Diskussion: x^0 = 1 | Def. oder Beweis?

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Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
Diskussion: x^0 = 1 | Def. oder Beweis?
Hi,

da ich in letzter Zeit öfters darauf stoße, sei beweisbar, möchte ich, vllt. ähnlich wie bei sin(x)/x eine Diskussion starten (die aber nicht so umfangreich wird).

Die Frage ist:
Kann man beweisen, oder ist es Definition?

Aussagen:

Meine Antwort: Definition
Prof. Ehrhard Behrends: Definition
wikipedia.de: Definition
Leopold: Definition
tmo: Je nach Voraussetzung Definition oder Beweis

Und vllt. sollte man einige gängige "Beweise" wiederlegen:

Beweis 1:


Fehler: Das angewandte Gesetz muss (speziell dann für den Fall ) ersteinmal gesichert sein. Dies ist allerdings nur dadurch zu erreichen, dass man definiert, womit ein Beweis natürlich Unsinn wird.

Beweis 2:

Dies kann man kürzen und erhält

Fehler: Stillschweigend wendet man hier das Gesetz an => siehe 1.

Also, hier sind einfach weitere Meinungen (allein zur Bestätigung von Fachleuten) und evtl. "Beweise" gefragt smile

(Ich hoffe, es ist nachzuvollziehen, dass ich dieses Thema eröffne, aber ich bin nun wirklich mehrfach drauf gestoßen und halte dies schon für ein Thema, das einen Thread rechtfertigt.)

air smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nunja meiner meinung nach kommt es immer drauf an, was man definiert und was man daraus folgert.

wenn man z.b.



definiert, kann man zumindest beweisen, dass gilt.
eigentlich sollte es dann auch möglich sein, den beweis auf beliebige basen ungleich 0 zu übertragen.

wenn man jedoch ln(x) als umkehrfunktion von exp(x) sowie exp(0) = 1 definiert, so kann man das, was oben noch definition war, als satz folgern.
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo

Könntest du vllt. dann auch eine geeignete Def. angeben, aus der sich beweisen lässt? smile (Nur der Vollständigkeit halber)

air
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke er will darauf hinaus:

also und mit der obigen Definition des ln ist ln 1 = 0 womit e^0 = 1 folgt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Danke smile

Ich würde es trotzdem mal gern hinterfragen. Also:

Definitionen:




Nun berechnen wir ln(1) und machen etwas weiter:





Und dann noch x^0 durch die Def. von x^r:



Daraus folgt:



Und nun? Man kann zwar noch ln 1 = 0 einsetzen, erhält dann aber e^0 = e^0 verwirrt

(Vllt. übersehe ich auch was, ist ja spät Big Laugh )

Edit:
Ah, etwa so?




Was wie oben gezeigt für r = 1 stimmt.

Edit:

Ich glaube da einen Fehler zu sehen .. wenn man ln(x) so definiert, so stellt man doch keinen Zusammenhang zw. ln und e her, womit dementsprechende Umformungen auch noch garnicht erlaubt sind (ist aber spät, also keine Garantie Big Laugh )

-------------------------

Dennoch einfach weitere Meinungen/Äußerungen/... zum Thema:



air
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader


Ich glaube da einen Fehler zu sehen .. wenn man ln(x) so definiert, so stellt man doch keinen Zusammenhang zw. ln und e her, womit dementsprechende Umformungen auch noch garnicht erlaubt sind (ist aber spät, also keine Garantie Big Laugh )



durch diese definition ist aber gesichert, dass ist und dass ln(x) über alle grenzen wächst, wenn x gegen unendlich strebt.
ferner ist ln(x) nach dieser definition stetig (da differenzierbar).
deshalb muss es ein x geben, sodass . dieses x definiert man als e.

da die funktion monoton steigt, kann man ihre umkehrfunktion exp(x) einführen und zeigen, dass gilt.
ferner folgt aus sowie , dass, und ist.
aus folgt für alle natürlichen n und ähnlich auch für alle rationalen zahlen.

bis hierhin haben wir den bekannten zusammenhang zwischen ln(x) und e^x nur für rationale x, jedoch wissen wir, dass exp(x) stetig ist und für rationale x mit e^x übereinstimmt, weshalb die definition für reelle x nahe liegt.

naja sind letztendlich wieder recht viele definitionen dabei Big Laugh

PS: diesen gedankengang habe ich übrigens aus folgendem buch: "Was ist Mathematik" von R. Courant und H. Robbins. Erschienen 1973.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskussion: x^0 = 1 | Def. oder Beweis?
Air, wenn ihr davon ausgeht, dass es sich in diesem Falle um eine Definition dreht, dann frage ich dich, warum nicht definiert wurde.

Richtig, weil diese Konvention nicht mehr konsistent mit den Potenzgesetzen wäre. Offenbar ist die einzig wohldefinierte Vereinbarung.

Wenn man nun so will könnte man den Beweis als folgende Aufgabe formulieren: Bestimme so, dass die Potenzgesetze (Logarithmengesetze,...) auch für gelten.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Dual Space

Genau darum geht es. Kann man es beweisen oder kann man x^0 definieren wie man grade gute Laune hat? Genau das ist der Kern der Frage Augenzwinkern

Aber: Wenn du sagst, es ist "die einzig wohldefinierte Vereinbarung", dann scheint es (für dich) ja auch Definition, nicht Beweis, zu sein. Deine "Aufgabenstellung" ist im Grunde ja dann auch nur ein Gedankengang zur Definition, nicht zum Beweis. Augenzwinkern

Aber um deine Meinung nochmal festzuhalten:
Du sagst, dass x^0 = 1 die einzig sinnvolle Definition ist, damit(!) die Potenzgesetze weiterhin gelten (und nicht: Weil die Gesetze gelten muss x^0 = 1 sein)

Wenn man es beweisen kann, dann kann x^0 <> 1 unmöglich sein. Ist es definiert, so könnte man theoretisch alles/vieles für x^0 setzen.
Dass x^0 = 1 sinnvoll ist, das steht nicht zur Frage Augenzwinkern


air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

(Ich mache den Doppelpost nun, damit der andere nicht zu unübersichtlich wird).

@tmo:
Für deine Methode benötigte man doch , was man nun erstmal beweisen muss.
Also:





Um das vollens "aufs Gleiche" zu bringen benötigen wir das Gesetz .

Dieses leitet sich doch so ab:



Wobei nacheinander die Def. von Potenzen, ein Logarithmengesetz und die Def. eines Produktes angewendet wurden.

Ich denke, es ist ersichtlich, dass du für den Fall y=0 auf stößt. Patsch! Definition Augenzwinkern

air
(Mal guggen, ob/wo da ein Fehler ist Big Laugh )
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Königsberger, Analysis 1 ist eine Definition. Definitionen muss man nicht beweisen Augenzwinkern .
Und wenn man die Exponentialfunktion als Umkehrfunktion von definiert könnte es vllt. sogar klappen ^^
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist tatsächlich Definition (auch in meinem Buch).
Habe nebenher auch mal Herrn Prof. Dr. Behrends (der sich mit www.mathematik.de beschäftigt bzw. betreut) angeschrieben, da er schließlich in seinem Buch schreibt, dass x^0 = 1 pure Definition ist (mal schauen, was er zu dem Beweis meint).

Aber ganz unabhängig davon würde ich natürlich trotzdem gern Meinungen von möglichst vielen Leuten sammeln smile

air
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Aber um deine Meinung nochmal festzuhalten:
Du sagst, dass x^0 = 1 die einzig sinnvolle Definition ist, damit(!) die Potenzgesetze weiterhin gelten (und nicht: Weil die Gesetze gelten muss x^0 = 1 sein)


Ist das nicht logisch äquivalent, im Grunde eine Kontraposition?

Du willst zeigen: Potenzgesetze gelten => x^0 = 1.

Dual Space sagt unbestritten: Wenn nicht x^0 = 1, dann gelten die Potenzgesetze nicht.

Sieht für mich wie eine Kontrapositon aus: Eine andere als die bekannte "Definition" ist nicht mit den Potenzgesetzen verträglich. D. h., wenn die Potenzgesetze gelten sollen, muß die "Definition" so sein.

