Hauptkrümmungen

17.08.2007, 20:57

mylittlehelper

Hauptkrümmungen

Hallo.

Ich hab eine Aufgabe (Bereich Differentialgeometrie), bei der ich an folgender Stelle hänge:

Ich konnte nachweisen, dass die Hauptkrümmungen $\begin{eqnarray*} \kappa_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \kappa_2 \end{eqnarray*}$ an jeder Stelle der Fläche gleich und echt größer Null sind.

Fläche:

$\begin{eqnarray*} f:\; U\to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ offene Teilmenge

In Formeln: $\begin{eqnarray*} 0<\kappa_1=\kappa_2 \end{eqnarray*}$

Sie müssen allerdings nicht konstant sein.

Kann ich nun dennoch folgern, dass die Fläche isomorph zur 3-dimensionalen Kugel sein muss?

18.08.2007, 15:20

mylittlehelper

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Hat keiner eine Idee oder ist mein Problem zu unverständlich formuliert?? Bitte um ein kurzes Feedback.

EDIT:

Oder liegts daran, dass es falsch eingeordnet ist. Sehe grad Differentialgeometrie gehört unter "Sonstiges".

18.08.2007, 19:23

Soliton

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Fehlt da nicht etwas, WIE sieht die Fläche aus?

18.08.2007, 21:50

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Soliton
Fehlt da nicht etwas, WIE sieht die Fläche aus?

Eigentlich kennt man nicht mehr, zur Vollständigkeit halber aber hier der komplette Aufgabentext.

Untersuchen Sie, für welche Flächen $\begin{eqnarray*} f:; U\to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eine offene Teilmenge ist, die folgende Gleichung zwischen der mitteleren Krümmung $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und der Gaußschen Krümmung $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. $\begin{eqnarray*} K(u)=H^2(u)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ .

Aus der Bedinung zw. $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ kann man dann die Beziehung zwischen den Hauptkrümmungen folgern.

18.08.2007, 23:30

Soliton

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Ok, das macht die Aufgabe klarer. Es hätte ja sein können, daß mehr bekannt ist über die Fläche. Aber Du hast recht, denke ich, daß dann, wenn die Hauptkrümmungen überall übereinstimmen und positiv sind, sie schon konstant sein müssen. Und es sich daher um die Oberfläche einer Kugel handelt. Das riecht doch nach einem Glattheitsargument. Vielleicht hilft ein Widerspruchsargument. Außerdem könnte man zuerst zeigen, daß jeder Punkt eine Umgebung hat, wo die Hauptkrümmungen kostant sind... das pflanzt sich dann von einer Umgebung zur anderen überallhin fort, solange keine Umgebung isoliert ist - das dürfte man (nochmals) über die Offenheit von U hinkriegen. Hoffe, das hilft.

EDIT: Wenn sich eine der beiden Hauptkrümmungen ändert - z. B. zunimmt -, dann muß die andere, deren Richtung orthogonal zur Richtung der einen ist, ebenfalls um den gleichen Betrag zunehmen, n. V. Dann müßte es aber (wegen der Orthogonalität?) irgendeine Richtung dazwischen geben, in der man schließlich auf unterschiedliche Hauptkrümmungen stößt, Widerspruch.

Ist nur eine Idee. Wahrscheinlich Müll. Vielleicht muß man sich mal ansehen, wie die Hauptkrümmungen berechnet werden, vielleicht läßt sich dann irgendein Glattheits- oder Zwischenwertargument an die projezierte Flächenfunktion (Karte?) anbringen.

Was wäre eigentlich, wenn die Hauptkrümmungen auch irgendwo beide 0 sein dürften? Vielleicht sieht man an dieser Situation auch etwas.

19.08.2007, 08:19

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Soliton
Was wäre eigentlich, wenn die Hauptkrümmungen auch irgendwo beide 0 sein dürften? Vielleicht sieht man an dieser Situation auch etwas.

Dann könnte die Fläche auch isomorph zur Ebene sein. Deine anderen Ideen werde ich nachher mal nachvollziehen.

