Projektionsmatrix gesucht

14.08.2007, 17:38

Kinski

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Projektionsmatrix gesucht

Hallo!

Ich muß beliebige Punkte in R³ wie folgt projizieren:

Eine Ebene E, die durch den Ursprung geht, ist durch eine (normierte) Normale definiert.

Punkt P(x,y,z) wird eine Gerade G(x,y+k,z) zugeordnet.
Der Schnittpunkt zwischen G und E ist S(u,v,w).

Ich suche nach einer Projektionsmatrix, die den beliebigen Punkt P so projiziert, dass sich Pp(x,y+v,z) ergibt.
Dabei steht für die Projektionsmatrix nur die Definition der Ebene zur verfügung.

Ich habe nun schon eine weile versucht das passende Gleichungssystem zu finden. Leider ohne Erfolg.

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

14.08.2007, 17:45

tigerbine

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RE: Porjektionsmatrix gesucht

Zitat:

Dabei steht für die Projektionsmatrix nur die Definition der Ebene zur verfügung.

Und wie lautet der Normalenvektor?

14.08.2007, 17:52

Kinski

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Kann man benennen wie man lustig ist?

Sagen wir mal n=(k,l,m)

14.08.2007, 17:55

Lazarus

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Nein kann man nicht bennenen wie man lustig ist. Ist die Ebene definiert, ist auch der Normavektor definiert.

14.08.2007, 18:08

Kinski

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Die Normale/Ebene sollte für die Projektionsbeschreibung in Parameterform berücksichtigt werden, da ich mehrere davon beschreiben muß.

Achso, da ich k schon verwendet hatte, nennen wir den Normalvektor eben z.B. n=(h,i,j).
(Will das aber niemanden für eine Erklärung vorschreiben!)

14.08.2007, 18:28

tigerbine

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Ein bisschen viele Buchstaben hier für meinen Geschmack. IR³, dass macht für mich

$\begin{eqnarray*} P(p_1 / p_2 / p_3) \end{eqnarray*}$

und den Vektor

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP} =\vec p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jedem P ordnet man eine Gerade zu.

$\begin{eqnarray*} G_p:~\vec{x} = \vec p + k \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Gerade schneiden wir nun mit einer Ebene, von der wir nur die Normalenform kennen und wissen, dass sie durch den Ursprung geht. Ihrem Normalenvektor bezeichnen wir mit n:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{pmatrix},~||n||_2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:~n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Den Schnittpunkt möchtest Du S nennen. So

$\begin{eqnarray*} S(s_1/s_2/s_3) \end{eqnarray*}$

Kannst Du mit diesen Variablen bitte beschreiben, nach was Du suchst. Danke. Wink

Wink

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14.08.2007, 18:30

Leopold

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RE: Porjektionsmatrix gesucht
Die Aufgabe habe ich zwar nicht verstanden. Aber danke dafür:

Zitat:

Original von Kinski
... den beliebigen Punkt P so projiziert ...

Das hört man selten.

14.08.2007, 18:46

Kinski

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tigerbine:

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} M_p=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

,wobei $\begin{eqnarray*} M_p \cdot P = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2+s_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

14.08.2007, 18:51

tigerbine

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Das ist aber i.A. keine Lineare Abbildung. Denn für $\begin{eqnarray*} s_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} M_p~ \vec{0} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$

Somit wird es mit der Matrix ein bisschen schwer.

EDIT:

Formuliere einmal $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von P. Bekommen wir für p=0, dann $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ =0?

14.08.2007, 18:53

WebFritzi

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RE: Porjektionsmatrix gesucht

Zitat:

Original von Leopold
Die Aufgabe habe ich zwar nicht verstanden.

Ich verstehe sie auch nicht.

14.08.2007, 19:06

Kinski

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Hmm...

Man könnte voraussetzen: $\begin{eqnarray*} \vec{P} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

Sicherlich stellt sich die Frage ob es überhaupt ein lösbares lineares Gleichungssystem zum Problem gibt.
Allerdings tendiere ich naiv betrachtet zu dessen Existenz, da es ja sehr ähnliche Abbildungen wie die Reflektion an einer Ebene gibt.

WebFritzi: Sollte ich die Projektion auch geometrisch beschreiben?