Eigentlich ist das aber nicht, was Du suchst, denn Du hast bereits eingangs erklärt, daß Du keine Beweise von x^0 = 1 akzeptierst, welche auf den Potenzgesetzen beruhen. Das jedoch ist, wie ich nachfolgend versuchen werde zu erläutertn, keine wesentlich noblere Gesinnung, als sie in dem Versuch zum Ausdruck kommt, x^0 = 1 überhaupt - d. h.auch mit einfachsten Mitteln - zu beweisen, weil es in allen Fällen um nicht mehr und nicht weniger geht als symbolische Ersetzungen, Umbenennungen.

Eine kleine esoterische Abhandlung:

Ich würde das anders angehen und mich darauf besinnen, was eine Potenz zunächst einmal - für natürliche Exponenten - nur ist: nicht mehr als eine Abkürzung. Von diesem Ende aus ist dann x^0 die Abkürzung für 1, nicht mehr und nicht weniger. Man hätte bis hier x^0 auch undefiniert lassen können, auf diese Abkürzung verzichten. Bei dieser rein formalen Betrachtung läßt sich nichts beweisen. Man beweist ja schließlich auch nicht, daß 3 eine Abkürzung für den zweiten Nachfolger der 1 ist. Big Laugh

Wenn man aber mehr mit dieser Art der Abkürzung von Produkten u. ä. anfangen will, stellt man bald fest, daß x^0 = 1 eine geschmeidige Sache wäre. Also verwendet man sie. Statt dessen könnte man in allen Zusammenhängen und Beweisen, die folgen, überall dort Fallunterscheidungen machen, wo bislang x^0 nötig war, und stattdessen 1 hinschreiben. Eine symbolische Ersetzung, nichts weiter. Dies zeigt, daß auch im allgemeinen x^0 nicht einmal notwendig überhaupt definiert werden muß, also x^0 = 1 auch solange nicht "beweisbar" ist, wie nicht überhaupt die Notwendigkeit, den formalen Ausdruck x^0 bestimmen zu können, sich anderweitig ergibt.

Eine solche "Notwendigkeit" kann sich aber, wie erläutert, nur daraus ergeben, daß man statt Fallunterscheidungen eine kompakte Darstellung der Rechenregeln usw. haben möchte. Diesen Wunsch erklärt man stillschweigend, wenn man etwa die Potenzgesetze in der üblichen - kompakten - Form verwendet. Dann muß x^0 erklärt werden und, siehe Dual Space's Argument, kann nur auf eine Weise erklärt werden.

Und diese exklusive Verträglichkeit der Schreibweisen ist m. E. das einzige, was hier überhaupt bewiesen werden kann, weil die Frage, wofür x^0 symbolisch steht, keine andere Bedeutung hat als eben genau dies.

Und das geschieht auf die von Dir eingangs angeführten, aber nicht akzeptierte Weisen.

Prost

Wenn man vom anderen Ende anfängt und gleich mit exp usw. und den darüber bekannten Sätzen in der üblichen Form argumentiert, dann hat man die Definiertheit von x^0 bereits vorausgesetzt, und wiederum ergibt sich - allerdings auf viel kompliziertem Wege, ohne daß dies zu einem höheren Gehalt führen würde -, daß die Bedeutung dieses Symbols nur 1 sein kann. Ein besserer "Beweis" als der, den man gleich mit den Potenzgesetzen führt, ist das nicht - er ist genauso zirkulär, jeder "Beweis" muß so sein.

Deswegen gebe ich auch tmo recht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

mir fällt gerade noch was ein:

wenn man schon für rationalen r ungleich 0 bewiesen hat, so kann man aufgrund von stetigkeitsgründen für alle reellen x inklusive 0 definieren und erst dann folgern:



letztendlich kommt man immer darauf zurück, dass es drauf ankommt, was man definiert und was man daraus folgert.
man kann leicht eine definition über den haufen werfen und stattdessen sätze zu definitionen machen und damit die über den haufen geworfenen definition zu einem satz machen.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
wenn man schon für rationalen r ungleich 0 bewiesen hat, so kann man aufgrund von stetigkeitsgründen für alle reellen x inklusive 0 definieren und erst dann folgern:



Ohne Dir wirklich widersprechen zu wollen, will ich auch an diesem Beispiel deutlich machen, was ich nach Wittgenstein für ein "Scheinproblem" halte, das nur dadurch entsteht, daß die - hier mathematische - Sprache "mißbraucht" wird.

Man kann exp(x) definieren. Dann hat man wiederum Symbole usw., die letztlich eine Berechnungsvorschrift ergeben usw., ich will den Regreß an der Stelle abbrechen. Man kann dann für gewisse Werte von x, z. B. ein rationales p/q (nicht Null), eine Zahl ausrechnen. Und dann kann man die Zahl p bzw. q mal mit sich selbst multiplizieren, diese Zahlen durcheinander teilen und dann das Ergebnis mit der ersten Zahl vergleichen: Heureka, Gleichstand. (Eine andere Möglichkeit, exp(x) und e^x miteinander in Beziehung zu setzen, gibt es nicht.)

Dann sagt man sich, mit dem richtigen Verständnis dieser Abkürzung: exp(p/q) = e^p / e^q. Und mit Hilfe der für diese Abkürzungen als konsistent erkannten Regeln erhält man schließlich e^(p/q). Alles klar.

Dann kan man natürlich exp stetitg fortsetzen auf die reellen Zahlen, auch gut. Und dann ausrechnen, daß exp(0) = 1 sein muß. Supi.

Was das allerdings mit e^0 zu tun haben soll, ergibt sich daraus nicht. Weil 1 erstmal nur 1 ist, nichts weiter. Man könnte es natürlich auch e^0 nennen. Wenn man will.

Man kann jedenfalls nicht e^(p/q) als Symbol mit Stetigkeitsargumenten nach e^0 "fortsetzen". Man kann allenfalls sich überlegen, wofür e^(p/q) wohl steht, nämlich für einen Quotienten von zwei bestimmten Produkten. Und wenn dann versucht, die "Fortsetzung" zu finden, stößt man wiederum darauf, daß die Abkürzung für 0 als Exponenten aus sich heraus keinen Sinn mehr hat. Den legt man ihm dann bei, um Konsistenz zu erreichen. Man könnte es den Ausdruck aber auch beseite lassen und nur über exp(0) reden.

Man sieht also auch hier, daß nichts bewiesen werden kann, weil nichts zu beweisen ist (nichts anders als, daß wenn man überhaupt den Ausdruck x ^0 sinnvoll verwenden will, er für die Zahl 1 stehen muß; aber dies ergibt sich bereits und in nicht geringerer Qualität aus den einfachen Potenzgesetzen).
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Deine "Aufgabenstellung" ist im Grunde ja dann auch nur ein Gedankengang zur Definition, nicht zum Beweis.

Das kannst du halten wie ein Dachdecker. Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hui, kam ja einiges dazu smile

Darf ich die momentane Situation dann mal zusammenfassen?

x^0 = 1 erfordert keinen Beweis, ist aber auch nicht wirklich Definition, sondern man schreibt einfach x^0 für 1.
Dies hat einfach nur praktische Gründe (bekannte Regeln bleiben bestehen).

Aber das bedeutet doch gerade, dass die Definition(!) x^0 = 1 sinnvoll ist (und eben keinen Beweis erfordert).

@weiß nicht mehr wer Big Laugh
Ich akzeptiere Beweise, ohne Probleme. Aber meine 2 Beispiele im Eröffnungspost waren schlicht keine Beweise, da beide Fehler enthielten. Ich versuche zwar auch in tmo's Beweis einen Fehler zu finden, aber das ist ja nicht verboten. Immerhin lasse ich mich doch drauf ein Augenzwinkern

air
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
x^0 = 1 erfordert keinen Beweis, ist aber auch nicht wirklich Definition, sondern man schreibt einfach x^0 für 1.


Das kam von mir. Also, im Sinne Deiner dichotomen (?) Fragestellung halte ich x^0 = 1 für eine Definition, aber eine der untersten Kategorie, weil sie nicht mehr als eine symbolische Ersetzung bedeutet. Es wird dadurch kein komplexes mathematisches Objekt und keine Struktur definiert.

