Hauptachsentransformation

13.08.2007, 11:14

mylittlehelper

Hauptachsentransformation

Hallo.

Ich soll eine Hauptachsentransformation der folgenden Quadrik durchführen:

$\begin{eqnarray*} x^2+8y^2+19z^2-4xy-6xz+2z=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun zunächst den Weg über die Normalform probiert. Allerdings scheitere ich schon an der Bestimmung der Eigenvektoren, welche einfach nicht von Hand sinnvoll zu berechnen sind.

Dann habe ich mir die zurückliegende Klausur des Professors angeschaut (zu welcher ich eine offizielle Lösung habe). Dort war die Aufgabe wie folgt gestellt:

$\begin{eqnarray*} 4x^2-12xy+z^2+6y+4z+3=0 \end{eqnarray*}$

Er schlägt dort, das schrittweise Umformen durch quadratische Ergänzungen vor, was bei der Aufgabe auch prima aufgeht.

Nun zurück zur Ausgangsaufgabe: Ich erweitere wie folgt:

$\begin{eqnarray*} (x^2-4xy+4y^2)+(9z^2-6xz+x^2)+(4y^2+10z^2-x^2+2z) \end{eqnarray*}$

Und weiter:

$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2+(3z-x)^2+(z^2+2z+1)+(9z^2-x^2+4y^2)=1 \end{eqnarray*}$

Und damit zum meinem derzeitigen finalen Stand:

$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2+(3z-x)^2+(z+1)^2+(3z-x)(3z+x)+4y^2=1 \end{eqnarray*}$

Bin ich vollkommen auf dem Holzweg? Da es sich - wie immer bei meinen Problemen - um eine Prüfungsaufgabe handelt, welche ohne Hilfsmittel zu lösen ist, kann der Weg über die Eigenvektoren bei derartig bösartigen Strukturen nicht stimmen.

13.08.2007, 16:44

mylittlehelper

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Also ich habs mir mal zeichnen lassen und habe anhand der Zeichung dann versucht die Art der Fläche abzulesen.

Hier ist die Grafik:

http://img410.imageshack.us/img410/7568/hyperboloidlt7.th.png

Daraus - und aus der Tatsache, dass eine 1 durch Ergänzen auf der rechten Seite auftaucht - habe ich auf einen einschaligen Hyperboloiden geschlossen, welcher die allgemeine Form

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \end{eqnarray*}$

hat. Nur weiter komme ich leider nicht. Hat keiner eine Idee wie ich durch geeignetes Ergänzen - oder eine andere Methode - schnell und von Hand zur Normalform der Fläche komme?

13.08.2007, 17:14

kiste

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Sprechen wir hier von einer euklidischen oder einer affinen Normalform?

Prinzipiell gibt es 2 Wege: Der erste wäre wie von dir der erwähnte mit quadratischer Ergänzung, der zweite wäre das diagonalisieren der Matrix.

Quadratische Ergänzung geht im Allgemeinen ziemlich schnell. Wir haben da ein "Kochrezept" bekommen das ziemlich intuitiv anwendbar war.

Fange doch erst einmal damit an alle gemischten Terme wegzubekommen. Der erste wäre ja das xy. Dann transformierst du geeignet und suchst den nächsten gemischten Term bis keiner mehr vorhanden ist

13.08.2007, 17:48

mylittlehelper

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Zitat:

Original von kiste
Sprechen wir hier von einer euklidischen oder einer affinen Normalform?

Mmh, die genaue Formulierung der Aufgabe lautet:

"Berechnen Sie eine affine Koordinatentransformation, die die Gleichung von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ (s.o.) in Normalform überführt, und bestimmen Sie, welches geometrische Objekt diese Quadrik beschreibt."

Zitat:

Original von kiste
Quadratische Ergänzung geht im Allgemeinen ziemlich schnell. Wir haben da ein "Kochrezept" bekommen das ziemlich intuitiv anwendbar war.

Fange doch erst einmal damit an alle gemischten Terme wegzubekommen. Der erste wäre ja das xy. Dann transformierst du geeignet und suchst den nächsten gemischten Term bis keiner mehr vorhanden ist

Das habe ich ja schon versucht. es bleiben dann aber quadratische Terme übrig mit denen ich nichts anzufangen weiß.

Ich bin - zusammenfassend - von

$\begin{eqnarray*} x^2+8y^2+19z^2-4xy-6xz+2z=0 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2+(x-3z)^2+(z+1)^2+4y^2+9z^2-x^2=1 \end{eqnarray*}$

gekommen. Nur - wie gehts weiter?

Wenn du das Kochrezept zur Hand hast, würde ich mich sehr freuen eingeweiht zu werden.

13.08.2007, 18:08

kiste

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So wie ich es gelernt hab ergänzt du zuerst nur einmal und führst dann eine Transformation durch. Du hast also
$\begin{eqnarray*} x^2+8y^2+19z^2-4xy-6xz+2z=0 \end{eqnarray*}$
dann ergänzst du:
$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2+4y^2+19z^2-6xz+2z=0 \end{eqnarray*}$
Jetzt die Transformation
$\begin{eqnarray*} \hat x = x - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat y = y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat z = z \end{eqnarray*}$
und du hast:
$\begin{eqnarray*} \hat x^2+4\hat y^2+19\hat z^2-6(\hat x + 2\hat y)\hat z+2\hat z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat x^2+4\hat y^2+19\hat z^2-6\hat x\hat z - 12\hat y\hat z+2\hat z=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist xy weg, systematisch wird mit xz weitergemacht, usw.

Wenn du willst scann ich dir meinen Vorlesungsaufschrieb dazu ein, musst halt mit der Schrift leben Big Laugh

13.08.2007, 19:30

mylittlehelper

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Zitat:

Original von kiste
So wie ich es gelernt hab ergänzt du zuerst nur einmal und führst dann eine Transformation durch.

Genau das war der springende Punkt! Damit konnte ich es umformen...
Zunächst hab ich die erste Substitution wie du gemacht ( $\begin{eqnarray*} \tilde x:=x-2y \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \tilde x^2+4 y^2+19 z^2-6(\tilde x + 2y)z+2z=0 \end{eqnarray*}$

Damit

$\begin{eqnarray*} (\tilde x -3z)^2+4y^2+10z^2-12yz+2z=0 \end{eqnarray*}$

Also ersetze ich $\begin{eqnarray*} \hat x := \tilde x-3z = x-2y-3z \end{eqnarray*}$

Ich erhalte weiter:

$\begin{eqnarray*} \hat x^2+(2y-3z)^2+z^2+2z=0 \end{eqnarray*}$

Setze ich nun $\begin{eqnarray*} \hat y:=2y-3z \end{eqnarray*}$ , so:

$\begin{eqnarray*} \hat x^2+\hat y^2+(z+1)^2=1 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \hat z:=z+1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich nun die finale Form

$\begin{eqnarray*} \hat x^2+\hat y^2+\hat z^2=1 \end{eqnarray*}$

Dies entspricht der Darstellung eines Ellipsoiden. Und hätte ich das Sichtfenster "damals" richtig gewählt, so hätte ich auch gesehen, dass ein Ellipsoid rauskommt. Hier also die neue (richtige) Darstellung:

http://img48.imageshack.us/img48/4827/ellipsoidxs8.th.png

Danke dir!

13.08.2007, 20:45

kiste

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Na das ging mal fix. Sieht auch richtig aus Freude

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