Affine Abbildungen mit Scherungsachse

14.08.2007, 21:11

NoOx

Affine Abbildungen mit Scherungsachse

Hallo,
wir haben eine Hausaufgabe in welcher eine Gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Scherungsachse gegeben ist und ein Punkt A (0|4) welcher auf A' (1|3) abgebildet wird. Nun sollen wir die Matrixdarstellung der Scherung fuer a bestimmen. Kann mir jmd. sagen wie genau ich das machen soll? Ich habe als Ansatz genommen:

A(0|4) = A'(1|3)
B(2|0) = B'(2|0)
C(1|1) = C'(1|1)

daraus ergeben sich dann wohl die Gleichungen (fuer erste erste Zeile, also a1, b1 und c1):

1 = 4b + c
2 = 2a + c
1 = a + b + c

wenn ich nun aber zB b ausrechne erhalte ich 1/12, wobei es aber eigtl. 1/2 sein muesste...

c=1-4b
a=1-(1/2-2b)

1=1 - 1/2 - 2b + 1 - 4b
<=> -1/2 = -6b
<=> b = 1/12

wo liegt nun mein fehler?
hoffe auf baldige antwort,

mfg
NoOx

14.08.2007, 21:16

mYthos

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Bevor ich mich in deine Aufgabe vertiefe, siehe dir mal

Matrixdarstellung für eine Scherung

an.

mY+

14.08.2007, 21:19

NoOx

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Das ist die c) zu meiner Aufgabe. Augenzwinkern

Die ist aber auch wesentlich einfacher (finde ich), da es eine Ursprungsgerade ist. Damit sollte ich klar kommen. Was mich hier stoert ist die zusaetzliche Verschiebung.

mfg
NoOx

14.08.2007, 21:55

mYthos

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Diese Verschiebung hast du ja dadurch berücksichtigt, dass du insgesamt 6 Variablen berechnen musst (denn es gibt hinten noch den Spaltenvektor (c;f)) und für die erste Zeile (also die x- Koordinaten) daher ganz richtig 3 Gleichungen in a,b,c aufgestellt hast.

Die Ansatzgleichungen* für die x-Zeile stimmen, somit hast du bei der weiteren Behandlung einfach einen Rechenfehler drinnen ....

*)

für die allg. Matrixgleichung der Abbildung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ d & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} c \\ f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ergeben sich richtig

$\begin{eqnarray*} a = \frac{3}{2}, \ b = \frac{1}{2}, \ d = -\frac{1}{2}, \ e = \frac{1}{2}, \ c = .. \ , \ f = .. \end{eqnarray*}$

mY+

14.08.2007, 22:11

NoOx

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hm, also doch nurn rechenfehler...
wusste ich halt nicht genau, weil ich hab nur die loesungsblaetter ohne rechnung und so... dachte ich haette mich sonst wie vertan.... danke

NoOx

14.08.2007, 22:26

mYthos

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Bitte vergiss mal den Lösungszettel und rechne noch das fertig! Die Gleichungen sind wirklich einfach. Auch c und f noch (die sind ganzzahlig ..). Du erkennst in der Folge, dass die Determinate der quadratischen Matrix a.e - b.d = 1 ist (wie immer bei einer linearen Abbildung), das ist zumindest ein Indiz dafür, dass die Koeffizienten stimmen.

Subtrahiere zunächst die Gleichungen zwei Mal, damit die c wegfallen, dann ist es mit 2 Gleichungen in a, b zur Lösung nicht mehr weit. Desgleichen für die y-Zeile.

mY+

14.08.2007, 22:52

NoOx

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du schaetzt mich falsch ein... haette ich nur die loesungen gewollt haette ich hier ueberhaupt nicht gefragt. ich habe zu ende gerechnet.

hier nun mal so wie ichs gemacht hab (ja, mein gleichungssystem is fuern arsch, ich mach des halt unordentlich, hab bei mir auch nur einzelne gleichungssysteme stehen, keine richtigen gleichungssysteme (nur des 1. jeweils)). also:

erste zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1=4b+c \\ 2=2a+c \\ 1=a+b+c \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} c=1-4b \\ a=1-\frac{c}{2} \\ 1=a+b+c \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a=1-\frac{1}{2}+2b \\ 1= 1\frac{1}{2}-b \\ c=1-4b \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a=\frac{3}{2} \\ b=\frac{1}{2} \\ c=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

zweite zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3=4b+c \\ 0=2a+c \\ 1=a+b+c \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} c=3-4b \\ a=-\frac{c}{2} \\ 1=a+b+c \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a=-1.5+2b \\ 1=-1.5+2b+b+3-4b \\ 1=1.5-b \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} b=\frac{1}{2} \\ a=-\frac{1}{2} \\ c=1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

ergebnis

$\begin{eqnarray*} \alpha: \vec{x'} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zufrieden ?

wie gesagt, haette ich nur die loesungen gewollt haett ich nicht gefragt. ich wollte wissen wo mein fehler ist, damit ichs rechnen kann. somit konnte ich nun auch die restlichen mathe-ha machen.

Augenzwinkern

mfg
NoOx

14.08.2007, 23:14

mYthos

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Beim Kopieren (1. Zeile -> 2. Zeile) sind dir zwar Schreibfehler unterlaufen, aber das Ergebnis ist richtig.

Du hast mich auch missverstanden, denn die unklare Fortführung der Gleichungen ließ mich auf keinen schnellen Erfolg hoffen Big Laugh

. Dass du nur die Lösungen wolltest, habe ich in keiner Weise angenommen.

mY+

14.08.2007, 23:25

NoOx

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ich glaube das ist bei mir normal, dass es nicht so aussieht als wuerde ich schnell auf ne loesung oder sowas kommen... ist aber meist anders als es ausschaut bei mir Big Laugh

muesstest mal sehen wenn ich programmiere *g* ich mein, ich kann das ordentlich und so mit struktur und blah, aber ob ich das dann auch mache ist so ne sache, ne? ich seh naemlich auch in "unstrukturieren" codes durch, die ich vor 5 jahren geschrieben habe, an die ich mich so nicht erinnern kann... lol....

chaos ist eben doch nur ein begriff den wir menschen uns fuer eine struktur/ordnung ausgedacht haben, welche wir nicht verstehen.

mfg
NoOx

15.08.2007, 01:06

Airblader

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Nun, wenn du dich im Chaos eines Quelltextes zurechtfindest (das kenne ich übrigens Augenzwinkern

), dann ist es wohl kein Chaos, denn eine gewisse Ordnung ist drin.
Ansonsten schau dir hier mein Hello-World-Skript in PHP an, das wirklich chaotisch ist:

Zitat:

e?l;"
<>oW? odehp"rlHp
c lloh

(Man war das ne Arbeit, wirklich die korrekten Zeichen drin zu haben Big Laugh

).

Naja, ein kleiner Spaß am Rande zur Nachtzeit smile

air

24.11.2008, 23:31

chiara1989

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RE: Affine Abbildungen mit Scherungsachse
hallo leute,

also irgendwie hat meine Lehrerin als Ansatz anstatt C(1/1) C(2/0) genommen...
Wie man auf die( 1/1) gekommen ist, kann ich mir ja noch erklären aber wie man auf (2/0) kommt, bleibt mir unschlüssig ... kann da jemand weiterhelfen ?

P.S. Es kommen aber die gleichen Ergebnisse raus!

25.11.2008, 00:13

mYthos

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(2;0) ist ein Punkt auf der Scherungsachse und dieser ist natürlich ein Fixpunkt (Bildpunkt = Urpunkt)!

mY+

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Affine Abbildungen mit Scherungsachse

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