Zitat:
Original von AirbladerAber das bedeutet doch gerade, dass die Definition(!) x^0 = 1 sinnvoll ist (und eben keinen Beweis erfordert).


Das hat niemand bestritten. Sie ist an sich - unabhängig vom Wert - sinnvoll, und wenn man sie benutzen will, in dieser Form auch notwendig.

Man kann beweisen, daß keine andere Definition verträglich mit dem Rest, d. h. sinnvoll ist. Und das kann man, da möchte ich Dir nochmals widersprechen, in der Weise tun, die Du nicht akzeptierst. (Das meint keinen Vorwurf.) Du hälst die Beweise für fehlerhaft, weil sie in gewisser Weise zirkulär seien. Dagegen habe ich versucht zu erläutern, daß dies hier kein Fehler ist, sondern in der Natur der Sache liegt und geradezu notwendig ist. Man kann zeigen: Wenn man x^0 = 1 setzt, dann lassen sich die Potenzgesetze in der bekannten Form schreiben. Und umgekehrt, wenn man die Potenzgesetze in der bekannten Form verwenden will, dann geht das a priori nur, wenn x^0 eine definierte Bedeutung (das sind die üblichen Anforderungen, nur mit wohldefinierten Ausdrücken zu hantieren, und die Frage, ob ein Ausdruck überhaupt definiert ist, ist immer zugleich ein metamathematisches Problem, das innerhalb der Mathematik überhaupt keines Beweises zugänglich ist). Ohne, daß man dann zusätzlich einen konkreten Wert voraussetzt, läßt sich dann aus den Potenzgesetzen x^0 = 1 schließen. Dieser Beweis ist richtig!

Zitat:
Original von Airblader@weiß nicht mehr wer Big Laugh
Ich akzeptiere Beweise, ohne Probleme. Aber meine 2 Beispiele im Eröffnungspost waren schlicht keine Beweise, da beide Fehler enthielten. Ich versuche zwar auch in tmo's Beweis einen Fehler zu finden, aber das ist ja nicht verboten. Immerhin lasse ich mich doch drauf ein Augenzwinkern


Ebenfalls ich! Ich wollte Dich nicht angreifen, lediglich festhalten, daß Dir keine Beweise genügen, die auf den einfachen Potenzgesetzen beruhen, weil Du diese für zirkulär hälst.

Und anschließend erläutern, warum Du Dir damit zugleich jeden Weg abschneidest, hier etwas zu beweisen.

Ich habe tmo's Beweis nicht durchgesehen, aber ich bin mir ziemlich sicher, daß er keinen Fehler enthält, jedenfalls keinen der Art, um die es hier geht.

Nochmals: Sein Beweis ist nicht schlechter und nicht besser als der über die einfachen Gesetze. Lediglich viel komplizierter und interessanter, wodurch allerdings verdeckt wird, daß wir um des Kaisers Bart streiten.

Ich fasse mich mal so zusammen: Wenn x^0 überhaupt sein muß, und das muß es nicht, dann jedenfalls 1. Das ist beweisbar und bewiesen, so wie überhaupt irgendetwas in der Mathematik beweisbar ist (wie beweist man, das ein Beweis richtig ist? LOL Hammer ).
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Soliton

Also vorweg: Ich halte hier nichts für einen Vorwurf oder einen Angriff Augenzwinkern Es ist eine (sachliche) Diskussion und da darf man Anderen ja wohl sagen, ob/wo sie Fehler haben smile

Nun, zuerst zu den "zirkulären Beweisen" und deinem Satz
Zitat:

Man kann zeigen: Wenn man x^0 = 1 setzt, dann lassen sich die Potenzgesetze in der bekannten Form schreiben. Und umgekehrt, wenn man die Potenzgesetze in der bekannten Form verwenden will, dann geht das a priori nur, wenn x^0 eine definierte Bedeutung (hat)


(Das wort "hat" habe ich mal ergänzt).

Du hast in der Form 2x das selbe ausgedrückt, nämlich: Man setzt x^0 => nun werden Potenzgesetze wie gewohnt verwendet
(Da ist keinerlei - bis auf eine grammatikalische Umstellung - Umkehrung dabei Augenzwinkern ).

Ich halte es im Gegensatz zu dir sehr wohl für sinnvoll, x^0 = 1 wirklich als Definition zu betrachten, denn dieser Ausdruck ist sehr wohl wichtig. Er kommt ja sehr oft in vielen (wichtigen) Sätzen vor Augenzwinkern

Gegen Ende drückst du im Grunde aus: "Man kann zumindest beweisen, dass jede andere Festlegung (ich vermeide das Wort 'Definition') nicht sinnvoll bzw. verträglich wäre". Nun, darum geht es ja leider nicht. Wie schon gesagt: Die Frage nach dem Sinn steht garnicht in Frage. Egal wie man sich nähert, x^0 = 1 erscheint immer sinnvoller als jeder andere Wert (Ich sehe vom Fall 0^0 mal ab).

Die Frage ist vielmehr: Kann man es wirklich im normalem Rahmen beweisen der einigt man sich darauf, es als andere Schreibweise zu akzeptieren? (Auch hier vermeide ich das Wort 'Definition').

Zweiteres würde doch zumindest bedeuten (nur, dass wir uns einig sind): Es ist nicht(!) möglich, es zu beweisen, aber es ist möglich, es zu definieren (ja, hier kommt das Wort Augenzwinkern ).

Übrigens:
Zitat:

Also, im Sinne Deiner dichotomen (?) Fragestellung halte ich x^0 = 1 für eine Definition [...]. Es wird dadurch kein komplexes mathematisches Objekt und keine Struktur definiert.


Ich denke nicht, dass eine Definition stets komplexe Objekte oder Strukturen definieren muss. Aber: Würde man "x^0" nicht anders ausdrücken können (egal ob Def. oder Beweis), dann hätte man doch ein Problem: In vielen wichtigen Sätzen, ja, in jedem Ergebnis, das x^0 enthält, bekommt man keine "Zahl" heraus, sondern statt "5" vllt. "5 * x^0" - und das macht imho eine Definition (bzw. Beweis) von x^0 schon sinnvoll/nötig Augenzwinkern

Bin aber trotzdem auch mal auf den Kommenar von Hr. Behrends gespannt und wie immer am Ende meiner Posts möchte ich auch hier sagen, dass möglichst viele Meinungen von möglichst vielen Usern gut sind smile

P.S.:
Ich bin sehr wohl bereit, meine Meinung zu ändern. Die grundlegende Frage ist ja die Beweisbarkeit. Aber noch habe ich kein für mich ausreichendes Argument gehört. Dies *könnte* tmo's Beweis(versuch?) sein, sprich, das könnte ein Umschwung für mich sein, aber da muss ich erst noch nachdenken und etwas abwarten Augenzwinkern

air
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will mal meine Senf dazugeben (könnte eine Wiederholung eines Anderen Senfes sein).

In der Mathematik stellt man definierte, unumstößliche Regeln auf (Axiome) und kann aus einer Menge von Axiomen (Axiomensystem) dann weitere Aussagen folgern.

Nehmen wir uns also die Axiome für die Potenzgesetze mit allem was dazugehört zur Hand.

Aus diesen Axiomen kann man nun ganz klar folgern. Diese Folgerung kann auf zwei verschiedene Arten zu Stande kommen:

1.) Triviale Folgerung, weil Bestandteil des Axiomensystems ist (das heißt es wurde per Definition festgelegt) oder
2.) folgt aus einer Ableitungskette von Axiomen, ist aber nicht Bestandteil des Axiomensystems (dann wäre es beweisbar).

Nun hier meine These:

Es gibt mehrere unterschiedliche aber äquivalente Axiomensysteme, die dieselben Aussagen aus dem Bereich der Potenzgesetze beschreiben. In einem Axiomensystem ist vielleicht enthalten (und somit definiert), in einem anderen ist eine andere Regel definiert, aus der sich dann herleiten (also beweisen) lässt.

