Wahrscheinlichkeits aufgabe:

18.08.2007, 17:36

maths

Wahrscheinlichkeits aufgabe:

Hallo, habe diese aufgebe in keinem anderen thread gefunden, ist aber sehr wichtig, dass ich die gelöst bekomme:

An einem Kongress nehmen Teilnehmer aus verschiedenen Ländern teil. 85% sprechen Englisch, 32% Französisch und 23% Russisch. Ein Teilnehmer wird zufällig angesprochen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens bzw. höchstens
a)Englisch und Russisch
b) Englisch und Franz.
c) Englisch, Franz. und russisch
- spricht

Wie geht man da am besten vor. Kann mir jemand vll zu a.) eine beispiel lösung posten und ich mache die anderen?
Das Problem ist, ich kann nicht sehr oft ins internet, nur noch 1-2 mal am wochenende, daher wäre ich für eine Lösung einer Teilaufgabe sehr dankbar.

18.08.2007, 18:04

tigerbine

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RE: Wahrscheinlichkeits aufgabe:

Zitat:

Das Problem ist, ich kann nicht sehr oft ins internet, nur noch 1-2 mal am wochenende, daher wäre ich für eine Lösung einer Teilaufgabe sehr dankbar.

Leider kein Argument dafür, dass Dir hier jemand die Aufgabe löst. Und das Du genau diese Aufgabe in der Suche findest, ist wohl auch eher unwahrscheinlich Augenzwinkern

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} P(E) = 0.82,~P(F) = 0.32,~P(R) = 0.23 \end{eqnarray*}$

Die interessanten Begriffe sind hier nun "mindestens" und "höchstens". Wie kann man damit die gesuchten Personen noch anders beschreiben?

18.08.2007, 18:12

maths

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Ich würde bei höchstens alle gesuchen personen zusammenrechnen sprich P(E)+P(F)
aber ich denke das ist falsch.

Zu dem problem mit dem internet habe ich einen freund beauftragt, der mich anruft sobald etwas neues steht und der sagt mir dann bescheid.

18.08.2007, 18:15

tigerbine

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Ja, das ist falsch. Hättest du dir denken können.

Was sagen dir die Begriffe Ereignis und Gegenereignis?

18.08.2007, 18:20

maths

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in bezug zu ereignis bringe ich das laplace experiment
(alle günstigen Ereigbnisse) / (alle mögl. Ereignisse)

hilft das hier weiter?

18.08.2007, 18:35

tigerbine

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Rückfrage:

Ist die Aufgabenstellung so komplett, oder gibt es noch mehr Informationen?

Wir dürfen nun einmal davon ausgehen, dass jede Person mindestens einer der 3 Sprachen mächtig ist. In folgendem Venn-Diagramm ist also die Menge außerhalb der Kreise leer.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Venn_diagram_cmyk.svg/400px-Venn_diagram_cmyk.svg.png

Wir wissen nur, wie viele Personen im gelben, rosanen und blauen Kreis sind. Die Schnittmengen kennen wir nicht. nun versuch die Aufgabe mal so zu übersetzen, welche Bereiche im Diagramm gesucht sind.

18.08.2007, 19:23

maths

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gesucht sind der rote, der grüne und schwarze bereich.
bei aufgabe a) wäre gesucht bereich Englisch und russisch, wenn Englisch (A) und russisch (B) in dem diagramm ist

18.08.2007, 19:50

maths

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Wenn ich wissen will, wer englisch und russisch spricht, muss ich dann das produkt der beiden bliden, also
0,85 * 0,32= 0,1955

Das hieße, die wahrscheinlichkeit beträgt 19,5 % ?

18.08.2007, 21:00

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Zitat:

Original von maths
Wenn ich wissen will, wer englisch und russisch spricht, muss ich dann das produkt der beiden bliden, also
0,85 * 0,32= 0,1955

Dieser Kardinalfehler wird leider immer wieder begangen: Um so rechnen zu können, benötigst du die Unabhängigkeit der beiden fraglichen Ereignisse - von der hier aber keine Rede sein kann. unglücklich

Zu Minimum/Maximum-Abschätzungen der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts zweier beliebigiger (auch abhängiger) Ereignisse siehe hier.

19.08.2007, 14:08

maths

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muss ich das dann so rechnen:
p(max)= 85%+32% - (100%-23%)=40%
p(min)=85%+32%-100%=17%

wenn man Engl mit Franz. ; Engl. mit russ. ; und Franz mit russ. berechnet bekommt man bei allen maximalwerten 40% raus, ist das richtig?
und bei den minimal Werten bei E+F 17% ; E+R 8%.
Bei F+R bekomme ich -25 raus, aber das kann ja nicht sein. Ist denn der Rechenschritt falsch ? Wenn ja bitte ich wirklich, dass jemand mir das bei einer vormachen kann, weil ich weiß echt nicht weiter im moment.
Dankeschön

19.08.2007, 16:46

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Keine Ahnung, wie du auf diese Ergebnisse kommst, jedenfalls nicht durch Anwendung der von mir verlinkten Formel...