19.08.2007, 15:01

Soliton

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Zitat:

Original von mylittlehelper

Zitat:

Original von Soliton
Was wäre eigentlich, wenn die Hauptkrümmungen auch irgendwo beide 0 sein dürften? Vielleicht sieht man an dieser Situation auch etwas.

Dann könnte die Fläche auch isomorph zur Ebene sein. Deine anderen Ideen werde ich nachher mal nachvollziehen.

Ja, ne, das war schon klar. Ich meinte nicht den trivialen Fall, daß sie überall = 0 sind, sondern den, daß sie es irgendwo sind und irgendwo nicht. Kann das überhaupt sein, wenn ja, wie sieht das vielleicht aus - und was ist ggf. der Unterschied zur Aufgabe. - Ich will das nicht wirklich wissen, war nur ein Gedanke, an einem unerlaubten Grenzfall mal zu sehen, was passieren kann, wenn's schiefgeht - und daraus zu erkennen, warum es im Fall der Aufgabe eben nicht schiefgehen kann.

Ich könnte mir vorstellen, daß die Orthogonalität der Hauptkrümmungen hilfreich ist.

Leider muß ich FA lernen, sonst würde ich mir mehr Gedanken machen.

19.08.2007, 16:53

Soliton

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So, habe nochmal etwas nachgedacht. Ich denke zum einen, daß die Fläche doch nicht eine Kugelfläche sein muß, sondern nur ein Teil davon. D. h. zu zeigen ist nur, daß die Krümmung überall konstant ist. Aber ok, mehr hättest Du eh nicht gemacht.

Ich denke, man muß da schon etwas mehr rechnen als nur mit Gaußscher und Mittelkrümmung, die Richtung der Vektoren usw. und die stetige Differenzierbarkeit muß eingehen.

Denn, wie meine Frage nach dem Fall, wo die Hauptkrümmungen zumindest an einer Stelle auch 0 sind, nahelegt, geht es sonst schief. Dann könnte die Fläche an einer Stelle plattgedrückt sein; das scheitert sicherlich nur an der Glattheit bzw. ausreichenden Diffrenzierbarkeit von f.

19.08.2007, 21:32

mylittlehelper

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Ich hatte heute leider wenig Zeit - muss auch andere Dinge lernen, Reformpädagogische Ansätze z.B. - hab mir aber nochmal deine Kommentare durchgelesen und vorallem darüber nachgedacht, was die Antwort sein könnte, die gewünscht ist. Da bin ich bei der Euler-Charakteristik und damit dem Satz von Gauß-Bonnet hängen geblieben.

Da $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen, entfällt der Rand und mit $\begin{eqnarray*} K=\kappa_1^2 \end{eqnarray*}$ vereinfacht sich der Satz zu:

$\begin{eqnarray*} \chi(f(U))= \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{f(u)}\kappa_1^2 dA \end{eqnarray*}$

Das Flächenelement $\begin{eqnarray*} dA \end{eqnarray*}$ erhalte ich ja aus der Wurzel aus der Determinante der ersten Fundamentalform, welche ich aber nicht kenne, da zu wenig über f bekannt ist, außer dass f differenzierbar ist und $\begin{eqnarray*} g_{ij} \end{eqnarray*}$ daher existieren muss.

Auch der "Rückweg" über die Weingartenabbildung scheint mir abwegig. Ich könnte zwar annehmen, dass diese Diagonalgestalt mit $\begin{eqnarray*} \kappa_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \kappa_2 \end{eqnarray*}$ als Hauptdiagonalenelementen hat, aber daraus kann ich auch nicht direkt auf die erste bzw. zweite Fundamentalform schließen.

Hat einer eine Idee, wie ich mit dem obigen Satz $\begin{eqnarray*} \chi(f(U))=2 \end{eqnarray*}$ zeigen oder gar widerlegen kann?

19.08.2007, 21:35

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Soliton

Ja, ne, das war schon klar. Ich meinte nicht den trivialen Fall, daß sie überall = 0 sind, sondern den, daß sie es irgendwo sind und irgendwo nicht. Kann das überhaupt sein, wenn ja, wie sieht das vielleicht aus - und was ist ggf. der Unterschied zur Aufgabe.

