Integralrechnung (Substitution)

26.02.2005, 10:31

minzel

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Integralrechnung (Substitution)

Es war einmal ...

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}{\frac{x}{\sqrt{2x+1}}}dx \end{eqnarray*}$

Diese sollte nach Substitution gelößt werden. Ich bin ziemlich firm geworden in letzter Zeit was Substitution angeht. Aber an der Aufgabe hänge ich jetzt schon seit einigen Tagen.
Folgendes halte ich noch für logisch, und somit als richtigen Rechenweg:

Substituieren:
$\begin{eqnarray*} t(x) = \sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t} \rightarrow dx=\frac{1}{t} dt \end{eqnarray*}$

Alles einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}{\frac{x}{t}} \cdot \frac{1}{t} dt \end{eqnarray*}$

Und dieses kleine verfluchte x hält mich immer wieder zum narren.
Hoffe das mir jemand helfen kann, ich kriegs einfach nicht gebacken *seufz*

26.02.2005, 10:58

Calvin

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RE: Integralrechnung (Substitution)

Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Hier liegt ein Fehler. Es muß heißen $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} dx=t\,dt \end{eqnarray*}$ .

Und das einzelne x bekommst du weg, indem du $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$ nach x auflöst und einsetzt. Dann läßt sich das Integral relativ leicht lösen smile

smile

26.02.2005, 11:24

minzel

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dank erstmal für den tipp ...

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}{ \frac{x}{\sqrt{2x+1}} } \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^2 = 2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{t} \rightarrow dx = t \cdot dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^2=2x+1 \rightarrow (t^2-1)=2x \rightarrow x=\frac{(t^2-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Alles einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}{ \frac{\frac{(t^2-1)}{2}}{t} t \cdot dt } \rightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{4}{ \frac{(t^2-1)}{t} } t \cdot dt \rightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{4}{ (t^2-1) \cdot dt } \end{eqnarray*}$

Haut es bis hier her hin ?

26.02.2005, 11:29

Calvin

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Du mußt noch die Grenzen mitsubstituieren. Ansonsten ist alles richtig.

26.02.2005, 11:30

minzel

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hm, gut das hat ich auch noch nicht,
die grenzen sind doch keine variablen, das heißt 4 und 0 sind doch fest definiert, oder ? wie kann man, bzw wo muss man das mitsubstituieren ?

26.02.2005, 11:39

Calvin

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Die Grenzen beziehen sich aber nur auf das x. Manchmal schreibt man das Integral auch $\begin{eqnarray*} \int_{x=a}^b~f(x)\,dx \end{eqnarray*}$ . Da siehst du es deutlicher.

Wenn du eine Substitution durchführst, änderst du die Variable und deshalb ändern sich auch die Grenzen. Die Grenzen zu substituieren ist aber nicht schwierig.

Setze die beiden Grenzen in den Ausdruck ein, den du bei der Substitution benutzt hast und du erhälst die neue Grenze. Für die Untere $\begin{eqnarray*} t_u \end{eqnarray*}$ hast du z.B. $\begin{eqnarray*} t_u=t(0)=\sqrt{2\cdot 0+1}=1 \end{eqnarray*}$

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26.02.2005, 12:10

minzel

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hm, dann käme raus:

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{1}{ (t^2-1) \cdot dt } \end{eqnarray*}$

Wenn man t einsetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [2x] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{2} [2*3] ) - ( \frac{1}{2} [2*1] ) \end{eqnarray*}$

Da kommt 2 raus, aber das ist doch total falsch.
Das richtige Ergebnis müßte lauten $\begin{eqnarray*} \frac{10}{3} \end{eqnarray*}$

26.02.2005, 12:41

Calvin

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Zunächst mal sind die Grenzen am Integral falschrum. Aber ich gehe mal von einem Tippfehler aus.