Mit $\begin{eqnarray*} P(E) = 0.82,~P(F) = 0.32,~P(R) = 0.23 \end{eqnarray*}$ folgt mit diesen Formeln jedenfalls

$\begin{eqnarray*} \min P(E\cap R) = \max\{P(E)+P(R)-1,0\} = \max\{0.82+0.23-1,0\} = \max\{0.05,0\} = 0.05 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \max P(E\cap R) = \min\{P(E),P(R)\} = \min\{0.82,0.23\} = 0.23 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \min P(E\cap F) = \max\{P(E)+P(F)-1,0\} = \max\{0.82+0.32-1,0\} = \max\{0.14,0\} = 0.14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \max P(E\cap F) = \min\{P(E),P(F)\} = \min\{0.82,0.32\} = 0.32 \end{eqnarray*}$

Beim Durchschnitt dreier Ereignisse kann man dann mehrstufig vorgehen...

19.08.2007, 16:58

maths

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also sehe ich das richtig, dass bei E + F die Wahrscheinlichkeit bei
min: 23%
max: 82%

ist?

19.08.2007, 17:06

maths

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okay habe es verstanden, wie sähe das bei F+R aus, da bekomme ich ein neg. ergebnis

danke!

19.08.2007, 17:21

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Zitat:

Original von maths
wie sähe das bei F+R aus, da bekomme ich ein neg. ergebnis

Nein, wieso? Es ist

$\begin{eqnarray*} \min P(F\cap R) = \max\{P(F)+P(R)-1,0\} = \max\{0.32+0.23-1,0\} = \max\{-0.45,0\} = 0 \end{eqnarray*}$

19.08.2007, 17:28

maths

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Das hieße, dass diese Kombination nicht auftritt?

oder warum stehen immer 2 mögl. lösungen also z.b. -0,45 und 0 ?

19.08.2007, 17:54

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Dort steht $\begin{eqnarray*} \min P(F\cap R) = 0 \end{eqnarray*}$ , und ähnlich wie oben ermittelt man

$\begin{eqnarray*} \max P(F\cap R) = 0.23 \end{eqnarray*}$ .

Also bewegt sich der mögliche Rahmen der Durchschnittswahrscheinlichkeit zwischen 0 und 0.23, d.h.

$\begin{eqnarray*} 0 \leq P(F\cap R) \leq 0.23 \end{eqnarray*}$

Die -0.45 sind ohne Belang und fallen bei der Berechnungsvorschrift max{...} weg. Aber wie's aussieht, hast du gerade diesen Part völlig missverstanden!

19.08.2007, 18:00

maths

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Nein, das weiß ich. Nur meine Frage ist, warum man bei den max. bzw min werten schreibt:

[0,05 , 0] oder [0,14 , 0]

Vll weil 0 der teifste mögliche Minimumwert ist?

20.08.2007, 00:02

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Du hast das wohl immer noch nicht verstanden, trotz gegensätzlicher Beteuerung. Also mal die Formel von vorn erklärt: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) \end{eqnarray*}$

Nun kann man rechts wegen $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\leq 1 \end{eqnarray*}$ (trivial, denn es ist ja eine Wahrscheinlichkeit!) abschätzen:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) \geq P(A)+P(B)-1\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt rechts was Negatives steht (so wie im Fall $\begin{eqnarray*} P(F)+P(R)-1 \end{eqnarray*}$ ), dann ist diese Abschätzung (*) ziemlich wertlos, denn Wahrscheinlichkeiten sind ja sowieso nichtnegativ - genauer gesagt liegen sie immer im Intervall [0,1], da bringt also eine Abschätzung "größer als eine negative Zahl" nichts. Also "kappt" man diese untere Grenze $\begin{eqnarray*} P(A)+P(B)-1 \end{eqnarray*}$ zusätzlich am Wert 0. Oder noch anders formuliert: Die beiden geltenden Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \geq P(A)+P(B)-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \geq 0 \end{eqnarray*}$

lassen sich zu der einen Ungleichung

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \geq \max\{ P(A)+P(B)-1,\; 0 \} \end{eqnarray*}$

zusammenfassen. Tatsächlich ist es nun so, dass dieser Wert bei bloßer Vorgabe von $\begin{eqnarray*} P(A),P(B) \end{eqnarray*}$ und ansonsten "freier" Wahl von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ auch erreicht werden kann:

Im Fall $\begin{eqnarray*} P(A)+P(B)\leq 1 \end{eqnarray*}$ einfach durch Wahl disjunkter $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ , also "leerer" Schnittmenge in tigerbines Venn-Diagramm - und im Fall $\begin{eqnarray*} P(A)+P(B)>1 \end{eqnarray*}$ durch disjunkte Komplemente $\begin{eqnarray*} A^c,B^c \end{eqnarray*}$ , was gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

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