14.08.2007, 19:09

tigerbine

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Lies meinen Edit.

14.08.2007, 19:09

WebFritzi

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Ich glaube, du hast nicht verstanden. Ich schreib's nochmal: Ich verstehe die Aufgabe nicht. Solange du mir nicht klarmachen kannst, um was es dir hier geht, kann ich dir nicht helfen.

14.08.2007, 20:29

tigerbine

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Wie wäre es mit einer Skizze?

14.08.2007, 21:12

Kinski

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Sorry, ich habe leider kein Programm, womit ich das grafisch gut darstellen kann.

Vielleicht hilft es wenn wir das Problem im IR² betrachten.

Die Ebene ist dann eine Ursprungsgerade (die nicht senkrecht zur x-Koordinatenachse verläuft).

Es gibt z.B. vier Punkte die ein Quadrat beschreiben.
Die Schnittgerade für jeden Punkt soll durch ihn selbst gehen und parallel zur y-Koordinatenachse liegen.
Die gewollte Projektion würde jetzt jeden Punkt um die Höhe (y-Attribut) verschieben, wie es der Schnittpunkt zwischen Ursprungsgerade (->Ebene) und Schnittgerade des Punktes ergibt.

(Angenommen die Ursprungsgerade liegt nicht auf der x-Koordinatenachse)
Das beschriebene Quadrat würde dann also ein Parallelogramm werden, wobei die Seiten parallel zur x-Achse nun parallel zur Ursprungsgerade (->Ebene) sind und die Seiten parallel zur y-Achse weiterhin parallel sind.

Tut mir echt leid dass ich es nicht besser beschreiben kann.
Bitte lasst mich wissen was ihr konkret nicht nachvollziehen könnt.

Nochmal vielen Dank für eure Ambition mir zu helfen!

14.08.2007, 22:04

tigerbine

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Zitat:

Original von Kinski
Sorry, ich habe leider kein Programm, womit ich das grafisch gut darstellen kann.

http://www.geogebra.org/cms/

Ich mag es jetzt nicht wirklich für Dich zeichnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.08.2007, 22:18

mYthos

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Auch die Aufgabenbeschreibung in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ habe ich NICHT verstanden!

mY+

15.08.2007, 12:59

Kinski

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Danke für den Verweis zu dem sehr guten Programm!
Ich habe nun damit die Projektion im IR² skizziert:

http://img515.imageshack.us/img515/6706/projektionhd0.jpg

Die Projektion z.B. von D ergibt sich also aus $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{D_0D'}=\overrightarrow{D_0S_d}+\overrightarrow{D_0D} \end{eqnarray*}$

für IR³ gilt:

zu projizierender Punkt:
$\begin{eqnarray*} P(p_1 / p_2 / p_3) \end{eqnarray*}$

dem Punkt wird eine Gerade zugeordnet, die Parallel zur y-Koordinatenachse liegt:
$\begin{eqnarray*} G_p:~\vec{x} = \vec p + k \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Ebene wird definiert durch:
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{pmatrix},~||n||_2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec n \neq \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:~n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Der Schnittpunkt zwischen der Punktgeraden $\begin{eqnarray*} G_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} S(s_1/s_2/s_3) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist: $\begin{eqnarray*} M_p=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} M_p \cdot P = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2+s_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich beiße mir wirklich die Zähne aus, das passende lösbare lineare Gleichungssystem zu finden.
Es währe eine echte Erlösung für mich wenn mir jemand ein bisschen aus der Klemme hilft.

Nochmal vielen Dank für Eure Geduld!

Edit: Bild ausgetauscht

15.08.2007, 13:05

Kinski

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Link für die Grafik in Originalgröße:

http://img101.imageshack.us/img101/7546/projektionxn4.jpg

15.08.2007, 13:53

Kinski

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Ich Esel habe in der Grafik die Normale falsch eingetragen.
Sie soll selbstverständlich senkrecht auf der Ursprungsgeraden am Ursprung stehen.

15.08.2007, 13:56

tigerbine

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Dann bitte neu zeichnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.08.2007, 14:15

Kinski

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http://img515.imageshack.us/img515/6706/projektionhd0.th.jpg

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