Die Ausgangsfrage in diesem Thread ist also (meiner Meinung nach) mit ja und nein zu beantworten, da sie an das zu Grunde gelegte Axiomensystem gekoppelt ist.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Tobias

Es gibt aber sehr wohl auch Definitionen, welche kein Axiom darstellen smile

Aber deiner Aussage folgend mal die Frage: Gibt es ein gängiges Axiomensystem und wie sieht es dort aus?

air
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt aber sehr wohl auch Definitionen, welche kein Axiom darstellen


Ja es gibt vieles.. Augenzwinkern

Zitat:
Aber deiner Aussage folgend mal die Frage: Gibt es ein gängiges Axiomensystem und wie sieht es dort aus?

Wenn ich das mal wüsste, könnte ich meine Vermutung wahrscheinlich fundierter äußern. Hab aber keine Ahnung!
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Argl, ich dreh' am Rad! LOL Hammer

Zitat:
Original von Airblader
Du hast in der Form 2x das selbe ausgedrückt, nämlich: Man setzt x^0 => nun werden Potenzgesetze wie gewohnt verwendet


Das stimmt nicht. Der Unterschied ist subtil, aber vorhanden. Im ersten Satz sage ich, daß dann, wenn man x^0 = 1 setzt, man keine Problem mit den Potenzgesetzen bekommt. Und im zweiten Satz, daß dann, wenn man die Potenzgesetze verwenden will, zunächst ohne Möglichkeit einer "Beweisführung" (nämlich aus metamathematischen Gründen, welche die "Notwendigkeit sinnvoller Definiertheit mathematischer Ausdrücke" betreffen) klar ist, daß "x^0" überhaupt ein sinnvoller Ausdruck sein muß (egal mit welchem Wert), und daß bei näherer Betrachtung - das ist wiederum ein Beweis i. e. S., der mit Hilfe eben der vorausgesetzen Potenzregeln erfolgenkann - der Wert allerdings auf 1 festzulegen ist.

Also so:

Potenzgesetze sollen kompakt (ohne Fallunterscheidung) verwendet werden => "x^0" muß eine Bedeutung bekommen (und die Potenzgesetze sollen verwendet werden) => "x^0" muß für 1 stehen => die Potenzgesetze können in der kompakten Form vewendet werden..

Du meinst anscheinend weiterhin, dies sei zirkulär. Und ich schreibe nochmals: Das ist es nicht, wenn Du nur zeigen willst, daß die Potenzgesetze mit keiner anderen Definition Gültigkeit haben.

Wenn Du aber zeigen willst, daß die "Definition" auch ohne Geltung der Potenzgesetze (oder wahlweise ohne irgendwelche Aussagen, welche Potenzausdrücke verwenden) zwingend so sein muß - oder, um das Wort zu vermeiden, wenn Du ebenso zeigen willst, daß x^0 = 1 "ist", dann mußt Du scheitern. Denn, wie ich bereits oben erläutert habe, muß die "Definition" formal betrachtet überhaupt nicht "sein", und das Symbol "x^0" muß es im (meta)mathematischen Sinne überhaupt nicht geben - dann ist es völlig sinnlos zu fragen, ob das Symbol einen bestimmten Wert haben muß und ggf. welchen. Die Frage stellt sich dann nämlich gar nicht. Die einzige Rechtfertigung, überhaupt über "x^0" (Syntax + Semantik) zu reden, liegt darin, wie dieses Symbol verwendet werden soll (Pragmatik).

Und nochmals weise ich darauf hin, daß tmo's Beweis keinen höheren oder niedrigeren Beweiswert hat als der einfache Beweis mittels Potenzgesetzen. Denn auch tmo's Beweis beruht darauf, daß man a priori die sinnvolle Festlegung von x^0 voraussetzt. Tut man das, dann kann man sehen, daß nur der Wert 1 zur Rechnung mit exp passt. Genauso, wie nur der Wert 1 schon zu den simpelsten Potenzrechnungen passt. Dazwischen gibt es keinen beweistheoretischen Unterschied. Genau genommen ist tmo's Beweis noch "zirkulärer" als der einfache Beweis, denn ich bin ziemlich sicher, daß in der Theorie, auf denen die exp beruht, bereits die Potenzgesetze verwendet werden. Was notwendig zur Folge hat... Big Laugh

Zitat:
Original von AirbladerIch halte es im Gegensatz zu dir sehr wohl für sinnvoll, x^0 = 1 wirklich als Definition zu betrachten, denn dieser Ausdruck ist sehr wohl wichtig. Er kommt ja sehr oft in vielen (wichtigen) Sätzen vor Augenzwinkern


Gut, daß Du mich daran erinnerst. Augenzwinkern Hör mal, wir führen hier eine ziemlich grundlegende Diskussion. Wenn ich dann schreibe, daß die Festlegung oder Verwendung von "x^0" nicht zwingend nötig ist, dann meine ich damit nicht, daß ich es für sinnvoll halte, darauf zu verzichten. Ich habe lediglich darauf hingewiesen, daß, streng genommen, die Theorie keine andere wäre, wenn es das Symbol "x^0" überhaupt nicht gäbe. Ebensowenig, wie die natürlichen Zahlen und alles, was darauf beruht, andere wären, wenn es die Symbole "2", "3" usw. nicht gäbe. Genau genommen braucht man überhaupt keine anderen (Zahl-)Symbole außer 0 und 1, um die ganze reelle Analysis (und vieles mehr) zu begründen.

Genausogut könntest Du also fragen, ob die Definition 3 = 1 + 1 + 1 "bewiesen" werden kann - oder ob es "3" "gibt" und ob "3" "1 + 1 + 1" sein muß oder auch etwas anderes sein kann. Und die Antwort auf diese Frage wäre i. w. die gleiche wie oben. Man benötigt das Symbol nicht zwingend, deswegen gibt es zunächst nichts zu beweisen. Wenn wir das Symbol aber so verwenden wollen, wie wir es bislang tun, dann muß es nunmal gerade 1 + 1 + 1 sein (was, streng genommen, auch nur ein Symbol für den zweiten Nachfolger der 1 nach Peano ist Big Laugh ) - und das kann man nur beweisen, indem man genau die Teile der Theorie verwendet, in denen das Symbol "3" vorkommt. Die "3" hat also genau die Bedeutung 1 + 1 + 1 deshalb, weil sie so verwendet wird. Wenn Du mir dann sagst: Ich möchte aber keine Beweise, in denen die "3" schon vorausgesetzt wird - was bleibt dann wohl übrige...? Dito für x^0. Die ganze Frage ruft, lieber Wittgenstein, ein Scheinproblem hervor, das man wahrscheinlich, ich merke es leidvoll, nicht hier lösen kann.

Zitat:
Original von AirbladerGegen Ende drückst du im Grunde aus: "Man kann zumindest beweisen, dass jede andere Festlegung (ich vermeide das Wort 'Definition') nicht sinnvoll bzw. verträglich wäre". Nun, darum geht es ja leider nicht. Wie schon gesagt: Die Frage nach dem Sinn steht garnicht in Frage. Egal wie man sich nähert, x^0 = 1 erscheint immer sinnvoller als jeder andere Wert (Ich sehe vom Fall 0^0 mal ab).

Die Frage ist vielmehr: Kann man es wirklich im normalem Rahmen beweisen der einigt man sich darauf, es als andere Schreibweise zu akzeptieren? (Auch hier vermeide ich das Wort 'Definition').


Genau das meinte ich allerdings oben. Streiche das Wort "sinnvoll" von mir aus. Man kann beweisen, daß nur x^0 = 1 zu den Potenzgesetzen paßt. Nach mehr kann auch nicht sinnvoll fragen.

Stell' es Dir doch so vor: Du schreibst fleißig Potenzgesetze hin und spielst damit rum. Plötzlich kommst Du zum ersten Mal an eine Stelle, wo der Exponent 0 ist. Dann denkst Du zunächst: Häh? Nullmal mit sich selbst? Dann guckst Du, woher Du gekommen bist, und Dir fällt auf, daß eigentlich 1 rauskommt. Anstatt jetzt immer 1 zu schreiben, wenn das passiert, und für alle restlichen Fälle gesonderte Potenzgesetze, kürzt Du formal x^0 = 1 ab, und das fügt sich wunderbar in die Schreibweise i. ü. ein. Fertig.

