Vier Punkte in einer Ebene

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26.02.2005, 15:56

DanielE

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Vier Punkte in einer Ebene

Wie kann ich beweisen oder feststellen ob vier gegebene Punkte in einer Ebene liegen ?

26.02.2005, 16:08

JochenX

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ebenen gleichung aufstellen, in der 3 punkte liegen.
eindeutig, außer diese 3 punkt liegen auf einer geraden, dann gibt es eine ebenenschar.

fall1: eindeutig, dann prüfen, ob der 4. punkt auf der selben ebene draufliegt.
fall2: ebeneneschar? dann liegen sie auf einer ebene.... (nachdenken)

26.02.2005, 16:09

DanielE

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was ist eine ebeneschar ?

26.02.2005, 16:17

JochenX

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naja, was ist denn z.b. eine geradenschar? das weißt du doch auch....
wir sind im normalen raum, IR³ und jetzt suchen wir alle ebenen, in denen eine bestimmte gerade liegt..... das sind unendlich viele ebenen (vorstellung!), du wählst eine und diese kannst du "um die gerade" rotieren....

wie gesagt meistens liefert deine rechnung eine eindeutige ebene...
also punkte A,B,C,D
bestimme Ebene, in der A,B,C liegen
liegt D in dieser Ebene?

26.02.2005, 17:06

DanielE

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Ich habe das jetzt mal gemacht.
Ich bekomme ja nach Aufstellen der Ebene ein LGS mit 3 Unbekannten.
Also ein quadratisches GS. Kann ich das auch mit einer Matritze oder Determinante lösen ? Was ist da eigentlich der genaue Unterschied zwischen Determinante und Matritze ? Bei Determinanten kann man doch Sarrus etc. anwenden. Weiß nur nie wann ich eine Det. und wann ich eine Matritze habe und wofür beides gut ist (Ausßer das mit Det. LGS gelöst werden können).

Zurück zum eigentlichen Beispiel. Ich bekomme nach dem lösen des GS die
Punkte Lamda und Mü raus (Die Koeffizienten der Ortsvektoren in der Ebenengleichung). Hab ich damit die Aufgabe gelöst ? Was würde denn rauskommen wenn der Punkt nicht in der Ebene liegen würde ? Würde Lamda und Mü nicht zu berechnen sein?

Abschließend soll ich die Ebene nicht in der PArameterform angeben. Kann man das irgendwie anders angeben ?

26.02.2005, 17:20

Friedrich

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Zitat:

Ich bekomme ja nach Aufstellen der Ebene ein LGS mit 3 Unbekannten.
Also ein quadratisches GS.

WAS??

Zitat:

Ich bekomme nach dem lösen des GS die
Punkte Lamda und Mü raus (Die Koeffizienten der Ortsvektoren in der Ebenengleichung)

Du solltest normalerweise keine 2 Punkte, sonder wie du nachher sagt Koeffizienten herausbekommen, und zwar von den SPANNVEKTOREN der Ebene, setzt du diese in deine Ebenengleichung ein, erhällst du den Ortsvektor eines Punktes.

Zitat:

. Kann man das irgendwie anders angeben ?

Es gibt zB die Koordinatenform.

26.02.2005, 17:43

DanielE

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Drei Unbekannte sind es ja gar nciht. Es sind 2 Unbekannte...

Ich gebe mal die Aufgabe an:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ \frac{29}{5} \\ \frac{117}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Komme dann auf die Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ \frac{29}{5} \\ \frac{117}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +y $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kann ich ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ \frac{29}{5} \\ \frac{117}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite holen und habe somit ein LGS mit 2 Unbekannten ... Auflösen....

Stimmt das soweit ? Ergebnis soll sein: Gemeinsame Ebene der Punkte: 3x+4y-z= 4

Wie komme ich darauf ?

