Determinante als Funktion

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mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante als Funktion
Hallo.


Ich habe folgendes Problem zu lösen:

Begründen Sie, dass die Funktion gemäß ein Polynom dritten Grades ist, dessen sämtliche Nullstellen reell und nichtnegativ sind.


Also der Nachweis für dritten Grades lässt sich z.B. über die Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte und der Regel von Sarrus führen.

Gibt es für die Eigenschaften der Nullstellen einen geeigneten (allgmeinen) Nachweis, ohne die Determinante "brutal" [ Augenzwinkern ] ausrechnen zu müssen?

Was mir noch einfällt ist das Ausnutzen von Zeilenbeziehungen: So sieht man z.B. dass für die dritte und vierte Zeile identisch sind. Und damit
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt dir die Vandermonde-Matrix irgendwas?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, läßt sich doch viel einfacher zeigen, wenn man hier nach der vierten Zeile entwickelt. Die vorkommenden Unterdeterminanten sind nämlich dann von unabhängig. Und wirklich ausführen braucht man die Rechnung ja nicht. Es genügt, sie zu beschreiben. (Höchstens den Koeffizienten von muß man errechen, um zeigen, daß der nicht verschwindet.)

Und was die Nullstellen angeht, so bist du mit deiner letzten Bemerkung auf dem richtigen Weg: Es kann ja höchstens drei reelle Nullstellen geben, da das Polynom den Grad 3 besitzt. Wenn du also 3 reelle nichtnegative Nullstellen errätst, bist du fertig. Eine hast du schon erraten. Dann rate einmal weiter ...
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, also war ich auf dem richtigen Weg. Die Entwicklung nach der letzten Zeile ist natürlich cleverer. Man muss aber nicht zeigen, dass nicht verschwindet, denn es reicht vorerst zu zeigen .

Es lassen sich noch (2. Zeile - 1. Zeile = 4. Zeile) und (4. Zeile = 1. Zeile) raten. Diese Nullstellen sind reell, größer gleich Null und voneinander verschieden, was ergibt.

War doch einfacher als gedacht Augenzwinkern . Danke trotzdem!
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sagt mir was, habe ich aber nicht wirklich in Betracht gezogen, weil nur in der letzten Zeile "Xe" vorkamen. Wie wäre die Lösungsidee mit diesem Ansatz?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mylittlehelper
Man muss aber nicht zeigen, dass nicht verschwindet


Doch, das muss man. Du sollst doch zeigen, dass f ein Polynom dritten Grades ist. Alternativ ist auch die Angabe von x=0,1,2 als Nullstellen möglich. Mit grad(f) <= 3 folgt dann grad(f) = 3.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mylittlehelper
Ja sagt mir was, habe ich aber nicht wirklich in Betracht gezogen, weil nur in der letzten Zeile "Xe" vorkamen. Wie wäre die Lösungsidee mit diesem Ansatz?


Bitte Bezugsbeiträge zitieren.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante als Funktion
Wenn du von der zweiten Zeile die erste abziehst (was nichts an der Determinante und damit an f ändert) hast du:



Das ist eine Vandermonde-Matrix

Mindestens 95% aller Studenten mit einem Lineare-Algebra-Kurs haben wohl das Vergnügen, in einer ÜA zu zeigen, daß die Determinante dieser Matrix eine bestimmte Form hat, die sich aus den einträgen der zweiten Spalte ergibt (siehe Link). In diesem Fall ist



woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt.

Alternativ kannst du auch noch argumentieren, daß man aus der obigen Darstellung von f mit der abgewandelten Matrix leicht die x ablesen kann, für die die Determinante 0 wird, das sind nämlich die bei denen zwei Zeilen linear abhängig sind.

Einfach alle Nullstellen völlig unsystematisch aus dem Bauch heraus zu raten, ist zwar erfolgreich, aber wie ich finde insgesamt irgendwie eher unbefriedigend.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Doch, das muss man. Du sollst doch zeigen, dass f ein Polynom dritten Grades ist. Alternativ ist auch die Angabe von x=0,1,2 als Nullstellen möglich. Mit grad(f) <= 3 folgt dann grad(f) = 3.


Du hast natürlich Recht. Es lag auch ein Tipp-Fehler vor, ich meinte natürlich: Durch die Angabe dreier voneinander verschiedener reeller Nullstellen gilt .


Und sowohl größer-gleich als auch kleiner-gleich bedeutet gleich 3. Aber das wusstest du ja schon Augenzwinkern .
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mylittlehelper
Ja sagt mir was, habe ich aber nicht wirklich in Betracht gezogen, weil nur in der letzten Zeile "Xe" vorkamen. Wie wäre die Lösungsidee mit diesem Ansatz?


Bitte Bezugsbeiträge zitieren.


Entschuldige, ich hab die Baumstruktur aktiviert und da ist der Bezug durch Schema klar. Ich gelobe dennoch Besserung Augenzwinkern .
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante als Funktion
Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Einfach alle Nullstellen völlig unsystematisch aus dem Bauch heraus zu raten, ist zwar erfolgreich, aber wie ich finde insgesamt irgendwie eher unbefriedigend.



Ganz so unsystematisch ist das Ganze zwar nicht, kann aber bei größeren Matrizen durchaus problematisch werden. Ich danke dir für den interessanten Exkurs. Ich habe die Vandermondsche-Determinante direkt in mein Lernpensum aufgenommen.

Nachtrag:

Ich hatte zunächst Probleme deiner Multiplikation zu folgen, da die Faktoren einer mir nicht ersichtlichen Reihenfolge genügen. Für mich nachvollziehbarer angeordnet wäre dies:



Das aber nur als Ergänzung falls jmd anderes diesen Beitrag findet und sich fragt wie die Determinante bestimmt wird.
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