Zitat:
Original von AirbladerZweiteres würde doch zumindest bedeuten (nur, dass wir uns einig sind): Es ist nicht(!) möglich, es zu beweisen, aber es ist möglich, es zu definieren (ja, hier kommt das Wort Augenzwinkern ).


Das ist das, was gemeint ist, wenn man es als Abkürzung oder Schreibweise begreift. Zu beweisen gibt es dann - mathematisch - nichts.

Zitat:
Original von AirbladerIch denke nicht, dass eine Definition stets komplexe Objekte oder Strukturen definieren muss. Aber: Würde man "x^0" nicht anders ausdrücken können (egal ob Def. oder Beweis), dann hätte man doch ein Problem: In vielen wichtigen Sätzen, ja, in jedem Ergebnis, das x^0 enthält, bekommt man keine "Zahl" heraus, sondern statt "5" vllt. "5 * x^0" - und das macht imho eine Definition (bzw. Beweis) von x^0 schon sinnvoll/nötig Augenzwinkern


Das habe auch ich nicht behauptet. Aber wenn Du schon eine Grundlagendiskussion führen willst, dann muß auch Raum für begriffliche Differenzierung geschaffen werden, die sonst unnötig ist. Natürlich ist nach allem oben Gesagten "x^0 = 1" nur eine Definition. Aber eben eine besonders uninteressante, denn sie ruft kein neues Leben hervor, sondern nur ein neues, mehr oder weniger atomares Symbol. Das wollte ich bemerken; mit Deiner Ausgangsfrage hat das freilich nichts zu tun.

Zitat:
Original von AirbladerIAber noch habe ich kein für mich ausreichendes Argument gehört. Dies *könnte* tmo's Beweis(versuch?) sein, sprich, das könnte ein Umschwung für mich sein, aber da muss ich erst noch nachdenken und etwas abwarten Augenzwinkern


Wenn's Dich glücklich macht. LOL Hammer Du stehst damit aber genauso nackt da (oder auch nicht), wie mit dem Potenzgesetz-Mäntelchen. Aber vielleicht fühlt es sich ja von innen wärmer an, der ganze exp-Kram. Wahrscheinlich entsteht die Wärme beim vielen Nachdenken, ob's stimmt. Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt Probleme... unglücklich
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias
Ich will mal meine Senf dazugeben (könnte eine Wiederholung eines Anderen Senfes sein).


Hm, lecker.

Sorry, aber wenn wir schon Grundlagen diskutieren, dann darf ich auch mal Sprechweisen bekritteln:

Zitat:
Original von TobiasIn der Mathematik stellt man definierte, unumstößliche Regeln auf (Axiome) und kann aus einer Menge von Axiomen (Axiomensystem) dann weitere Aussagen folgern.


Axiome sind u. a. (logische) Aussagen. Aussagen sind ... Big Laugh
Axiome könne nicht aus anderen Aussagen (innerhalb des gleichen Axiomensystems) abgeleitet werden- Herrlich, diese selbstbezüglichen Definitionen. Big Laugh

Zitat:
Original von TobiasNehmen wir uns also die Axiome für die Potenzgesetze mit allem was dazugehört zur Hand.


Das wären dann also Peano, Körper-, Anordnungs- und Vollständigkeitsaxiom(e) ...

Zitat:
Original von TobiasAus diesen Axiomen kann man nun ganz klar folgern. Diese Folgerung kann auf zwei verschiedene Arten zu Stande kommen:

1.) Triviale Folgerung, weil Bestandteil des Axiomensystems ist (das heißt es wurde per Definition festgelegt) oder
2.) folgt aus einer Ableitungskette von Axiomen, ist aber nicht Bestandteil des Axiomensystems (dann wäre es beweisbar).


Ad 1: Sehe ich anders. Hierbei handelt es sich nur um eine symbolische Ersetzung. Das würde man nie als Axiom fassen. Und wenn 2. auch möglich sein soll, dürfte man es auch nicht, weil dann wäre "x^0 = 1" ja ableitbar und gerade kein Axiom.

In Wahrheit ist es, wie ausgeführt, weder ein Axiom (i. e. S.), noch eine abgeleitete Aussage. Abgeleitet ist (wenn überhaupt) lediglich die Aussage, daß "x^0 = 1" die einzig verträgliche Definition ist. Big Laugh

Übrigens: Ist 3 = 1 + 1 + 1 ein Axiom? Teufel

Zitat:
Original von TobiasEs gibt mehrere unterschiedliche aber äquivalente Axiomensysteme, die dieselben Aussagen aus dem Bereich der Potenzgesetze beschreiben.


Jo, aber man hat sich auf ein System geeinigt.

Zitat:
Original von TobiasIn einem Axiomensystem ist vielleicht enthalten (und somit definiert), in einem anderen ist eine andere Regel definiert, aus der sich dann herleiten (also beweisen) lässt.


Weder, noch. In allen Axiomensystemen der reellen Zahlen, die diesen Namen verdienen, ist "x^0 = 1" eine symbolische Ersetzung, eine Schreibweise, eine Definition, whatever, jedenfalls kein Axiom und auch keine abgeleitet Aussage.

Zitat:
Original von TobiasDie Ausgangsfrage in diesem Thread ist also (meiner Meinung nach) mit ja und nein zu beantworten, da sie an das zu Grunde gelegte Axiomensystem gekoppelt ist.


Die Ausgangsfrage in diesem Thread ist genauso sinnvoll (und damit zu beantworten), wie die Frage nach der "3" oder danach, ob "0" eine natürliche Zahl ist.

Wer sich für solche Fragen interessiert, sollte Wittgenstein lesen.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja gut, ich bin jetzt still. Prost
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest scheinst du von deiner Meinung überzeugt zu sein nachdem du nun 5 mal dasselbe neu zu formulieren versuchst hast. Big Laugh
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Darum laß ich es jetzt auch. (Metamathematische Grundlagenfragen, die sich nicht mit den üblichen formalen Methoden lösen lassen, haben es leider in sich, daß die dazu verwendete Sprache, die keine Fachsprache mehr ist, wieder und wieder gewrungen werden muß, um Fallen zu entdecken usw. Davon nehme ich mich nicht aus.) Wink
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Soliton

Danke für deinen ausführlichen Beitrag, der imho sehr interessant und "Augen öffnend" ist. Da meine Freundin grad an den PC will werde ich eine ausführlichere Antwort morgen dazu verfassen.

Bis dahin: 'Nacht Wink

air
(@WebFritzi: Immer den Namen verteidigen.. Big Laugh )
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

@Airblader: Wenn das so ist, bin ich erleichtert (dachte, ich hätte durch die stete Wiederholung Dich erschlagen)... und einen habe ich dann doch noch. smile

Noch eine metamathematische Argumentation, bzw. der Versuch einer solchen.

Nehmen wir an, wir wollen "x^0 = 1" beweisen. Also durch logisch richtige Ableitung (aus den vorausgesetzten Axiomen einschließlich einer noch zu treffenden Auswahl der bereits bekannten Sätze) "herausfinden", welchen Wert der Ausdruck x^0 hat. An dieser Stelle müssen wir anscheinend schon wissen, daß x^0 eine Zahl oder etwas Vergleichbares und kein komplexes Objekt ist. Oder wir müssen selbst das noch auf dem Weg beweisen. Wie auch immer.

Nun, wie beweist man? Wir schreiben erstmal "x^0" auf ein Blatt Papier.

Unstreitig müssen wir dazu doch irgendetwas über "x^0" wissen, was auch immer. Wir müssen also gucken, wo im weiten Reich der Mathematik etwas darüber zu finden ist.

Wenn der Ausdruck "x^0" außer auf unserem Blatt Papier nirgends sonst stünde, dann gäbe es zwischen diesem Ausdruck und dem Rest der Mathematik keinerlei Verbindung. Nichts zu wissen. Also kein Beweis. Eigentlich totale Leere.

