Parameterdarstellungen bei einer Pyramide + Zusatzaufgabe

17.08.2007, 23:24

miwo

Parameterdarstellungen bei einer Pyramide + Zusatzaufgabe

Unser Lehrer hat uns heute eine Hausaufgabe aufgegeben, die mir ein bisschen schwierig erscheint bzw. ist sie so leicht, dass sie wieder schwer ist! verwirrt

Also:

Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.
A (2|-1|0) ; B (-2|-2|0) ; C (-1|4|0) ; D (0|0|5)

a) Gib je eine Parameterdarstellung der Kantengeraden an.
b) Gib je eine Parameterdarstellung der Seitenhalbierenden der Seitenflächendreiecke der Pyramide an, die durch D verlaufen.

zu a)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach diesem Prinzip muss ich jetzt doch auch die Parameterdarstelunngen der Geraden zwischen den Punkten BC, CA, AD, BD und CD angeben?

zu b)

Ich nehme als Beispiel nur die Seitenfläche ABD. Als Formel habe ich folgendes aufgebaut:

$\begin{eqnarray*} s = \frac{\sqrt{2 \cdot (BD^2+DA^2)-AB^2}}{2} \end{eqnarray*}$

Die Parameterdarstellung für AB haben wir schon, es fehlen nur noch BD und DA:

BD

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bemerke grade, dass ich auf dem Holzweg bin. Ich kann doch nicht im nachhinein die beiden Parameterdarstellungen addieren. Irgendwo habe ich einen Fehler begangen. Ich sitze hier, aber begreife leider nicht wo ich ihn gemacht habe? Ich bin mal wieder an einen Denkanstoß von eure Seite angewiesen...

Zusatzaufgabe:

Eine Gerade g sei durch eine Parameterdarstellung gegeben. P sei ein Punkt, der nicht auf g liegt. Die Gerade g werde am Punkt P gespiegelt. Bestimme eine Parameterdarstellung der gespiegelten Geraden g'. Wie liegen g und g' zueinander?

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} ; P (2|1|0) \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst den Punkt A am Punkt P gespiegelt und ihn A' genannt. Darüberhinaus habe ich auf der Geraden g einen Punkt namens B eingetragen, diesen ebenfalls an P gespiegelt und ihn B' genannt.

Um nun A' auszurechnen, habe ich mir folgende Gleichung aufgestellt:

Wir haben den Anfangspunkt O:

$\begin{eqnarray*} OA' = OA + AA' = \vec{a} + 2 \cdot AP \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AP = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da bin ich auch mit meinem Latein am Ende. Ich habe die Skizze vor mir liegen, aber irgendwie komme ich nicht drauf, wie ich jetzt B' ausrechnen könnte.

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Danke! Wink

18.08.2007, 01:08

aRo

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hallo!

zu a)

das machst du richtig so, auch wenn du in deiner Geraden einen Tippfehler bei einem Vorzeichen hast.

zu b)
da gehst du leider falsch ran. Du weißt sicher, dass eine Seitenhalbierende eine Strecke ist, die eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Die Ecke wäre also in diesem Fall "D". Schauen wir uns das Dreieck ACD einmal an, brauchen wir also nur noch den Mittelpunkt der Strecke AC. Weißt du, wie du diesem bestimmen kannst?

für die Zusatzaufgabe reicht meine Zeit nun leider nicht mehr!
Gute Nacht! Augenzwinkern

aRo

18.08.2007, 01:23

tigerbine

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RE: Parameterdarstellungen bei einer Pyramide + Zusatzaufgabe

Zitat:

Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.
A (2|-1|0) ; B (-2|-2|0) ; C (-1|4|0) ; D (0|0|5)

a) Gib je eine Parameterdarstellung der Kantengeraden an.
b) Gib je eine Parameterdarstellung der Seitenhalbierenden der Seitenflächendreiecke der Pyramide an, die durch D verlaufen.