Wenn beide Hauptkrümmungen gleichzeitig Null sind, dann ist die Fläche lokal isomorph zur Ebene, d.h. es exisitiert eine Umgebung in der die Fläche flach ist.

20.08.2007, 06:56

Soliton

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Ja, das war auch klar. Siehe:

Zitat:

Original von Soliton
Denn, wie meine Frage nach dem Fall, wo die Hauptkrümmungen zumindest an einer Stelle auch 0 sind, nahelegt, geht es sonst schief. Dann könnte die Fläche an einer Stelle plattgedrückt sein; das scheitert sicherlich nur an der Glattheit bzw. ausreichenden Diffrenzierbarkeit von f.

Und jetzt geht's mir wie Fermat. Ich habe alldieweil getippt, weil ich beinahe eine Lösung habe (es fehlen nur zwei wohl banale Zwischenschritte), die in der Tat Weingarten verwendet - und nun ist alles gelöscht. böse

Vielleicht hol ich's nach. Ist es zeitkritisch?

20.08.2007, 10:08

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Soliton
Vielleicht hol ich's nach. Ist es zeitkritisch?

Stichtag 21.09. - bis dahin sollte ich es wissen smile

Eventuell kann ich mir ja die banalen Zwischenschritte selbst zusammenspinnen.

20.08.2007, 17:42

Soliton

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[doppelt, obsolet nach sofortiger Korrektur s. u.]

20.08.2007, 17:46

Soliton

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Zitat:

Original von Soliton
Na gut, dann versuchen wir es mal. Hoffentlich klappt es. - Einschub noch zu G.-B.: Geht der überaupt, wenn U unbeschränkt sein darf? Jedenfalls denke ich wirklich, daß die Sache dort zu tiefliegend ist. Wie ich in meiner ursprünglichen Idee (siehe erstes Posting) vermutet hatte, brauchen wir doch näheren Zugriff auf die differentialgeoemtrische Struktur - G.-B. konzentriert sich mehr auf die topologische Invariante: Uns interessiert ja zunächst nicht, ob die Gaußkrümmung nur im Mittel konstant bleibt unter topologischen Deformationen, sondern daß sie in M überall konstant ist. G.-B. geht also für das, was wir zunächst nur zeigen wollen, einen Umweg. Ist es nicht ein viel schwierigeres Problem zu zeigen, daß eine Kugel die Eulercharakteristik 2 hat - oder überhaupt jemandes Eulercharakteristik zu bestimmen? Es scheint mir. Naja, genug philosophiert. Versuchen wir es.

Meine ursprüngliche Idee war die - jetzt mal etwas konkreter:

1. k = k(x) (für x aus U), der gemeinsame Wert der beiden Hauptkrümmungen, ist in einer Umgebung von x konstant.

2. Daraus sieht man sofort (siehe ganz oben), daß k überall konstant ist.

- Gilt dies aber nur, wenn U auch zusammenhängend ist? Dies müßte ggf. vorausgesetzt werden, aber ich nehme an, das habt ihr grundsätzlich so.

Wie ist diese Idee nun umzusetzen?

Zwei Wege:

Mein Widerspruchsargument von ganz oben erinnert an einen Satz von Minkwitz aus der Optometrie: "Die beiden Hauptbrechwerte Dmax und Dmin ändern sich in Richtung senkrecht zur Nabellinie mit der gleichen Neigung, die die Nabellinie besitzt, nur dass der maximale Hauptbrechwert steigt, dagegen der minimale Hauptbrechwert fällt." (Such dieses Zitat mal über Suchmaschine, dann kommt ein krauser Artikel dazu.) Ist aber, glaube ich, nur ein physikalischer Satz. Ich kannte ihn jedenfalls bislang nicht.

Da unsere Fläche nur aus Nabellinien besteht, ergibt sich hieraus sofort ein Widerspruch, wenn man annimmt, daß k sich einheitlich ändern könne.

Näher an dem Vorlesungsstoff dürfte aber der Weingarten liegen. Damit versuche ich es.