Dann hast du die Rücksubstitution falsch gemacht. Wenn du das unbedingt machen willst (später mehr zur Notwendigkeit), dann mußt du natürlich auch das dt wieder richtig ersetzen. Damit wärst du aber wieder am ursprünglichen Problem angelangt und hättest nichts gewonnen.

Des weiteren hast du vergessen, nach deiner falschen Rücksubstitution die Stammfunktion zu bilden. Leider ergibt doppelt falsch meißtens immer noch falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Am besten ist es, du führst die Rücksubstitution nicht durch, sondern löst das Integral mit den neuen Grenzen und der neuen Variable. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_1^3~t^2-1\,dt \end{eqnarray*}$ läßt sich leicht lösen und du kommst damit auf die gewünschten 10/3.

26.02.2005, 12:49

minzel

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_1^3~t^2-1\,dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * [ \frac{t^3}{3-t} ] \end{eqnarray*}$

Ist das so erstmal richtig integriert ?
Wenn ja, was für eine form ist das ? Hab das jetzt mit taschenrechner mal gemacht.

26.02.2005, 12:58

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * [ \frac{t^3}{3-t} ] \end{eqnarray*}$

Nein, du hast falsch zusammengefasst.

Sicher hast du erstmal diese Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \frac{t^3}{3} - t \end{eqnarray*}$

oder??

26.02.2005, 12:59

minzel

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ja ok, falsch abgelesen,
trotzdem bleibt die frage was t^3 ist. Da ich ja nur t und t^2 habe ... ?!

26.02.2005, 13:03

iammrvip

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Du hast

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int\limits_1^3~\left(t^2 - 1\right)\mathrm dt \end{eqnarray*}$

wenn du integrierst:

$\begin{eqnarray*} t^2 &\Rightarrow \frac{t^3}{3} \\ -1 &\Rightarrow -t \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int\limits_1^3~\left(t^2 - 1\right)\mathrm dt = \left[\frac{t^3}{3} - t\right]_1^2 \end{eqnarray*}$

/edit: noch ein Tipp von mir, wenn du wieder kommst. Diese ganze aufwenige Substitution kann man leicht umgehen (lass die Grenzen mal weg):

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{ \sqrt{2x+1} } \mathrm dx &= \frac{1}{2}\int \frac{2x + 1 - 1}{ \sqrt{2x+1} } \mathrm dx \\ &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{2x + 1}{\sqrt{2x+1}} - \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right) \mathrm dx \\ &= \frac{1}{2}\int \left(\sqrt{2x+1} - \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right) \mathrm dx \end{eqnarray*}$

26.02.2005, 13:18

minzel

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In deinem edit seh ich jetzt gar nicht mehr durch, ich muß ja auch erstmal die eine sache verstehen bevor ich eine andere methode anwende.

wieso sind jetzt hier die grenzen aufeinmal von 1 bis 2 ??

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int\limits_1^3~\left(t^2 - 1\right)\mathrm dt = \left[\frac{t^3}{3} - t\right]_1^2 \end{eqnarray*}$

26.02.2005, 14:01

minzel

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Zitat:

Original von Calvin
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_1^3~t^2-1\,dt \end{eqnarray*}$

Ich habe danach mal gerechnet, da komm ich auch nciht auf 10/3,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_1^3~t^2 -1\,dt \rightarrow \frac{1}{2} \left[\frac{t^3}{3} - t\right]_1^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) \cdot \left ( t^3 -t \right )_1^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot \left [ (\sqrt{2x+1})^3 - \sqrt{2x+1} \right ]_1^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left [ \frac{1}{6} \cdot (\sqrt{7})^3 - \sqrt{7} \right ] - \left [ \frac{1}{6} \cdot (\sqrt{3})^3 - \sqrt{3} \right ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{7}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = falsch \end{eqnarray*}$

PS:
Auch das ich die Klammerregel jetzt nicht beachtet habe wäre dies auch falsch, dann käme ich auf 2.06. und nicht auf 3.333 ...