Bilderklau...

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Symmetries_of_the_tetrahedron.svg/270px-Symmetries_of_the_tetrahedron.svg.png

Man hat also wie viele Kanten? _____

Die Geradengleichung der Kante AB sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}:~\overrightarrow{OA} +\lambda \cdot \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}:~\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix}-4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur b).

Im oberen Bild kann man die rechte Pyramide mit der grünen Schnittfläche als Anschauung missbrauchen Augenzwinkern

Eine Möglichkeit den Mittelpunkt, aRo nahm als Beispiel AC zu bestimmen , findest du, indem Du dich fragst, wie weit musst du von A in Richtung C laufen um zum Mittelpunkt der Strecke zu kommen? Nur halb so weit wie wenn Du nach C laufen würdest Augenzwinkern

Bekommst du dass alleine mit Vektoren hin?

Zusatzaufgabe

Bilderklau...

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Punktspiegelung.png/300px-Punktspiegelung.png

Deine Gerade ist gegeben durch Aufpunkt und Richtungsvektor. Also spiegle zuerst A an P. Das sieht doch gut aus

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OA}+2 \cdot \overrightarrow{AP} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du doch einfach noch einen Punkt auf der Geraden wählen, in mit dem gleichen Prinzip spiegeln. Wähle doch Z.B.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Skizze gibt Dir auch schon einen Hinweis, welche Eigenschaft von g und g' du finden sollst. Dazu müßte Dir dann der Begriff "linear abhängige Vektoren" etwas sagen.

Nighty
Schläfer

18.08.2007, 01:23

cst

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RE: Parameterdarstellungen bei einer Pyramide + Zusatzaufgabe
Zusatzaufgabe:

Die Spiegelung von A ist auch im Prinzip richtig so, auch mit einem Vorzeichenfehler. In die Geradengleichung setzt du jetzt für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ irgendeine Zahl außer Null ein (z.B. 1) und erhältst Punkt B. Den spiegelst du auch an P (--> B') und musst dann nur noch die Gleichung der Geraden durch A' und B' aufstellen.

cst

18.08.2007, 13:18

riwe

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RE: Parameterdarstellungen bei einer Pyramide + Zusatzaufgabe
der einfachste weg ist der, 2 punkte der geraden an P zu spiegeln.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA^\prime}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AP} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA^\prime}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \to A^\prime(1/1/2) \end{eqnarray*}$

dasselbe machst du mit dem punkt $\begin{eqnarray*} B(4/-1/-1) \end{eqnarray*}$

und wenn alles stimmt, sollten die beiden geraden parallel sein unglücklich

19.08.2007, 13:08

miwo

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Riesengroßes Danke für die nette Hilfe. Ich habe bei der Zusatzaufgabe für den Richtungsvektor von A'B' $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus. Damit ist der Richtungsvektor der Geraden g' ein Vielfaches von g und somit sind die Geraden parallel.

Die Aufgabe a) habe ich zu Ende gerechnet. Bei der b) bin ich bei dem Dreieck ABD. Ich benötige den Mittelpunkt der Geraden AB und damit kann ich dann mithilfe vom Punkt D die Parameterdarstellung angeben.

Für AB habe ich die Parameterdarstellung schon aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ich den Mittelpunkt benötige, also die Hälfte der Geraden, soll ich für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 1/2 einsetzen? Und dann den zugehörigen Wert ausrechnen?

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -0,5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1,5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre dies richtig?

19.08.2007, 14:42

riwe

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b) bis auf die "hälfte der geraden" Big Laugh

und es geht einfacher:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}_{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\to M_{AB}(0/-1.5/0) \end{eqnarray*}$

19.08.2007, 15:40

miwo

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Danke an euch alle für die Hilfe. Ich habt mir wirklich alles sehr bildhaft und genau erklärt! So eine nette und hilfreiche Community sieht man nicht alle Tage! Wink

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