Also (das sind jetzt mal Fragen für Dich):

- Wie sieht k(x) aus? Das kann aus dem Weingarten genommen werden. Dabei vereinfacht sich die Sache, wenn man OE eine bequeme Parametrisierung unterstellt (welche macht Weingarten einfach?)? Wenn Dir keine einfache (Um-)Parametrisierung einfällt (vielleicht ist mein Gedanke auch falsch), geht es auch ohne. Geschrieben in Fundamentalgrößen:

Ergebnis (ich lasse mal das "x" weg; alle Terme stellen aber Funktionen von x dar, die - zumindest in einer Umgebung von x - welche Eigenschaft haben?):

k = L/E = M/F = N/G, ggf. entfällt bei geeigneter Parametrisierung der mittlere Term; E und G sind - weshalb? - ungleich Null.

Wie beschreiben wir dann am leichtesten, daß ein k = k(x) konstant (also eben doch nicht k(x) ist?

... Fortsetzung folgt.

21.08.2007, 09:30

mylittlehelper

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Also vielen Dank Soliton, das Problem ist gelöst. Der springende Punkt waren die Nabelpunkte.

Die Überlegung und diese Definition in einer Aufgabe (Link - Aufgabe 33) ließ mich wieder zurück erinnern.

Ein Nabelpunkt $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ liegt dort vor, wo die Hauptkrümmungen übereinstimmen, also die Weingartenabbildung die Gestalt $\begin{eqnarray*} L_{u_0}=\lambda\cdot id \end{eqnarray*}$ hat. Unser $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ besteht nur aus Nabelpunkten, heißt also Nabelpunktfläche.

Dann kann man zeigen, dass das Bild $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ in einer Kugel oder einer Ebene liegt. Das muss ich aber nicht zeigen, weil wir es in der Vorlesung bewiesen haben.

Ich kann mich im Moment nicht an den Beweis erinnern. Falls es dich brennend interessiert such ich ihn aber gerne raus.

Was wir schon gezeigt haben $\begin{eqnarray*} \kappa_{1,2}>0 \end{eqnarray*}$ und damit muss $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ - wie vermutet - lokal isometrisch zur Kugel (dreidimensionale Einheitssphäre) sein.

22.08.2007, 00:35

Soliton

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Das freut mich, auch wenn meine Rechnerei nu nutzlos ist. Aber ich habe ja auch etwas dabei gelernt. smile

Zitat:

Original von mylittlehelperUnser $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ besteht nur aus Nabelpunkten, heißt also Nabelpunktfläche.

Ja, klar.

Zitat:

Original von mylittlehelperDann kann man zeigen, dass das Bild $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ in einer Kugel oder einer Ebene liegt.

Darum ging's.

Zitat:

Original von mylittlehelper Das muss ich aber nicht zeigen, weil wir es in der Vorlesung bewiesen haben.

Was war denn dann zu zeigen - diese zweizeilige algebraische Umformung??? Meine Güte. Übrigens müssen die Hauptkrümmungen hier nicht notwendig beide positiv sein, sie können auch negativ sein. Dann mißt man den Radius eben in die andere Richtung.

Zitat:

Original von mylittlehelper Ich kann mich im Moment nicht an den Beweis erinnern. Falls es dich brennend interessiert such ich ihn aber gerne raus.

Im Moment hoffe ich zwar noch, daß meiner auch richtig ist, aber angesichts der kleinen Lücken - bei Gelegenheit, wenn es Dir nicht zuviel Aufwand macht.

24.08.2007, 10:15

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Soliton
LOL Hammer

Was war denn dann zu zeigen - diese zweizeilige algebraische Umformung??? Meine Güte.

Lach nicht, für (angehende) Lehrer ist auch das schon schwer Augenzwinkern

24.08.2007, 10:26

mylittlehelper

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Satz

Eine Fläche $\begin{eqnarray*} f:\; U\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , die nur aus Nabelpunkten besteht (totally umbillic) ist entweder ein Teil einer Ebene oder einer runden Sphäre.