26.02.2005, 17:44

Calvin

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Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_1^3~t^2 -1\,dt \rightarrow \frac{1}{2} \left[\frac{t^3}{3} - t\right]_1^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) \cdot \left ( t^3 -t \right )_1^3 \end{eqnarray*}$

In diesem Schritt liegt der Bock. Du kannst nicht nur aus dem ersten Summand 1/3 rausziehen. Du mußt es entweder bei beiden machen, oder bei keinem.

Also entweder $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) \cdot \left [ t^3 -3t \right ]_1^3 \end{eqnarray*}$ oder so lassen, wie es war.

26.02.2005, 17:54

minzel

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Ich krieg langsam echt ne kriese mit der aufgabe.
wenn ich jetzt danach gehe und die grenzen einsetze ...

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) \cdot \left [ t^3 -3t \right ]_1^3 \end{eqnarray*}$

... komme ich wieder nicht auf das gewünschte ergebnis.

klar ist: $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$

26.02.2005, 19:24

reima

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RE: Integralrechnung (Substitution)
edit: Verrechnet traurig

traurig

26.02.2005, 19:46

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
Ich krieg langsam echt ne kriese mit der aufgabe.
wenn ich jetzt danach gehe und die grenzen einsetze ...

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) \cdot \left [ t^3 -3t \right ]_1^3 \end{eqnarray*}$

... komme ich wieder nicht auf das gewünschte ergebnis.

klar ist: $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{2x+1} \end{eqnarray*}$

Hast du auch die Grenzen wieder re-substituiert verwirrt

verwirrt

26.02.2005, 19:49

minzel

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wie schon geschrieben, wie resubstituiere ich jetzt die grenzen ?!

26.02.2005, 19:53

iammrvip

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einfach die alten einsetzen smile

smile

.

26.02.2005, 20:12

minzel

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Grenzen zurücksubstituiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot \left [ t^3 -3t \right ]_0^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{1}{6} \cdot (\sqrt(2*4 + 1)^3 - 3*\sqrt(2*4 + 1)) \right ) - \left ( \frac{1}{6} \cdot (\sqrt(2*0 + 1)^3 - 3*\sqrt(2*0 + 1)) \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{10}{3} \end{eqnarray*}$

Na endlich, hätt das zeug bald inne ecke geflagt. Echt schon am rand des wahnsinns. dank euch allen auf alle fälle !

26.02.2005, 20:16

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot \left [ t^3 -3t \right ]_0^4 \end{eqnarray*}$

Nur noch eine Formsache, sobald du die Grenzen re-substituierst, musst du auch die Variable re-substiuieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\left[ (\sqrt{2x + 1})^3 - 3\sqrt{2x + 1}\right]_0^4 \end{eqnarray*}$

Eigentlich resultiert das Erste aus dem Letzeren Big Laugh

Big Laugh

.

26.02.2005, 20:21

minzel

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weiß zwar nicht wie du das jetzt meinst, aber die aufgabe ist erstmal gelößt, das ist die hauptsache.

26.02.2005, 20:24

iammrvip

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Wenn du die alten Grenzen wieder einsetzt, musst du auch t wieder ersetzen.

26.02.2005, 20:27

minzel

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ja ist aj geschehen, mir fällt grad was anderes auf, seit wann ist die ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt(2x+1) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt(2x+1)} \end{eqnarray*}$

Die Regel besagt doch:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \frac{1}{2*\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

26.02.2005, 20:33

Mathespezialschüler

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Kettenregel! Du musst ja hier noch mit der Ableitung von (2x+1) multiplizieren und die ist nunmal 2.

26.02.2005, 20:37

minzel

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habe mir eben dir kettenregel mal angeschaut, werde daraus nicht wirklich schlau, ich hab da ja keine funktion, und wenn ich das immer, wenn ich die ableitung einer wurzel suche machen würde, würde das ganz bestimmt, irgendwo auch falsche ergebniss hageln.
also da seh ich grad nicht durch,

26.02.2005, 20:57

iammrvip

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Du hast die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{2x + 1} \end{eqnarray*}$

innere Funktion: $\begin{eqnarray*} v(x) = 2x + 1 \end{eqnarray*}$
äußere Funktion: $\begin{eqnarray*} u(v) = \sqrt v \end{eqnarray*}$

nun innere $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ äußere Ableitung.

