Lineare Algebra : Norm

13.08.2007, 20:27

Deka

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Lineare Algebra : Norm

Hallo zusammen
Ich bin neu auf der Gebiet der Linearen Algebra und bin mir nicht ganz sicher ob richtig liege , deswegen will ich ein dritte Meinung einholen smile

smile

$\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_2 \end{eqnarray*}$ seien Normen auf dem rellen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich Nachweisen ob $\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_3:=||\cdot||_1+||\cdot||_2 \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen wieder eine Norm ist.

Also arbeite ich die axiomatischen Bedingungen ab :

N1) Da laut Def. $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_2>0 \end{eqnarray*}$ sind gilt $\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_3:=||\cdot||_1+||\cdot||_2 => 0+0 = ||\cdot ||_3=0 \end{eqnarray*}$

N2) Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ dann gilt.
$\begin{eqnarray*} ||\vec{x}||_3:=||\vec{x}||_1+||\vec{x}||_2 \end{eqnarray*}$ soll gelten.
Für $\begin{eqnarray*} ||\lambda \vec{x} ||_1+||\lambda \vec{x} ||_2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |\lambda |*||\vec{x} ||_1+|\lambda |*||\vec{x} ||_2=|\lambda|(||\vec{x} ||_1+||\vec{x} ||_2)=> |\lambda |*||\vec{x} ||_3 \end{eqnarray*}$
N3) Seine $\begin{eqnarray*} \vec{y},\vec{z} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ dann soll gelten
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_3\leq ||\vec{y}||_3 + ||\vec{z}||_3 \end{eqnarray*}$
wir wissen aus der Def.
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{z}||_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_2 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$

Rechenregeln für Ungeleichungen
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{z}||_1+||\vec{y}||_2 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{y}||_2+||\vec{z}||_1 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => ||\vec{y}+\vec{z}||_3\leq ||\vec{y}||_3 + ||\vec{z}||_3 \end{eqnarray*}$
Bei der letzten bin ich mir unsicher -.-

Daraus würde ich schließen das $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ eine Norm ist.
Hm richtig oder kann jemand einen Fehler in der Argumentation endecken.

13.08.2007, 20:51

Lazarus

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Der Beweis von N1 ist formal sehr fragwürdig, und so unverständlich geschrieben das er nurnoch als falsch gewertet werden kann.

Bei N2 und N3 sind auch eklatante Schwächen in der Formulierung und damit in der Klarheit der Gedanken festzustellen, allerdings erkennt man da noch die richtige Grundmotivation.

13.08.2007, 20:52

kiste

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Ok
Zum ersten: Normen sind nicht >0 sondern >=0 und genau dann 0 wenn das Argument 0, aber ich glaube das hast du auch so gemeint, solltest es halt noch sauberer aufschreiben

Zum zweiten und dritten:
Ich würde das ohne die Folgepfeile machen. D.h. fang an bei der "3-er"-Norm, setze dann die Definition ein, schreibe dann deine Rechnung und wende die Definition dannach wieder an. So ist das was du zeigen willst am Anfang bzw. am Ende der (Un-)Gleichungskette.

Ansonsten sieht aber alles korrekt aus smile

smile

13.08.2007, 21:20

Deka

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upps bei N1 hab ich woll was verschluckt ....
Eigendlich sollte es heißen

N1) Da $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_2 \end{eqnarray*}$ Normen sind, gilt lauf Def.:
1.Wenn $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_2>0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch deren Summe größer Null.
$\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1+||\cdot||_2>0 \end{eqnarray*}$ , nach Definition von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ folgt daraus $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3>0 \end{eqnarray*}$

2.Wenn $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_2=0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch deren Summe Null.
$\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1+||\cdot||_2=0 \end{eqnarray*}$ , nach Definition von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ folgt daraus $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3=0 \end{eqnarray*}$

Hoffe das besser :P

13.08.2007, 21:29

Lazarus

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Also war meine Vermutung, dass es nichtnur falsch aufgeschrieben war, korrekt. Es ist entscheident zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |x|_3=0 \end{eqnarray*}$ existiert und nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

13.08.2007, 21:38

Deka

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Also ist

2.Wenn $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1=0\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_2=0\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ dann ist auch deren Summe Null.
$\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1+||\cdot||_2=0 \end{eqnarray*}$ , nach Definition von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ folgt daraus $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3=0 \end{eqnarray*}$

besser ?