Beweis

$\begin{eqnarray*} L_u = -df_u^{-1}\circ dn_u = \kappa \cdot id \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} dn_u=-\kappa \cdot df_u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \; \frac{\partial n_u}{\partial u_1}=-\kappa\cdot \frac{\partial f}{\partial u_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial n_u}{\partial u_2}=-\kappa\cdot \frac{\partial f}{\partial u_2} \end{eqnarray*}$

Damit (Produktregel)

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 n_u}{\partial u_1 \partial u_2} = -\frac{\partial}{\partial u_2} \left(\kappa\cdot \frac{\partial f}{\partial u_1}\right)=-\frac{\partial \kappa}{\partial u_2}\cdot \frac{\partial f}{\partial u_1}-\kappa \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial u_1 \partial u_2} \end{eqnarray*}$

Andererseits (Beachte Satz von Schwartz)

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 n_u}{\partial u_1 \partial u_2} = -\frac{\partial}{\partial u_1} \left(\kappa\cdot \frac{\partial f}{\partial u_2}\right)=-\frac{\partial \kappa}{\partial u_1}\cdot \frac{\partial f}{\partial u_2}-\kappa \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial u_1 \partial u_2} \end{eqnarray*}$

Somit

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \kappa}{\partial u_2}\cdot\frac{\partial f}{\partial u_1}-\frac{\partial \kappa}{\partial u_1}\cdot\frac{\partial f}{\partial u_2}=0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial u_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial u_2} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, gilt folglich

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \kappa}{\partial u_1}=\frac{\partial \kappa}{\partial u_2}=0 \end{eqnarray*}$

Demnach ist $\begin{eqnarray*} \kappa\equiv const \end{eqnarray*}$ .

1) $\begin{eqnarray*} \kappa=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dn_u=0\Rightarrow n\equiv const \end{eqnarray*}$

Also liegt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in der Ebene durch $\begin{eqnarray*} f(u_0) \end{eqnarray*}$ mit Normalenvektor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} \kappa\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d\left(\frac{1}{\kappa}\cdot n+f \right)=0 \end{eqnarray*}$ (vgl. erste Gleichung oben)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\kappa}\cdot n+f=:x_0 \equiv const \end{eqnarray*}$

Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} || f(U)-x_0||^2=\frac{1}{\kappa^2}>0 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ Teil der runden Sphäre mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\kappa |} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

24.08.2007, 10:44

mylittlehelper

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Fest steht nun, dass ich das Wort \partial fehlerfrei schreiben kann Augenzwinkern

. Ich hoffe es bestätigt dich in deinen Überlegungen.

24.08.2007, 18:51

Soliton

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Ahja, danke.

Also im Prinzip habe ich es ähnlich gemacht, nicht ganz so kompakt und etwas umständlicher, aber letztlich entlang des gleichen Gedankens. Bis zu der Stelle, wo k als konstant erwiesen ist. Den Rest habe ich nicht gemacht, weil das ja nicht mehr wichtig war (weil klar ist, daß eine Fläche, die überall gleiche Hauptkrümmungen, also Krümmungen, und damit überall gleiche Krümmungsradien hat, ein Kreisteil sein muß, wenn die Krümmung nicht ausnahmsweise 0 ist).

Meine Probleme lagen an drei Stellen:

1. Ich brauchte explizit, daß die partiellen Ableitung der Normalen in der Tangentialebene liegen. Ich wußte nicht mehr, wie man das sieht. Dank Dir ist es klar.

2. Ich brauchte, daß f dreimal partiell differenzierbar ist. Deine Lösung kommt mit zweimal aus. Vermutlich liegt das daran, daß ich einen Umweg gegangen bin, irgendwo einmal mehr differenziert und dafür einmal integriert habe.

3. Ich brauchte, daß die Normale zweimal stetig partiell differenzierbar ist. Und ich wußte nicht einmal, warum sie einmal differenzierbar ist.

Das brauchst Du übrigens auch:

Zitat:

Andererseits (Beachte Satz von Schwartz)

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 n_u}{\partial u_1 \partial u_2} = -\frac{\partial}{\partial u_1} \left(\kappa\cdot \frac{\partial f}{\partial u_2}\right)=-\frac{\partial \kappa}{\partial u_1}\cdot \frac{\partial f}{\partial u_2}-\kappa \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial u_1 \partial u_2} \end{eqnarray*}$

Hattet ihr das an anderr Stelle - oder wie sieht man, daß die Normale (n_u) zweimal stetig differenzierbar ist?

Danke jedenfalls für die Mühe des Eintippens. smile

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