Aber so ist es ja nicht. Woher können wir also etwas über den Ausdruck erfahren? Wir stellen uns vor, die gesamte bekannte Mathematik steht niedergeschrieben vor uns. Wo und aus welchem Anlaß kann nun der Ausdruck zumindest ein weiteres Mal (außerhalb unseres Schmierzettels) auftauchen? Ich sehe da nur zwei Fälle:

Entweder, jemand hat - aus welchem Grund auch immer - an einer Stelle, wo eigentlich eine 1 stehen sollte und stehen könnte, aus "Spaß" - jedenfalls aus keinem wesentlichen Grund, also ohne dazu anderweitig gezwungen worden zu sein - "x^0" hingeschriebe, und man kann das auch sofort sehen, d. h. ohne Wissen über andere Stellen. (Vielleicht hat derjenige an den zu kleinen Rand ja gekritzelt: "Hihi, ich kürze einfach mit x^0 ab, das sieht nach viel mehr aus, und Generationen von Mathematikern werden sich nun fragen, was ..." - man denke sich dazu einen altfranzösischen Akzent) Nun, solche Stellen bringen uns nicht weiter. Denn das einzige, was wir daraus entnehmen können, ist, daß es anscheinend vorkommt, daß jemand "x^0" statt dem Symbol "1" verwendet. Das ist aber nicht das, was uns interessiert. Er hätte ja statt dessen auch "GeorgeBush" schreiben können o. ä. Aus einer solchen Stelle können wir also für unser Unternehmen nichts gewinnen.

Streichen wir alle diese Stellen bzw. ersetzen dort überall den Ausdruck wieder durch 1. Nach Voraussetzung ist das ohne weiteres möglich.

Was bleibt dann noch? "x^0" taucht an einer Stelle auf und mußte aus irgendeinem Grund dort auftauchen - ohne daß es sich um eine bloße symbolische Ersetzung handelt. Zumindest auf den ersten Blick sehen wir nicht, daß wir ebenso auch "1" schreiben könnten. Wenn das aber geht (ohne, daß wir das schon wissen müssen, wir wollen es ja zeigen), dann muß die Begründung irgendwo hergeholt werden, jenseits der Stelle selbst.

Aber in welchem Kontext könnte denn eine solche (weitere) Stelle vorkommen? Wodurch sollte denn "x^0" gebunden sein? Ich habe ja vielleicht nicht genügend Phantasie, aber mir fällt beim besten Willen kein anderer Kontext ein als - "man will mit Potenzen rechnen" = "Potenzrechnung". Wie könnte eine "Potenz" (von der wir dann nicht einmal wüßten, ob es überhaupt eine sein soll) in einem Kontext vorkommen, der nichts, aber auch gar nichts mit Potenzrechnung zu tun hat? Woher bekäme der Ausdruck seinen gewohnten Sinn?

Jedenfalls müßten wir uns auf dem Weg machen nach einer anderen Stelle, aus der sich etwas über "x^0" ergibt. Naja, und hier kürze ich es mal ab... landet man dann zwangsläufig bei "Potenzrechnung" in irgendeiner Form - sei es in Gestalt der einfachsten Gesetze (und am Ende entdecken wir dabei sogar eine Definition des Ausdrucks), sei es in Gestalt anderer Theorien (in denen solche Dinge wie "exp" auftauchen). Aber doch wissen wir, daß, wo immer in der Mathematk auch eine Potenz auftaucht (jedenfalls der Art, um die es hier geht), diese Potenz und der Umgang mit ihr letztlich auf den einfachsten Potenzregeln (und -definitionen) fußt. Fußen muß. Worauf sonst? An denen kommt man also nicht vorbei.

Womit ich wieder bei meiner Behauptung von oben bin: Jeder Versuch, etwas Definitives über "x^0" zu sagen oder zu beweisen usw., beruht letztlich auch bzw. schon auf den Potenzregeln. Ohne Potenzregeln gibt es weder eine Notwendigkeit, noch einen Sinn für x^0 (abgesehen von der trivialen symbolischen Ersetzung, die man an jeder beliebigen Stelle vornehmen könnte). Dann kann aber kein Beweis, der zu diesem Thema geführt werden will, akzeptabler sein als die Potenzregeln es schon sind.

Siehst Du einen damit geführten Beweis freilich als untauglich oder trivial an, dann gibt es keinen besseren - und ich will Dir diese Einschätzung gar nicht nehmen, denn daran zeigt sich nur die unvermeidliche Enttäuschung darüber, daß die ursprüngliche Frage einfach zuviel erwartet hat: nämlich, daß es (ohne die Potenzgesetze) etwas über "x^0" zu beweisen gäbe. Will man nicht ewig trauern, akzeptiert man irgendwann: es muß eine Definition sein. Oder ist es nicht? Vielleicht ist das ein Kompromiß: Der Wert von "x^0" wird durch die Potenzgesetze "festgelegt". Ohne diese kein "x^0" und auch kein Wert dafür. Ob man darin eine Definition sieht oder eine logische Ableitung... Ich meine, es geht um folgende zwei Fälle: Setzt man die Existenz eines Objekts "x^0" voraus, welches den (formalen) Potenzregeln gehorcht, dann kann man beweisen: es muß 1 sein. Leider brauchte man die Existenz dieses Objekts aber schon, um überhaupt die Potenzregeln hinschreiben zu können. Also... Definition?

Mir schwirrt der Kopp. Ich glaube bald, ich habe nur Müll geschrieben.

Nach allem fällt mir auf, daß ich die Ausgangsfrage gar nicht verstanden habe. verwirrt Vielleicht liegt das daran, daß sie nicht richtig gestellt ist, oder ich bin zu doof oder zu engstirnig.

Vielleicht hilft's trotzdem was. Ich mach lieber wieder FA. Das kann ich zwar auch nicht besser, aber wenigstens ist die Welt dort wieder schön schwarz-weiß.

Schuster, bleib' bei deinen Leisten. Und ich sollte selbst mal Wittgenstein lesen. Aber davon bekommt man Kopfschmerzen.

Prost
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Soliton: Solltest du nicht eigentlich lernen? Augenzwinkern
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nur noch was in die Diskussion einstreuen: Auch in Polynomen macht die Konvention Sinn, da sonst die eindeutige Faktorisierung nicht mehr eindeutig wäre. Es muss also das neutrale Element bzgl. der Multiplkation in sein. Das nennen wir halt meist 1.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Soliton

Ich fand dein Beispiel bzgl. "3 := 1 + 1 + 1" sehr gut. Um nun nicht immer an den selben Wunden zu kratzen möchte ich es mal etwas kürzer fassen. Aber vorher noch eine Sache zu deinem letzten (langen) Post:

Ich halte die 2 "Beweise" aus meinem Eröffnungspost dennoch für falsch. Ich habe nie bestritten, dass man die Potenzgesetze heranziehen darf, um einen sinnvollen Wert für "x^0" zu bekommen. Aber: Es ist schlichtweg kein Beweis. Und das ist alles, was ich an diesen Dingern auszusetzen hatte Augenzwinkern

Nun, jetzt zu den anderen Dingen:

Ich denke, dass wir uns da vllt. nun einig sind.
"x^0" als Ausdruck ist rein technisch gesehen, wie soll man es sagen, etwas "unsinnig" und lediglich ein Spezialfall von Potenzen. Natürlich kommt dieser Ausdruck (von fiktiven altfranzösischen Mathematikern abgesehen Augenzwinkern ) auch nur in der Potenzrechnung vor und darum darf man diese (und ihre Gesetze) gerne heranziehen, um x^0 sinnvoll abzukürzen. Beweisen, nein, so darf man das jedoch nicht nennen.

Also: "x^0 = 1" ist in erster Linie eine symbolische Ersetzung, die nicht nur bequem, sondern sinnvoll ist. Richtig?

Dennoch (jaja Big Laugh ) behaupte ich: Dort, wo etwas nicht ableitbar ist (nämlich der "Sinn" von x^0), ist eine Definition so verkehrt gar nicht!
Denn Konvention, Sinn, Zweck oder Bequemlichkeit hin oder her: Ohne eine Festlegung darauf könnte jeder schreiben was er will - wäre das nicht fatal? (Man müsste stets, auch in allen wichtigen Sätzen, in denen x^0 vorkommt, extra "Dabei vereinbaren wir x^0 := 1" hinzuschreiben). Warum sollte man also nicht einfach eine kleine Ein-Satz-Definition "Definition: x^0 := 1 für alle x ungleich Null" machen (wie es ja scheinbar praktiziert wird, in meinem Buch jedenfalls schon) anstatt erst eine Diskussion über Sinn, Zweck, Bequemlichkeit, Alternativen etc. zu halten?