26.02.2005, 17:53

JochenX

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ömph, ob die zahlen stimmen, kA
aber das du 3 gleichungen und 2 unbekannte in einem LGS bekommst ist richtig....
du musst eben zeigen, dass es lösbar ist!

wie du deine paramterdarstellunggleichung nachher in eine koordinatendarstellung umwandelst solltest du wissen....
das habt ihr bestimmt besprochen.....

mfg jochen

26.02.2005, 18:18

DanielE

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Keine Ahnung ! ISt das schwer ? Ich weiss nur wie es bei einer Geradengleichung gehtr (über Steigung).

26.02.2005, 18:27

reima

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Deine Ebenengleichung ist schon mal falsch.

Beachte: Die Ebene durch die Punkte A, B, C (die nicht auf einer Geraden liegen) hat die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} E_{ABC}: \vec{x} = \vec{OA} + \lambda~\vec{AB} + \mu~\vec{AC}; \lambda, \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Du hast statt $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} \vec{OA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{OB} \end{eqnarray*}$ verwendet.

26.02.2005, 18:32

DanielE

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Ach, ich muss aus den Punkten ja erstmal Vektoren machen, also voneinander abziehen ..... Oder ? ups

26.02.2005, 21:25

kikira

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Ja, genau

Und auf deine Ebenengleichung kommst du, wenn du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bildest, denn dann hast du den Normalvektor der Ebene und dann setzt du in folgende Formel ein und multiplizierst aus:

Normalvektor * X(x/y/z) = Normalvektor * Punkt (der Ebene)

und wenn du die Ebenengleichung dann hast, setzt du für x, y und z die Koordinaten des 4. Punktes ein und wenn eine wahre Aussage rauskommt, liegt der 4. Punkt auch auf der Ebene.

lg kiki

26.02.2005, 22:25

Friedrich

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Zitat:

Original von DanielE
Keine Ahnung ! ISt das schwer ? Ich weiss nur wie es bei einer Geradengleichung gehtr (über Steigung).

Tjajo,
bei uns wurde die Koordinatengleichung auch bei Geraden mithilfe der Steigung etc. ermittelt, aber ich finde das verwirrend und unnötig.

Am einfachsten geht das (was spätestens mit den Ebenen auch erklärt wird und die Sache verständlicher macht):

Aus der Parameterform $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

machst du dir eine Matrix, bei der jede Zeile jeweils x1, x2, x3 ergibt, also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 | x1\\ a_2 & b_2 & c_2 | x2\\ a_3 & b_3 & c_3 | x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und eliminierst aus einer Zeile alle Paramter, sodass dort wo b und c stand 0 0 steht.
Links wird nur noch eine Zahl a stehen und rechts der Term mit x1, x2 und x3
voila!
(Müsste in deinem Mathebuch auch nachzulesen sein)

27.02.2005, 09:45

Leopold

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Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren (als Spalten) der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ sind, so liegen diese genau dann in einer Ebene, falls

$\begin{eqnarray*} \operatorname{det} \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} & \vec{d} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \ = \ 0 \end{eqnarray*}$

ist. Dies ist ein Kriterium, das die Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ gleichberechtigt behandelt.

Wenn man Anfänger der Analytischen Geometrie ist, sind die in den vorigen Beiträgen vorgestellten Methoden natürlich vorzuziehen, da sie anschaulich sind und somit ein besseres Gefühl für die Sache vermitteln. Insbesondere ist die konkrete Berechnung einer 4×4-Determinante auch nicht unbedingt weniger aufwendig.

Im Beispiel ergibt sich laut meinem CAS:

$\begin{eqnarray*} \left| \; \begin{matrix} -5 & \frac{7}{5} & 0 & -3 \\ 1 & \frac{29}{5} & 6 & -3 \\ -15 & \frac{117}{5} & 20 & -25 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \; \end{matrix} \right| \ = \ 0 \end{eqnarray*}$

Die Punkte liegen daher in einer Ebene.

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