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13.08.2007, 21:51

tigerbine

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Axiomatische Bedingungen einer Norm

$\begin{eqnarray*} \|x\| = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0 \end{eqnarray*}$ (Definitheit);
$\begin{eqnarray*} \|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\| \end{eqnarray*}$ (Homogenität);
$\begin{eqnarray*} \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| \end{eqnarray*}$ (die Dreiecksungleichung).

Es seinen $\begin{eqnarray*} ||.||_1,~||.||_2 \end{eqnarray*}$ Normen. Ferner sei $\begin{eqnarray*} ||.||_3 \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} ||.||_3:=||.||_1 + ||.||_2 \end{eqnarray*}$

Prüfen der 3 Axiome. Axiom 1:

$\begin{eqnarray*} x = 0 \Leftrightarrow ||x||_1 = 0 \text{ und } ||x||_2 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ||x||_3 = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Rückrichtung über Widerspruch zur Normeigenschaft von $\begin{eqnarray*} ||.||_1,~||.||_2 \end{eqnarray*}$ zeigen.

$\begin{eqnarray*} ||x||_3 = 0,~x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wegen der Normeigenschaften von $\begin{eqnarray*} ||.||_1,~||.||_2 \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} ||x||_1 + ||x||_2 > 0 \end{eqnarray*}$

Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} ||x||_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} ~x = 0 \end{eqnarray*}$

13.08.2007, 21:56

Lazarus

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Ich nehme an gedacht hast du ähnliches, jedoch musst du es so klar aufschreiben, so wie tigerbine es hier (vorbildlichst Freude

Freude

) getan hat! Bitte nehm dir ein Beispiel daran.

[Über die präsentierte, fertige Lösung sehen wir mal hinweg, wegen mildernder Umstände *gg*]

13.08.2007, 21:58

Deka

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(1),(2) ? bezieht sich das auf das erste und zweite Axiom?
kann ich nicht ganz folgen... :/
Soll das jetzt heißen die $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ ist keine Norm ? Oo ?

13.08.2007, 22:00

tigerbine

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@Lazarus
Danke, dass Du gnädig mit mir bist Mit Zunge

Mit Zunge

Der Junge hat ja noch 2 und 3 vor sich. Und da sollte es eigentlich erst spannend werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deka, denk auch ein bisschen an das Layout, Vorschau benutzen.

@Deka
(1),(2) War kurzform für $\begin{eqnarray*} ||.||_1,~||.||_2 \end{eqnarray*}$ . Verifiziert ist nur Axiom 1. Deswegen ja auch die Überschrift. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe das oben editiert. Verwirrung beendet?

13.08.2007, 22:12

tigerbine

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Zitat:

Original von Deka

Soll das jetzt heißen die $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ ist keine Norm ? Oo ?

Who knows

smile

Es sind noch 2 Axiome zu prüfen. Das erste ist erfüllt, warum also jetzt schon aufgeben?

13.08.2007, 22:44

Deka

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Prüfen der 3 Axiome. Axiom 2:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ dann gilt.
Aus den Normeigenschaften von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1,||\cdot||_2 \end{eqnarray*}$ folgt dann:
$\begin{eqnarray*} ||\lambda\vec{x}||_1:=|\lambda|*||\vec{x}||_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\lambda\vec{x}||_2:=|\lambda|*||\vec{x}||_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => ||\lambda\vec{x}||_3=|\lambda|*||\vec{x}||_1+|\lambda|*||\vec{x}||_2=|\lambda|*(||\vec{x}||_1+||\vec{x}||_2)=||\lambda\vec{x}||_3 \end{eqnarray*}$

Das ist so falsch oder?

13.08.2007, 22:48

kiste

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Ja

Big Laugh

warum steht das lambda auf der rechten Seite den in den Normstrichen?!

13.08.2007, 22:54

tigerbine

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Formalismus. Besser:

$\begin{eqnarray*} ||\alpha \cdot x||_3 :=||\alpha \cdot x||_1+||\alpha \cdot x||_2 \stackrel{Norm} = |\alpha| \cdot ||x||_1 + |\alpha| \cdot ||x||_1 = |\alpha| \cdot (||x||_1+||x||_2) = ? \end{eqnarray*}$

?: Kommentar von Kiste beachten.