Denn eine Definition unter den vielen hunderten/tausenden fällt doch nicht ins Gewicht, oder? smile

Vllt. mal eine "Ankreuzliste" für dich. In welchen Punkten sind wir uns einig? (Natürlich immer x ungleich Null)

- x^0 ist rein formal ein Spezialfall der Potenzrechnung
- x^0 = 1 ist symbolische Ersetzung
- x^0 = 1 ist sinnvoll
- x^0 = 1 ist bequem
- x^0 = a mit a ungleich 1 ist umständlich und bringt Probleme mit sich
- x^0 = 1 ist nicht beweisbar, da es nichts zu beweisen gibt
- x^0 = 1 muss nicht unbedingt (allgemein) definiert sein
- x^0 := 1 (also als Definition) ist, um sich Probleme und Kollisionen zu ersparen, und um die Lücken der Potenzrechnung zu füllen, ohne jedesmal seitenweise etwas dazu schreiben zu müssen, durchaus eine Sache, die sinnvoll erscheint

smile

air
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

für natürliche ist eine Abkürzende Schreibweise für . Deshalb ist folgender Beitrag hoffentlich zweckführend: hier.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Lazarus

Nun, zunächst ist 0 je nach Definition aber eine natürliche Zahl ... oder eben nicht Augenzwinkern

Ansonsten: Darf ich deine Meinung als "Verteter der Definition" auffassen?

Ich denke, unser bisheriges Ergebnis ist ja, dass x^0 und 1 einfach andere Symbole sind, aber wie schon gesagt, bin ich noch immer für die Definition von x^0 := 1 (auch wenn diese Def. "nur" über den Umweg des Produktes gemacht wird)

air
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Vorweg mal. Der einzige, der recht hat, ist WebFritzi: Ich sollte lernen. Freude Ein Philosoph ist nicht an mir verlorengegangen. smile

Glücklicherweise sieht es aber so aus, daß wir an einem zumindest für mich befriedigenden Ende sind. Ich habe jetzt endlich festgestellt, daß Airblader und ich von vornherein einer Meinung waren.

Zur Sache noch: Sowohl das Beispiel von mylittlehelper als auch das von Lazarus haben keine andere "Qualität" bzw. Natur als alles bisherige. (Worauf zumindest Lazarus wohl auch hinauswollte, ohne das ausdrücklich zu sagen.) Will sagen: Es handelt sich auch bei diesen Beispielen um nichts weiter als (weitere) Abkürzungen, die zugunsten einer geschlossenen Notation und zur Vermeidung von ansonsten erforderlichen notationellen Fallunterscheidungen oder einfach Schreibarbeit getroffen werden.

Insbesondere das Beispiel von Lazarus weist darauf hin, daß man alles noch komplizierter formulieren kann, ohne daß sich im Kern etwas ändert. Das Fakultätenbeispiel hätte ich auch noch gebracht. Oder das Beispiel mit einer leeren Summe. Lazarus kürzt eine Notation ("x^n") durch eine andere (Produktzeichen) ab. Die Frage, was "x^0" sein soll, ist damit symbolisch ersetzt durch die Frage, was ein "leeres Produkt" sein soll. Also nichts weiter als eine schlichte Umformulierung der ursprünglichen Frage unter Verwendung komplexerer Notation, welche die - irrige - Hoffnung erwecken kann, man könne damit mehr beweisen, weil sie mehr Gehalt habe. Übrigens enthält der von Lazarus angegebene Thread einen, hier allerdings nicht wesentlichen, Fehler: Leere Summe bzw. leeres Produkt sind solche, wo obere Grenze kleiner als untere ist.



ist nicht etwa eine zusätzliche Definition, außerdem inkonsistent mir der allgemeinen Definition des Produktzeichens, insofern "falsch".

, und nicht etwa 1.

Gemeint wahr wohl (z. B.):

. Das wird als 1 definiert.

Das Beispiel von mylittlehelper ist m. E. überhaupt nichts Neues, weil, wenn wir von Polynomen reden, wir bereits von Potenzen gesprochen haben, und dort hat sich die Frage, was "x^0" sein soll bzw. sein muß, bereits gestellt. Daß die Antwort im Polynombeispiel die gleiche ist, ist deshalb kein Zufall. Es ist die Antwort auf die gleiche Frage, die Airblader gestellt hat, nur wird die Frage erst später gestellt (jenseits einfacher Potenzen), wie auch im Beispiel von tmo.

@Airblader: Ich stimme Deinem gesamten Beitrag in allen Punkten zu und ergänze nur:

Zitat:
Original von Airblader
- x^0 = a mit a ungleich 1 ist umständlich und bringt Probleme mit sich
- x^0 = 1 ist nicht beweisbar, da es nichts zu beweisen gibt


Beweisbar (also ohne jeden Zweifel und jenseits bloßen Glaubems. Hoffens oder Liebens) ist, daß x^0, wenn es eine andernfalls in dem Potenzkalkül auftretende Notationslücke schließen soll, zwingend 1 (definiert) "sein" muß. Der simpelste mögliche Beweis beruht auf den Potenzregeln. Man kann aber der Ansicht sein, daß dies kein Beweis i. e. S. ist. Das liegt nur daran, daß die gestellte Frage keine mathematische i. e. S. ist, sondern einen axiomatischen bzw. metamathematischen Anteil hat.

Ich will damit aber nicht meine Zustimmung einschränken. Wenn Du das nicht "Beweis" nennen willst, ist das für mich ok. Denn die Frage, was ein Beweis ist, ist ja ihrerseits metamathematisch. geschockt Und beweisen, was beweisen ist, kann ich leider auch nicht. Deswegen ist Glaube hier ok.

Danke für die Geduld. So, jetzt wird gelernt. Wink
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Soliton

Was ein Beweis ist ist doch nicht ungeklärt. Ein Beweis ist die Herleitung (d.h. man sichert die Aussage als richtig) einer Aussage aus bekannten/bewiesenen Definitionen/Sätzen u.a. unter der Verwendung der Axiome.

Immerhin kann man ja z.B. beweisen, dass gewisse Dinge nicht beweisbar sind (du würdest das wohl metamathematisch nennen Augenzwinkern ).

Also darf ich als Ergebnis zumindest zw. uns beiden festhalten, dass eine Definition einfach der Praxis halber sinnvoll ist, nicht aber zwangsweise sein muss.

Da könnte ich jetzt anfangen, dass auch "wichtige" Definitionen nicht sein müssen. Warum muss man Potenzreihen definieren, man kann sie doch jedesmal neu "herleiten"/"aufschreiben"/... Augenzwinkern

air
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soliton
[...]


ist nicht etwa eine zusätzliche Definition, außerdem inkonsistent mir der allgemeinen Definition des Produktzeichens, insofern "falsch".

, und nicht etwa 1.

Gemeint wahr wohl (z. B.):

. Das wird als 1 definiert.
[...]


Diese Aussage ist richtig. Die Definition der Fakultät lautet . somit hiese

Dies ist mir eigentlich ja bekannt, doch der Fehlerteufel steckt in den Indizes.

Die grundsätzliche Aussage bleibt jedoch bestehn: Irgendwo muss man eine sinnvolle Definition treffen und wo das ist, hängt von der Lust und Laune des Definierers ab, oder eben vom damit verbundenen Aufwand.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soliton
Zur Sache noch: Sowohl das Beispiel von mylittlehelper als auch das von Lazarus haben keine andere "Qualität" bzw. Natur als alles bisherige. (Worauf zumindest Lazarus wohl auch hinauswollte, ohne das ausdrücklich zu sagen.) Will sagen: Es handelt sich auch bei diesen Beispielen um nichts weiter als (weitere) Abkürzungen, die zugunsten einer geschlossenen Notation und zur Vermeidung von ansonsten erforderlichen notationellen Fallunterscheidungen oder einfach Schreibarbeit getroffen werden.


