Schon wieder Matrizengleichung umformen

20.08.2007, 22:18

Obert

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Schon wieder Matrizengleichung umformen

Hallo!

Hab da schon wieder ein Problem mit dem Umformen einer Matrizengleichung. Gegeben folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} XA+BY+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AX-Y+3B=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A, B und C sind gegeben, berechne X und Y. Ich habe die untere Gleichung nach Y aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} Y=AX+3B \end{eqnarray*}$

und in die obere eingesetzt, um X auszurechnen:

$\begin{eqnarray*} XA+B(AX+3B)+C=0 \end{eqnarray*}$

und komme dann zu folgendem:

$\begin{eqnarray*} XA+BAX=-C-3BB \end{eqnarray*}$

Ab jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter, da es sich ja um Matrizen handelt und das Kommutativgesetz deshalb nicht gilt.

Die Lösung ist übrigens:

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} \lambda +3 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} Y=\begin{pmatrix} \lambda & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß bloß absolut nicht, wo das Lamda herkommt.

Habt Ich ihr vielleicht einen Tipp für mich?

Grüße
Obert

20.08.2007, 22:24

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Vielleicht fütterst Du diese Zeile mal mit Details:

$\begin{eqnarray*} XA+BAX=-C-3BB \end{eqnarray*}$

20.08.2007, 22:35

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Vielleicht fütterst Du diese Zeile mal mit Details:

$\begin{eqnarray*} XA+BAX=-C-3BB \end{eqnarray*}$

Also Werte einsetzen?

20.08.2007, 22:37

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Jo, das was da gegeben ist. Bitte pmatrix statt vmatix verwenden. Die steht i.A. für Determinante

20.08.2007, 22:54

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Jo, das was da gegeben ist. Bitte pmatrix statt vmatix verwenden. Die steht i.A. für Determinante

Danke für den Hinweis, hatte mich auch schon gewundert, aber weil da Matrix stand, hab ich auch nicht weiter nachgeforscht.

$\begin{eqnarray*} X\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann?

20.08.2007, 22:55

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Was ist denn über das X bekannt? Welche Abmessungen hat es /muss es haben?

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20.08.2007, 22:57

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Was ist denn über das X bekannt? Welche Abmessungen hat es /muss es haben?

Es muss eine 2x2-Matrix sein.

20.08.2007, 22:58

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Dann schreib die mal allgemein hin. so wie im anderen Thread.

20.08.2007, 23:01

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Dann schreib die mal allgemein hin. so wie im anderen Thread.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.08.2007, 23:03

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Inditierung bitte. Ich habe eins vorgemacht. Editier dein post.

20.08.2007, 23:05

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Editier dein post.

Habs gerade selbst gemerkt

20.08.2007, 23:08

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Jetzt vielleicht multiplizieren und dann addieren?

20.08.2007, 23:09

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Nun führe Matrix Multiplikationen durch. Was steht dann Links?

20.08.2007, 23:16

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Nun führe Matrix Multiplikationen durch. Was steht dann Links?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{11} & -x_{12} \\ x_{21} & -x_{22} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -x_{11} & -x_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -2x_{12} \\ x_{21} & -x_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.08.2007, 23:20

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -2x_{12} \\ x_{21} & -x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was macht das dann für x? Sofern Du dich nirgends verrechnet hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.08.2007, 23:26

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Was macht das dann für x?

Alle $\begin{eqnarray*} x_{xx} \end{eqnarray*}$ so belegen, dass die Gleichung stimmt. Also $\begin{eqnarray*} x_{12}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{21}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{22}=1 \end{eqnarray*}$

20.08.2007, 23:32

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Und was ist mit $\begin{eqnarray*} x_{11} \end{eqnarray*}$ ? Big Laugh

Big Laugh

20.08.2007, 23:39

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Und was ist mit $\begin{eqnarray*} x_{11} \end{eqnarray*}$ ? Big Laugh

Big Laugh

Bei dem Lachen muss ja mehr dahinterstecken und die Lösung sieht ja auch sehr danach aus, weil $\begin{eqnarray*} x_{12} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x_{22} \end{eqnarray*}$ völlig übereinstimmen. Aber wie bringt man da jetzt das Lambda ins Spiel? Ich würd jetzt eher sagen, dass $\begin{eqnarray*} x_{11} \end{eqnarray*}$ Null ist, aber eigentlich ist es ja weg.

20.08.2007, 23:41

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Probier mal 2 Matrizen aus. Setze einemal x_{11} = 0 und dann x_{11} = 1. Was stellst Du fest? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2007, 00:00

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Was stellst Du fest? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Keine Ahnung. Vielleicht, dass das eine triangulierte Matrix ist, wenn man 1 einsetzt.

21.08.2007, 00:03

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Nein. Du kannst x_{11} frei wählen. Deswegen wurde in der Lösung ein Platzhalter verwendet. Lambda. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2007, 00:14

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen

Zitat:

Original von tigerbine
Nein. Du kannst x_{11} frei wählen. Deswegen wurde in der Lösung ein Platzhalter verwendet. Lambda. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt verstehe ich das und $\begin{eqnarray*} \lambda + 3 \end{eqnarray*}$ kommt in der Lösung wahrscheinlich daher, weil Y zuerst berechnet wurde?

21.08.2007, 00:16

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Kann sein. Im Detail habe ich es nicht gerechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2007, 00:18

Obert

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe!!! Finde ich echt klasse, dass du das machst!!!

21.08.2007, 00:25

tigerbine

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RE: Schon wieder Matrizengleichung umformen
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