten.
Wenn - wie vorhin schon angesprochen - die Längen der drei Seiten berechnet wurden, bietet sich die Heron'sche Formel an:

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{s(s-a)(s-b))s-c)} \ \ldots \ s = \frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$

Soll vektoriell gearbeitet werden, ist

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{a}^2 \vec{b}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} \end{eqnarray*}$

zielführend.

Die Formel muss man sich nicht merken, denn sie kann aus

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a} \right| \cdot \left|\vec{b} \right| \cdot \cos \gamma \ \text{und} \ A = \frac{1}{2} \cdot \left|\vec{a} \right| \cdot \left|\vec{b} \right| \cdot \sin \gamma \end{eqnarray*}$

abgeleitet werden.

Schließlich ist es noch Tatsache, dass der Betrag des Vektorproduktes zweier Vektoren gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes ist (das Dreieck ist halb so groß ..). Daraus ergibt sich in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ für

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \ \text{und} \ \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die besonders einfache Beziehung

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot \left | \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right | \end{eqnarray*}$

mY+

08.08.2007, 23:22

WebFritzi

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Hallo mYthos! Schöne Ausführungen. Aber was meinst du ganz am ende mit "Vektorprodukt"? Und was bedeuten die Doppelbalken bei der Matrix?

09.08.2007, 10:32

BMT-Sebastian

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Moin!

Ganz am Ende des Beitrags von Mythos, steht ja, wie ich auf diese (wenn vielleicht auch absurde) Idee gekomme bin, mit Hilfe des Vektorproduktes den Flächeninhalt des 3-Ecks zu berechnen. Vektor a und b spannen ja ein parallelogramm auf und die hälfte davon is mein Dreieck. Dass das allerdings nur im R² geht, weiß ich nicht denn ich schrieb ja auch in meinem 1. Beitrag:

"Ich beschäftige mich mit Grundlagen der Vektoralgebra" , sprich ich bin da gerade erst bei den Anfängen. Hab mir 3 Bücher ausgeliehen, in dennen natürlich alles drinsteht nur nichst von 3-Ecken.

Deshalb auch meine Frage ganz zu Anfang, dass ich nicht einmal wusste, wie das überhaupt gemeint ist mit dem Aufspannen, also ob ich 3 Punkte habe die ich zum Dreieck verbrinde, oder 3 Vektoren, die ich aneinerander reihe und daraus wird ein Dreieck - die Frage ist ja bisher beantwortet.

ie sollte ich da dann auf Schulmathematik kommen mit der guten alten Formel für Flächeninhalte von 3-Ecken:

A = 1/2 x Grundfläche x Höhe

Wenn dann aber Beitrag für Beitrag irgendwas kommt, zuwas ich garnicht gefragt habe und ich dann noch lesen muss, dass es garkeine Algebra ist (obwohl es in meinem Skript + Buch so steht), dann ist das alles irgendwie: Hammer

09.08.2007, 11:05

BMT-Sebastian

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So, dann will ich mal zurück zur Aufgabe a.) kommen:

Ich habe jetzt einfach aus den Punkten:

P=(1,2,2), Q=(3,4,5), R=(1,3,2), S=(5,2,3)

Drei Ortsvektoren gemacht:

$\begin{eqnarray*} \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich 2 Richtungsvektoren gebildet:

$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{PR} = \vec{q} - \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich die Vektorielle 3 Punkte Form einer Ebenen:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(P) = \vec{r_1} + \alpha \vec{PQ} + \beta \vec{PR}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um jetzt herauszubekommen, ob alle 4 Punkte auf der Ebene liegen, setze ich dann den 4. Punkt "S" nachdem ich aus ihm auch einen Ortsvektor gemacht habe an die Stelle von $\begin{eqnarray*} \vec{r}(P) \end{eqnarray*}$ ein und löse das daraus resultierende Gleichungssystem ?

EDIT: Sorry, da es nur ein Lambda aber kein Mü (?) gab, hab ich Alpha und Beta genommen ;-)

09.08.2007, 11:06

tigerbine

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Zum Beispiel.

09.08.2007, 11:15

WebFritzi

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Zitat:

Original von BMT-Sebastian
Um jetzt herauszubekommen, ob alle 4 Punkte auf der Ebene liegen, setze ich dann den 4. Punkt "S" nachdem ich aus ihm auch einen Ortsvektor gemacht habe an die Stelle von $\begin{eqnarray*} \vec{r}(P) \end{eqnarray*}$ ein und löse das daraus resultierende Gleichungssystem ?

Ja, genau so machst du es. Und doch, es gibt ein mü: $\begin{eqnarray*} \mu. \end{eqnarray*}$

09.08.2007, 11:22

BMT-Sebastian

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Ok, danke: Hab das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ gefunden Freude

Habe mein Gleichungssystem aufgestellt und bin auch dann schnell zu der Lösung gekommen, dass es nicht lösbar ist. Somit liegen die vier Punkte nicht auf einer Ebene!

Dann mach ich mich mal an die b.)

Tanzen

09.08.2007, 11:50

BMT-Sebastian

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Nach der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * h_a * a \end{eqnarray*}$

Brauche ich hier ja die Höhe, welche ich nach dem Beitrag von "tmp" durch die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnet habe:

d = ... = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \end{eqnarray*}$

Dann benötige ich ja noch den Verbinungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$ welcher mir durch Berechnung des Betrags, die Länge von a liefert. Hier auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{17} \end{eqnarray*}$ .

Somit ergibt sich im Endeffekt für den Flächeninhalt:

A = 1/2 * 0,87 * 4,123 = 1,79

09.08.2007, 11:56

Leopold

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Für Fortgeschrittene: Nach dieser Formel liegen vier Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ genau dann auf einer Ebene, wenn $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} A & B & C & D \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

09.08.2007, 23:30

mYthos

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Zitat:

Original von WebFritzi
Hallo mYthos! Schöne Ausführungen. Aber was meinst du ganz am ende mit "Vektorprodukt"? Und was bedeuten die Doppelbalken bei der Matrix?

@WebFritzi
Es sind zwei Verknüpfungen für Vektoren definiert: Die skalare Multiplikation (inneres Produkt, Skalarprodukt) und eben auch die vektorielle Multiplikation (äußeres Produkt, Vektorprodukt, Kreuzprodukt). Letztere ordnet zwei Vektoren in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ jenen Vektor zu, welcher normal auf die beiden Vektoren steht, dessen Orientierung mit dem Koordinatensystem konform geht und dessen Länge zahlenmäßig gleich dem Absolutbetrag des Flächeninhaltes des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes ist.

@BMT-Sebastian
Selbstverständlich funktioniert damit die Flächenberechnung des Dreieckes in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ , dazu muss man den Betrag des Produktvektors bilden:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{a} \times \vec{b} \right| \end{eqnarray*}$

Worauf ich noch extra hinweisen wollte, ist, dass es für den $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ besonders einfach wird, denn dann kann man allen Punkten des Dreieckes 0 als dritte Koordinate zuordnen!

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot \left | \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right | \end{eqnarray*}$

@WebFritzi
Die doppelten Striche bei der Matrix entpuppen sich

1. Außen als Betragszeichen
2. Innen als Determinanten-Bezeichnung (es ist nämlich eine Determinante, keine Matrix!)
Big Laugh

mY+

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