lotto wunder

16.08.2007, 18:47

appendix

lotto wunder

hallo allerseits,

folgendes bsp:
In Zeitungen ist immer wieder von Lotto-Wundern zu lesen, wenn bei unterschiedlichen Ziehungen fast die selben Zahlen gezogen werden. Ein besonderer dieser Fälle war, als am 21. Juni 1995 in der A-Ziehung des Mitwochslotto dieselben sechs Gewinnzahlen gezogen wurden wie bereits in der Samstagsziehung vom 20. November 1986.

Seit 1955 gab es bereits über 4000 Lotto-Ziehungen in Deutschland. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 4000 Ziehungen von 6 aus 49 Zahlen (mindestens) eine 6er Kombination (mindestens) zweimal gezogen wird.
(is aus http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...g/interaufg699/)

wieso klingt folgender lösungsweg so plausibel für mich.

es gibt natürlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten der Ziehung.
nenne ich k1

es gibt bei 4000 ziehungen insgesamt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k1+4000-1 \\ 4000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, denn natürlich können theoretisch auch alle 4000 dieselbe kombination sein.

wenn man jetzt von allen möglichkeiten der ziehung sozusagen die günstigen wissen will, diejenigen bei denen jede ziehungsmöglichkeit nur ein einziges mal vorkommt, dann ist das ja - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k1 \\ 4000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bei allen anderen kommt mindestens eine ziehung doppelt vor.

somit p=günstige/mögliche:

--geht nicht zahlen viel zu gross, habs mit maple versucht--

ergebniss würde dann 1-p sein

danke auf jeden fall, stimmt wenigstens die überlegung?

16.08.2007, 18:56

Tomtomtomtom

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RE: lotto wunder
Ich kann deine Lösung in keinster Weise nachvollziehen. Das geht schon hier los:

Zitat:

Original von appendix
es gibt bei 4000 ziehungen insgesamt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k1+4000-1 \\ 4000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, denn natürlich können theoretisch auch alle 4000 dieselbe kombination sein.

Die Idee, zuerst die Warhscheinlichkeit zu berechnen, daß alle 4000 Ziehungen verschiedene Ergebnisse bringen ist aber richtig. Wenn es keinen guten Trick gibt, den ich grad nicht sehe, wirst du das aber nur noch mittels der Stirlingschen Darstellung der Fakultät ausrechnen können.

16.08.2007, 19:10

Lazarus

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RE: lotto wunder

Zitat:

Original von appendix
[...]

ergebniss würde dann 1-p sein

danke auf jeden fall, stimmt wenigstens die überlegung?

Falls du mit den Überlegungen grundsätzlich den Weg über das Gegenereignis meinst, dann ist die Überlegung gut.
Schliesslich hast du ein "mindestens" in der Aufgabe, und das heisst, entweder das Gegenereignis ("Summe" über einen Zweig) oder das Ereignis selbst (Summe über 3999 Zweige).

Grundsätzlich solltest du dann den Topf aller möglichen Lottoergebnisse wie Kugeln in einer Urne behandeln: Jede Lottoergebniskugel ist von jeder nichtgleichen Lottoergebniskugel z.b. durch eine Farbe [Dank 24 Bit!]. Rest ist Hypergeometrisches ziehen und damit Formeleinsetzten.

17.08.2007, 09:37

Zellerli

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Schau dir hierzu unbedingt mal das Geburtstagsparadoxon an.

Da gibt es nämlich keine $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten für eine Ziehung, sondern nur 365 für einen Geburtstag. Somit ist es kompakter und schneller nachvollziehbar.

Auf dem selben Prinzip (eben die Gegenwahrscheinlichkeit) ist dann diese Aufgabe lösbar.

Ich muss mich Tomtomtomtom anschließen, bitte erkläre uns wie du auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix} + 4000 -1 \\ 4000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kommst. Interessiert mich echt, wäre ja ne riesen Abkürzung.

17.08.2007, 15:45

appendix

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ich schau mir das gebparadoxon gleich an (scheint nicht so schnell zu gehen). versuche aber vorher die erklärung mittels eines analogons beim würfeln:

man würfelt m mal, es gibt 6 Zahlen.
wie hoch ist p mindestens eine zahl mindestens doppelt zu würfeln?

zwischenfrage, wie hoch ist p1 kein einzigesmal (mindestens) irgendetwas (mindestens) doppelt zu würfeln:

es wird aus 6 elementen m mal ausgewählt, wobei die reihenfolge egal ist und wiederholungen zugelassen sind. also ein fall für (auf wikip. genannt) die repetition.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m+6-1 \\ m \ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun ist die frage wie viele von diesen kombinationen nichts doppelt, dreifach,... haben.
das wird ja genau von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ m \ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
beschrieben (vorausgesetzt m<=6).

das obere sind alle möglichen, dass untere die günstigen für p1.
p=1-p1
fertig

beim lotto entsprechen die verschiedenen ziehungen (k1) den 6 zahlen.
das m malige würfeln den 4000 ziehungen.

(kann leicht sein dass da ein denkfehler is, klingt aber so logisch für mich dass es mich sehr interessieren würde wenn dem so ist)

ich muss dazu sagen es klingt logisch für m<=6 wenn ich öfter würfle versagt die methode aus irgend einem grund.
es darf halt nicht öfter als
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
lotto gespielt werden? smile

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