Muss ich widersprechen. Es wäre nicht nur eine Fallunterscheidung notwendig, sondern viele Sätze würden einfach im Staub zerfallen, wenn die Faktorisierung von Polynomen nicht mehr eindeutig wäre. Unter anderem fällt darunter ja auch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung worauf die gesamte Zahlentheorie fußt.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Lernpause! Hammer

Zitat:
Original von mylittlehelper
Muss ich widersprechen. Es wäre nicht nur eine Fallunterscheidung notwendig, sondern viele Sätze würden einfach im Staub zerfallen, wenn die Faktorisierung von Polynomen nicht mehr eindeutig wäre. Unter anderem fällt darunter ja auch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung worauf die gesamte Zahlentheorie fußt.


Was ich meine: Anstatt für Deine Polynome "x^0 = 1" zu verwenden, könntest Du auch ohne das Symbol "x^0" auskommen und an jeder Stelle, wo Du sonst eine Potenz mit Exponent 0 hinschreiben müßtest, statt dessen eine 1 hinschreiben. Du müßtest dann natürlich die Fälle unterscheiden, in denen das nicht erforderlich ist, und die, in denen es erforderlich ist. An den darauf aufbauenden Sätzen änderte sich gar nichts. Weil es eben nur eine Abkürzung ist.

Ändern würde sich etwas, wenn Du statt "x^0" nicht "1" schreiben würdest, sondern "2" oder "an dieser Stelle kann irgendeine Zahl stehen". Aber das würdest Du ja nicht tun. Weder in dem Kontext der Polynome, noch zuvor bei den einfachen Potenzen. Der Grund, es nicht zu tun, ist aber letztlich, da bin ich mir fast sicher, kein anderer als schon der Grund, es bei den einfachen Potenzen nicht zu tun. Und dieser Grund wiederum hat nichts damit zu tun, ob man die "1" mit "x^0" oder "grün" abkürzt.

Polynome setzen sich nunmal aus Potenzen zusammen, und deshalb setzt das Rechnen mit Polynomen - ja schon die Definition - voraus, daß die üblichen Potenzregeln gelten. Jedenfalls haben wir Polynome so definiert, daß es konsistent ist. Dazu gehört längst, noch bevor wir darüber reden können, x^0 = 1. Sicherlich kannst Du, je komplexer die Struktur ist, noch mehr gute Gründe dafür angeben und Stellen finden, an denen sonst alles auseinanderbrechen würde. Andererseits brauchst Du die Polynome nicht. Denn wenn Du schon bei der einfachsten Potenz nicht x^0 = 1 festlegst, dann hört die Welt der Polynome, so wie Du sie kanntest, auf zu existieren, bevor Du "Piep" sagen und überhaupt den Begriff "eindeutige Zerlegung" hinschreiben kannst. x^0 anders zu definieren, führt also nicht erst bei den Polynomen zu besonders schrecklichen Folgen. Sondern es ist schlimmer, je früher man damit anfängt. Nur das wollte ich ausdrücken, als ich schrieb, daß Dein Beispiel keine neue Qualität bringt.

Aus Sicht von Airblader sind aber alle diese Argumente untauglich. Denn man kann von einer Position aus, welche die konsistente und damit bestimmte Verwendung von x^0 bereits voraussetzt, keinen "Beweis" in seinem Sinne mehr führen. Nicht mit den Potenzregeln, nicht mit Sätzen über Polynome, nicht mit der Exponentialfunktion, mit Summen oder Fakultäten.

Anders gesagt: Der Grund, warum an bestimmten Stellen in Deinem Kontext eine "1" stehen muß, liegt vorab in der abstrakten Struktur. Aber ob Du dort dann eine nackte "1" hinschreibst (was Fallunterscheidung erfordert), oder ob Du statt dessen ein kleidsames "x^0" hinschreibst mit der Abrede, daß dies "1" sein soll, ist einerlei. "x^0" muß also deshalb "1" sein, weil Du es gerade an Stelle der 1 schreiben willst, wenn Du Deine Theorie herleitest. Weil Du Dich längst in einem Kontext bewegst, in dem dort eine "1" stehen muß, wie Du Dir dann überlegst - längst bevor Airblader sinnvoll seine Frage nach "x^0" stellen konnte, war die "1" schon da. Und Airblader kann seine Frage dann überhaupt nur deswegen noch stellen, weil Du (wie wir alle) Dich aus "Bequemlichkeit" entschieden hast, die "x^0" ins Leben zu rufen. Die "1" jedenfalls war sozusagen schon vorher da und läßt auch nur eine "1" (wie auch immer gekleidet) an ihren Platz.

Airblader wollte ursprünglich wissen (glaube ich), ob man dies beweisen könne, ohne daß man schon voraussetzt, daß die 1 in irgendeiner Form dort stehen muß. Und das kann man eben nicht. Rock Prost

Wenn ich Dich nicht richtig verstehe, demonstriere halt mal konkret, was Du meinst. Du müßtest aufzeigen, wie Du ohne - implizite - Verwendung der Potenzregeln anderweitig dazu kommst, daß x^0 sein muß. Und wenn Du das mit Polynomsätzen begründen willst, mußt Du aufzeigen, daß alle diese Sätze gewissermaßen unabhängig von den Potenzgesetzen gelten. Und ich sage voraus: Das gelingt Dir nicht. Denn die Potenzgesetze sind das, was den konsistenten Umgang mit Objekten der Form "x^a" beschreibt, die für ganzzahlige Exponenten nur eine Abkürzung für Produkte und Quotienten sind. Und wenn es Dir gelänge, ohne die Potenzgesetze auszukommen, wäre das x^0, von dem Du sprichst, nicht das "x^0", um das es ursprünglich ging. Und selbst ein solcher Beweis wäre "zirkulär" nach Airblader. Und ich bezweifele, daß Airblader damit wesentllich zufriedener wäre.

Yippie! LOL Hammer

Ach, ich bin so kirre von dem ganzen FA-Kram, Auswahlaxiomen und unerreichbaren Kardinalzahlen. Und zwischendrin frage ich mich - Airblader, das ist doch was für Dich: Existieren die rationalen Zahlen? Oder, um es nicht so kompliziert zu machen: Existiert "-1"?

Gesucht ist ein axiomatischer Beweis, aufbauend auf Peano, d. h. wir setzen (nur) die Existenz der natürlichen Zahlen axiomatisch voraus.

Ich habe das Gefühl, diese der Airbladerschen nicht unähnliche Frage veranschaulicht, auf welch abstract-nonsense-Gebiet wir uns bewegen.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Was ein Beweis ist ist doch nicht ungeklärt. Ein Beweis ist die Herleitung (d.h. man sichert die Aussage als richtig) einer Aussage aus bekannten/bewiesenen Definitionen/Sätzen u.a. unter der Verwendung der Axiome.


Ja, aber das ist eine Definition des Begriffs "Beweis". Aber kein Beweis. Prost

Und wie beweist man, daß ein Beweis richtig ist? Teufel

Und wie beweist Du, daß ein "zirkulärer" Beweis keiner ist, und daß der Potenzregel-Beweis ein "zirkulärer" und deshalb keiner ist?

Willkommen in Teufel s Küche.

Ist ja schon gut. Wie gesagt, ich bin nicht anderer Meinung.

Zitat:
Original von AirbladerImmerhin kann man ja z.B. beweisen, dass gewisse Dinge nicht beweisbar sind (du würdest das wohl metamathematisch nennen Augenzwinkern ).


Genau. Und ich habe ja sogar auf meine etwa hilflose Art versucht, viel weiter oben "metamathematisch" zu beweisen, daß man "x^0" nicht beweisen kann, wenn man jeden Zirkel vermeiden will. Welche Schlußfolgerungen daraus zu ziehen sind - ob das dann der "Beweis" ist, daß eine Definition vorliegt, ob es das der "Beweis" für einen unentscheidbaren Satz oder einfach nur die Alarmglocke ist, die laut schrillt, weil hier von allen Seiten, mich eingeschlossen, Nonsense verzapft wird Augenzwinkern - ich weiß es nicht.

Zitat:
Original von AirbladerAlso darf ich als Ergebnis zumindest zw. uns beiden festhalten, dass eine Definition einfach der Praxis halber sinnvoll ist, nicht aber zwangsweise sein muss.


Das hättest Du schon immer festhalten dürfen. Schon vor dieser Diskussion. Denn das war ja nicht Deine ursprüngliche Frage.
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