Elliptische Kurven...

17.08.2007, 21:37

homburger

Elliptische Kurven...

Hallo.

Ich bin auf folgendes Problem gestoßen:

Für welche $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+m=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} \end{eqnarray*}$

Es gilt z.B. für $\begin{eqnarray*} m=10, n=5 \end{eqnarray*}$ .

Im Prinzip wundert es mich, dass ich nicht schon davon gehört habe, da ich die Problematik nicht für sooo abwegig halte. Aber ich hab im Internet sehr wenig gefunden. Das Stichwort "elliptische Kurven" wird damit zu tun haben.

Es liegt wohl nahe, die beiden reihen zu schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}m(m+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Wenn man das ausmultipliziert erhält man sowas wie eine elliptische Kurve. Aber wie kann ich dem Problem dadurch näher kommen?

Weis jemand, wo ich was darüber finden kann? Gibt es unendlich viele Lösungen?

Gruß, Homburger

17.08.2007, 21:48

Tobias

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Wo siehst du eine elliptische Kurve?

17.08.2007, 22:09

WebFritzi

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Lös mal nach m auf. Da sieht man schon ein bisschen was.

19.08.2007, 11:36

homburger

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nach n auflösen? hum.... ich sehe dadurch keine lösung.

mein computer hat mir bis zu 2.000.000.000 nur 4 Zahlen gufunden:

$\begin{eqnarray*} n=m=1 \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=5, m=10 \Rightarrow 55 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=6, m=13 \Rightarrow 91 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=85, m=645 \Rightarrow 208.335 \end{eqnarray*}$

scheint nicht sehr häufig vorzukommen....

Homburger

19.08.2007, 17:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von homburger
nach n auflösen?

Wenn dir schon jemand antwortet, solltest du seine Antwort auch genau lesen.

19.08.2007, 18:19

homburger

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ei.... m, n. nach beiden hab ichs aufgelöst....

aber inwiefern bringt mich das weiter?

26.08.2007, 18:01

KnightMove

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RE: Elliptische Kurven...
$\begin{eqnarray*} n = f(m) = \biggl(\sqrt{\frac{m*(m+1)*(2m+1)}{3}+\frac{1}{4}} \quad\biggr)-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt vermag ich daraus auch noch nichts abzulesen, wie man ganzzahlige Lösungen finden kann. Der Ausdruck unter der Wurzel ohne das Viertel muss gleich r*(r+1) sein - aber inwieweit hilft das weiter?

26.08.2007, 23:01

ich bin smile

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Hieraus die Antwort zu bekommen ist nicht sehr schwer im Gedankengang, man muss aber viel rechnen...

Fangen wir mal klein an, undzwar mit der Wurzel...

Der Ausdruck unter der Wurzel muss eine Quadratzahl, sagen wir t².
Wenn du dann die Gleichung (unter der Wurzel)=t² jetzt nach m auflöst, kriegst du noch Gleichung.
Wenn du mit der die selbe Prozedur (bla unter der Wurzel=d²) weiter auflöst, solltest du meines Wissens nach irgendwann in dieser Gleichungskette auf einen einfachen, diophantischen, linearen Ausdruck stoßen, der sich von selbst auflöst.
Wenn du dann die ganzen Substitutionen rückgängig machst, solltest du auf die Lösungen stoßen.

Wie gesagt, ich weiß das nicht genau, aber ich meine es so gelesen zu haben.

Da bei elliptischen Gleichungen die Lösungsmenge manchmal endlich ist, zeichnet es sich bei der Prozedur mit einer Schleife aus.

Hoffentlich irre ich mich nicht ^^.

mfg smile

27.08.2007, 23:15

Tomtomtomtom

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Es gibt einen allgemeinen Satz über Elliptische Kurven (Satz von Siegel), der dir für die vorliegende Gleichung garantiert, daß nur endlich viele Lösungen vorkommen können. Diese allerdings alle zu bestimmen, ist mir nicht gelungen. Die Methode meines Vorposters kann ich auch nicht nachvollziehen. Aber wenigstens deine letzte Frage läßt sich so beantworten: unendlich viele Lösungen kann es nicht geben.

Grade bei diophantischen Gleichungen gilt: Schöne Aufgaben erfinden ist eine Sache, aber dabei eine Aufgabe zu erwischen, die mit elementaren Methoden lösbar ist, ist eher Glückssache.

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