13.08.2007, 23:20

Deka

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Warum das Fragezeichen ? Mann wendet auf die Klammer davor die Definitition von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ und hat das gesuchte. Oder ?

N3) Seine $\begin{eqnarray*} \vec{y},\vec{z} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ dann soll gelten
$\begin{eqnarray*} ||\vec{x}+\vec{y}||_3\leq ||\vec{x}||_3+||\vec{y}||_3 \end{eqnarray*}$
Aus den Normeigenschaften von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1,||\cdot||_2 \end{eqnarray*}$
folgt dann:

$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{z}||_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_2 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$

Unter Verwendung der Rechnenregeln für Ungleichugen

$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{z}||_1+||\vec{y}||_2 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{y}||_2+||\vec{z}||_1 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2)\leq (||\vec{y}||_1 + ||\vec{y}||_2)+(||\vec{z}||_1 + ||\vec{z}||_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \stackrel{Def}= ||\vec{y}+\vec{z}||_3\leq ||\vec{y}||_3 + ||\vec{z}||_3 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_3 \end{eqnarray*}$ ist eine Norm.

13.08.2007, 23:28

tigerbine

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Lesen musst Du schon selbst

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||\lambda\vec{x}||_3=|\lambda|*||\vec{x}||_1+|\lambda|*||\vec{x}||_2=|\lambda|*(||\vec{x}||_1+||\vec{x}||_2)=||\lambda\vec{x}||_3 \end{eqnarray*}$

Anfang und Ende sind gleich. Also nichts gewonnen. Lausche den Worten von Kiste und erkenne...

Zitat:

warum steht das lambda auf der rechten Seite den in den Normstrichen?!

13.08.2007, 23:35

Deka

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Aua dabei ganz bitter ... dabei will ich doch $\begin{eqnarray*} ||\lambda*\vec{x}||_3=|\lambda|*||\vec{x}||_3 \end{eqnarray*}$ zeigen .... doh *kaffeeholl*

An dieser Stelle möchte ich mich herzlichest bei alle die mir auf die Gedankesprüge geholfen haben bedanken Lehrer

Lehrer

13.08.2007, 23:39

tigerbine

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Zitat:

N3) Seine $\begin{eqnarray*} \vec{y},\vec{z} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ dann soll gelten

$\begin{eqnarray*} ||\vec{x}+\vec{y}||_3\leq ||\vec{x}||_3+||\vec{y}||_3 \end{eqnarray*}$

Aus den Normeigenschaften von $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1,||\cdot||_2 \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{z}||_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_2 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$

Unter Verwendung der Rechnenregeln für Ungleichugen

$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{z}||_1+||\vec{y}||_2 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2\leq ||\vec{y}||_1 + ||\vec{y}||_2+||\vec{z}||_1 + ||\vec{z}||_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (||\vec{y}+\vec{z}||_1+||\vec{y}+\vec{z}||_2)\leq (||\vec{y}||_1 + ||\vec{y}||_2)+(||\vec{z}||_1 + ||\vec{z}||_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \stackrel{Def}= ||\vec{y}+\vec{z}||_3\leq ||\vec{y}||_3 + ||\vec{z}||_3 \end{eqnarray*}$

Entdecke die Leerzeilen. Mann kann es sonst kaum lesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wieder würde ich es anders notieren:

$\begin{eqnarray*} ||x+y||_3 &&:= ||x+y||_1 + ||x+y||_2 \\&& \stackrel{Norm} \leq ||x||_1 + ||y||_1 +||x||_2 + ||y||_2 \\&& = ||x||_1 + ||x||_2 +||y||_1 + ||y||_2 \\&& \stackrel{Def}= ||x||_3 + ||y||_3 \end{eqnarray*}$

13.08.2007, 23:54

Deka

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hm kk , die Geleichzeichen nach dem $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ beziehen sich auf den rechten Teil der Dreieckungleichung nehme ich an smile

smile

PS: Wird Zeit das ich mich an Lattex und andere "Denkweise" bei den Beweisen gewöhne Hammer

Hammer

Nochmals danke Gott

Gott

Mfg der 1.Semestler Deka Wink

Wink

14.08.2007, 00:09

tigerbine

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Jupp, bezieht sich immer auf die obere Zeile rechts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weiter viel Spass im Board Wink

Wink

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