Zeilenraum

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20.08.2007, 18:12	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilenraum Hallihallo Ich stehe gerade bei der Wiederholung der Linearen Algebra I ein wenig auf dem Schlauch ... Und zwar ist mir nicht ganz klar, warum $\begin{eqnarray} \mbox{Zeilenraum von }A=\mbox{Zeilenraum von }SA, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{wobei }A\in K^{m\times n}, S\in GL_{m}(K):=\{M\in K^{m\times m}: M\mbox{ invertierbar}\}. \end{eqnarray}$ Kann mir jemand kurz vielleicht den Beweis vorführen? Wäre echt super ... Würde das ganz gerne verstehen ...
20.08.2007, 18:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilenraum Definiere: Zeilenraum?
20.08.2007, 18:16	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, Zeilenraum einer Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist natürlich nichts anderes als $\begin{eqnarray} \mbox{Zeilenraum von }A=<z_1,...,z_m>, \end{eqnarray}$ wobei die Keilklammern das Erzeugnis der Zeilen meinen ...
20.08.2007, 18:19	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist $\begin{eqnarray} z_{i}:=(a_{i1},...,a_{in}),1\le i\le m. \end{eqnarray}$
20.08.2007, 18:54	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß niemand weiter?
20.08.2007, 19:06	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Güte ... der Thread ist grad mal eine Stunde alt!
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20.08.2007, 19:08	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpretiere das einfach abbildungstheoretisch. S steht für einen Isomorphismus.
20.08.2007, 20:28	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber ich verstehe dann noch nicht, was mir das für den Beweis bringt
20.08.2007, 20:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo fängst Du mal mit dem Beweis an?
20.08.2007, 22:37	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann gebe ich mal mein Bestes $\begin{eqnarray} \mbox{Zeilenraum von }A=<z_1,...,z_m>=\{z\in K^{1\times n}:\mbox{es existiert eine Linearkombination des Zeilen-m-Tupels }(z_1,...,z_m)\}. \end{eqnarray}$ Jedes Element aus dem Zeilenraum von A kann also als Linearkombination des Zeilen-m-Tupels $\begin{eqnarray} (z_1,...,z_m) \end{eqnarray}$ dargestellt werden. Aber wie bringe ich jetzt meine invertierbare quadratische Matrix S mit ins Spiel?
20.08.2007, 22:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja nur eine ausführlichere Schreibweise der schon geklärten Definition. Was gilt es denn zu zeigen? die Gleichheit von 2 Räumen (Spans). Das kann z.B. so gehen 1. Dimensionsvergleich 2. Basis des einen Raums liegt im anderen Raum
21.08.2007, 00:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast Glück, dass ich zur Zeit auch Lineare Algebra wiederhole Zunächst einmal empfiehlt es sich, die Aussage umzuformulieren. Der Zeilenraum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist gleich dem Spaltenraum von $\begin{eqnarray} A^t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (SA)^t=A^tS^t \end{eqnarray}$ . Wir zeigen daher (Bezeichnungskollision) $\begin{eqnarray} \mbox{Spaltenraum von }A=\mbox{Spaltenraum von }AS, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{wobei }A\in K^{m\times n}, S\in GL_{n}(K):=\{M\in K^{n\times n}: M\mbox{ invertierbar}\}. \end{eqnarray}$ Im Folgenden identifizieren wir mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ etwas schlampig auch die Abbildung $\begin{eqnarray} K^n\ni x\mapsto Ax\in K^m \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} \mathrm{Bild}(A)=\langle Ae_1,\dots,Ae_n\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{Bild}(AS)=\langle ASe_1,\dots,ASe_n\rangle=\langle Ab_1,\dots,Ab_n\rangle \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} b_i:=Se_i \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} (b_i) \end{eqnarray}$ bilden eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb K^n \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Daher ist $\begin{eqnarray} \mathrm{Bild}(A)=\langle Ae_1,\dots,Ae_n\rangle=\langle Ab_1,\dots,Ab_n\rangle=\mathrm{Bild}(AS) \end{eqnarray}$ (das Bild einer linearen Abbildung ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren) Gruß, therisen
21.08.2007, 16:14	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das schaut korrekt aus ... Unser Professor hat folgendermaßen argumentiert, wobei mir diese Argumentation nicht so ganz schlüssig ist ... Er sagt $\begin{eqnarray} \mbox{Zeilenraum von }A=\mbox{Zeilenraum von }S^{-1}(SA)\subset\mbox{Zeilenraum von }SA\subset\mbox{Zeilenraum von }A. \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich z.B. die letzte Inklusion beweisen? Mir ist schon klar, dass $\begin{eqnarray} SA=\sum_{i=1}^{m}~s_i\cdot z_i,\mbox{wobei }s_i\mbox{ die Spalten von }S\mbox{ sind}. \end{eqnarray}$ Aber wie ich damit dann zeigen kann, dass das ein Element vom Zeilenraum von A ist, ist mir gerade irgendwie ein Rätsel.

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