26.02.2005, 22:00

minzel

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ja so ungefair hab ich erst aufs blatt geschaut wo ich ebendfalls nicht wußte was es von mir wollte *fg

wenn ich das beides multipliziere, gott weiß warum, kommt doch was ganz anderes raus ...

26.02.2005, 22:28

iammrvip

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Deine Ableitung oben stimmt aber, du musst es aber auch als Ableitung kennzeichnen

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2x+1}\right)' = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \end{eqnarray*}$

26.02.2005, 23:35

minzel

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hm, ja ok, werd ich mir einfach so merken, mal zu einem anderen problem:

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{e^{\sqrt(x)}} {\sqrt{x}}}dx \end{eqnarray*}$

Auch nach Substitution:

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x}} \rightarrow dx = t \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int{ e^t} \cdot dt \rightarrow [ e^{\sqrt{x}} + C] \end{eqnarray*}$

Wo steckt hier der fehler ?! Finde den nicht.

26.02.2005, 23:42

riwe

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Zitat:

Original von minzel
hm, ja ok, werd ich mir einfach so merken, mal zu einem anderen problem:

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{e^{\sqrt(x)}} {\sqrt{x}}}dx \end{eqnarray*}$

Auch nach Substitution:

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x}} \rightarrow dx = t \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int{ e^t} \cdot dt \rightarrow [ e^{\sqrt{x}} + C] \end{eqnarray*}$

Wo steckt hier der fehler ?! Finde den nicht.

ich denke: NIRGENDWO bis auf einen faktor 1/2, der schon bei der "ableitung der substitution" fehlt, x^(1/2)´= 1/2*...
differenziere halt mal

werner

26.02.2005, 23:45

minzel

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also die lösung laut buch und taschenrechner ist:

$\begin{eqnarray*} 2*e^{\sqrt{x}} + C \end{eqnarray*}$

Edit: also nach deinem edit, bin ich auch schon gegangen, aber da komme ich auf komplett auf was anderes, hat das hier jemand mal gerechnet ?

27.02.2005, 10:53

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel
hat das hier jemand mal gerechnet ?

Naja, wenn man geübt ist schreibt man sofort die Lösung hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Deine Substitution stimmt

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt x \end{eqnarray*}$

Aber die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt x\right)' = \frac{1}{2\sqrt x} \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 11:15

minzel

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ok, danach gerechnet würde rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \int{ \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2*\sqrt{x}} \rightarrow dx = 2 t \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int{ \frac{e^t}{t} 2t \cdot dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int{e^t * t \cdot dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( e^t * \frac{t^2}{2} \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( e^{\sqrt{x} * \frac{\sqrt{x}^2}{2}} \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left [ e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{x}{2} \right ] \end{eqnarray*}$

Aber da ist glaube ich noch ein rechenfehler drin

27.02.2005, 11:17

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von minzel
ok, danach gerechnet würde rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \int{ \frac{e^t}{t} 2t \cdot dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int{e^t * t \cdot dt} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Das t kürzt sich doch wunderbar weg...

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mathrm e^t}{t} 2t\mathrm dt = \int\mathrm e^t\cdot 2\mathrm dt \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 11:20

minzel

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ja aber ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \cdot 2t \end{eqnarray*}$

Gleich:

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ??

27.02.2005, 11:22

iammrvip

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geschockt

Wieso denn da?? Dort steht doch $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ dazwischen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}\cdot 2t = \frac{2t}{t} = 2 \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 11:22

minzel

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ja, oh man , bin ich blöd
danke *g

27.02.2005, 11:23

iammrvip

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passiert

Augenzwinkern

.

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