Tüftellaufgabe für 9 Klasse

19.08.2007, 11:53

Franzimann

Tüftellaufgabe für 9 Klasse

Könntet ihr mir bei dieser aufgabe helfen???

Sei p/q ein gekürtzter Bruch, der in dezimaler schreibweise einen periodischen Dezimalbruc ergibt. Aus wie vielen Ziffern kann die periode höchstens bestehen?
Überlege dazu, welche Reste bei der Division P:Q auftreten können. Nach wie vielen Resten muss ich spätestens ein Rest wiederholt auftrete.

Ich versthe hier nich viel fast nichts bitte um hilfe und antwort thx schonmal vorerst. Sry wenn es im falschen forum ist bin neu hier.

19.08.2007, 11:58

Lazarus

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Du weisst was ein Divisionsrest ist ? (So wie schriftliche Division in der 4ten Klasse).

Das geht natürlich auch genauso hinterm Komma.

Versuch am besten als erstes das ganze mal an einigen Beispielen auszuprobieren, evtl. kommst du ja dann auf den Trichter.

Rechne doch hier mal z.b. den Fall $\begin{eqnarray*} \frac{4}{7} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ vor.

19.08.2007, 12:09

Franzimann

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Schnalle ich nicht
JAnnste mir das bitte vielleicht noch näher und besser erklären verstehe ich nicht, ich habe das gerechnet die beispiele und finde da nichts besonderes

19.08.2007, 12:15

Airblader

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Dann zeig doch erstmal was und wie du es gemacht hast smile

air

19.08.2007, 12:19

Franzimann

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Sachen die ich gemacht habe:
ALso 4/7= 4:7 = 0,571428571 x 10= 5.714285714

5/9= 5:9= 0.555555555 x 10= 5.555555556

Verstehe die regel nich verstehe eig keinen zusammenhang

19.08.2007, 12:50

therisen

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Hallo,

untersuche lieber mal das Beispiel 4/7 genauer - der Dezimalbruch hat nämlich die längste Periode, die für ihn möglich ist.

Noch ein paar Hinweise: Der Rest ist stets kleiner als der Divisor. Die Periode gibt an, nach wie vielen Divisionen ein Rest das zweite Mal auftaucht.

Gruß, therisen

19.08.2007, 13:40

Lazarus

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Leider ist das in allererster Linie mal falsch, zumindest so wies darsteht. Wie du da auf die 10* und dann das 5, kommst weiss ich nicht.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18:	4 : 7 = 0,571428... -0 40 -35 50 49 10 7 30 28 20 14 60 56 4 ...

Hier würden sie sich wiederholen.

Bleiben wir mal bei dem Beispiel, eher wir uns dem anderen Zuwenden, und betrachten genauer wie diese Reste entstehen. Zuerst stellen wir eine Tabelle auf, der übersicht halber.

4 : 7 = 0 Rest 4
40 : 7 = 5 Rest 5
50 : 7 = 7 Rest 1
10 : 7 = 1 Rest 3
30 : 7 = 4 Rest 2
20 : 7 = 2 Rest 6
60 : 7 = 8 Rest 4

Die 4 und die 40 (aus 4*10) ist klar und daher langweilig, doch jetzt wirds interessanter! Denn $\begin{eqnarray*} 40-35=10 \cdot 4-5\cdot 7=5 \end{eqnarray*}$ (1)

Und alles was wir nun weiter machen müssen ist immer den Ergebnissest mit 10 zu multiplizieren, und den Rest zu zählen.

Also hier die 5: $\begin{eqnarray*} 50 - 49= 10 \cdot 5 - 7\cdot 7 = 1 \end{eqnarray*}$ (2), dann $\begin{eqnarray*} 10- 7 = 10\cdot 1 - 1\cdot 7=3 \end{eqnarray*}$ (3) und noch ein letztes Beispiel: $\begin{eqnarray*} 30-28 = 10\cdot 3 - 4 \cdot 7 = 2 \end{eqnarray*}$ (4) usw.

Wir können das nun auch alles zusammenfügen, und dann wirst du gewiss verstehen warum dieses umschreiben sinnvoll war.

In (2) entsteht die 1 aus 50-49 und die 50 kennen wir ja aus (1).
Setzten wir das zusammen steht da:

$\begin{eqnarray*} 50-49 = 5\cdot 10 - 7 \cdot 7 = \left(10\cdot 4 -5 \cdot 7 \right) \cdot 10 - 7 \cdot 7 = 4 \cdot 100 - 57 \cdot 7= 400-399= 1 \end{eqnarray*}$ (5)

Das machen wir nochmal in (3), allerdings setzten wir auch gleich Gleichung (5) ein:

$\begin{eqnarray*} 10-7 = 1 \cdot 10 - 1\cdot 7 = \left(4 \cdot 100 - 57 \cdot 7 \right) \cdot 10 - 1 \cdot 7=4 \cdot 1000 - 571 \cdot 7 = 4000-3997=3 \end{eqnarray*}$

Wichtig ist eigentlich nur, wann die Zahl $\begin{eqnarray*} 4 \cdot 10^m : 7 \end{eqnarray*}$ wieder den Anfangsrest $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ lässt, oder eben gekürzt, wann $\begin{eqnarray*} 10^m : 7 \end{eqnarray*}$ den Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ lässt.
Diese Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gibt die Periodenlänge an.
Du kannst also nun einfach durchprobieren:

$\begin{eqnarray*} 10:7&=&10^1:7 \\100:7 &=& 10 ^2 : 7 \\ 1000:7 &=& 10 ^3 : 7 \\ 10000:7 &=& 10 ^4 :7 \\&\vdots& \end{eqnarray*}$

Probier das mal für einige andere Beispiele (z.b. 5/9 oder von miraus auch 1/23 <- Achtung lang Augenzwinkern

)

Bei 5/9 gilt das gleiche wie für 4/7 : Entweder du suchst bei 5*10^m nach dem rest 5 oder bei 10^m nach dem Rest 1. Das ändert nichts.

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