Basis, Dimension und ein Teilraumbeweiß

21.08.2007, 21:53

Deka

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Basis, Dimension und ein Teilraumbeweiß

Angehnemen Abend wünsch ich Wink

Wink

Ich habe
$\begin{eqnarray*} p_i(x)=x^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_i(x)=\sum_{k=0}^i~{x^k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,...,n in \mathbb R_{\leq n}[x] \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich zeigen das $\begin{eqnarray*} (p_i)_{i=0,...,n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (q_i)_{i=0,...,n} \end{eqnarray*}$ jeweils ein Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq n}[x] \end{eqnarray*}$ haben und Dimension dieser Raum hat.

$\begin{eqnarray*} p_i(x)=x^i \end{eqnarray*}$ ist mir aus der Vorlesung bekannt:
Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p_i(x)=x^i \end{eqnarray*}$ f.a $\begin{eqnarray*} i \in {0..n}, f.a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \left\{p_0,p_1,...,p_n\right\} \end{eqnarray*}$ ist Standardbasis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq {n}}[x] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim \mathbb R _{\leq {n}}[x] = n+1 \end{eqnarray*}$

Von der Überlegung her ist für alle i $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ enthalten.

$\begin{eqnarray*} q_i(x)=\sum_{k=0}^i~{x^k}= \sum_{k=0}^i~{p_k(x)} ,\forall i=0..n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_i(x)=x^i=\sum_{k=0}^i~{x^k}- \sum_{k=0}^{i-1}~{x^k} ,\forall i=1..n \vee p_i(x)=q_i(x) , i=0 \end{eqnarray*}$

Also kann ich die einen Polynome mit Hilfe der anderen darstellen und umgekehrt.
=> bijektive Abbildungen.
Daher hat $\begin{eqnarray*} q_i(x) \end{eqnarray*}$ die gleiche Basis und Dimension wie $\begin{eqnarray*} p_i(x) \end{eqnarray*}$ .

Überlegung richtig ?

2.Sei V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v_1},...,\vec{v_n} \end{eqnarray*}$ Vektoren in V. Man beweise,dass
$\begin{eqnarray*} V_1=span\left\{\vec{v_1},...,\vec{v_n}\right\} \end{eqnarray*}$
ein Teilraum von V ist.

Sowas haben noch nie gemacht :/
Arbeitet man Kriterien einfach, sprich ..
1. $\begin{eqnarray*} \forall \vec {x},\vec{y}\in T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec{x}+\vec{y} \end{eqnarray*}$ wieder in T.
2. $\begin{eqnarray*} \forall \vec {x}\in T \wedge \forall \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda\vec{x} \end{eqnarray*}$ wieder in T.
3. Das T nicht leer sein darf muss $\begin{eqnarray*} \vec{0}\in T \end{eqnarray*}$

ab ?
Kann ich 1 und 2 in $\begin{eqnarray*} \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} \in T,\alpha,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zusammenfassen und wie würde das aussehen ?

21.08.2007, 22:05

system-agent

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um ehrlich zu sein, ich hab nicht genau verstanden was du bei der ersten aufgabe genau machen willst verwirrt

verwirrt

edit:
falls du zeigen sollst, dass $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ jeweils eine basis des raumes sind, dann prüfe ob $\begin{eqnarray*} span\{p_i\,:\,i=0,...,n\}=\mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist und ob diese linear unabhängig sind.

was die 2 angeht:
ja, du musst die untervektorraumaxiome abarbeiten, also genau das was du aufgeschrieben hast, aber da wird nix zusammengefasst, immer schön fleissig bleiben Teufel

Teufel

21.08.2007, 22:09

sqrt(2)

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RE: Basis, Dimension und ein Teilraumbeweiß

Zitat:

Original von Deka
Angehnemen Abend wünsch ich Wink

Wink

Ich habe
$\begin{eqnarray*} p_i(x)=x^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_i(x)=\sum_{k=0}^i~{x^k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,...,n in \mathbb R_{\leq n}[x] \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich zeigen das $\begin{eqnarray*} (p_i)_{i=0,...,n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (q_i)_{i=0,...,n} \end{eqnarray*}$ jeweils ein Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq n}[x] \end{eqnarray*}$ haben und Dimension dieser Raum hat.

[...]

Überlegung richtig ?

Ja.

Zitat:

Original von Deka
Arbeitet man Kriterien einfach, sprich ..
1. $\begin{eqnarray*} \forall \vec {x},\vec{y}\in T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec{x}+\vec{y} \end{eqnarray*}$ wieder in T.
2. $\begin{eqnarray*} \forall \vec {x}\in T \wedge \forall \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda\vec{x} \end{eqnarray*}$ wieder in T.
3. Das T nicht leer sein darf muss $\begin{eqnarray*} \vec{0}\in T \end{eqnarray*}$

ab ?

Ja, wobei 3. schon durch 2. impliziert wird.

Zitat:

Original von Deka
Kann ich 1 und 2 in $\begin{eqnarray*} \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} \in T,\alpha,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zusammenfassen und wie würde das aussehen ?

Du kannst das zusammenfassen. Mit deiner Frage kann ich nicht viel anfangen. Das Problem an dieser Aufgabe ist eigentlich, dass sie so trivial ist, dass man fast schon gar nicht mehr sieht, was man eigentlich machen soll.

Du nimmst eben zwei Elemente aus dem span und stellst die gemäß Definition als LK dar. Dann bildest du $\begin{eqnarray*} \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} \end{eqnarray*}$ und zeigst, dass das wieder eine entsprechende LK ist, damit liegt es wieder im span und fertig.

21.08.2007, 22:09

kiste

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Zitat:

Original von system-agentaber da wird nix zusammengefasst, immer schön fleissig bleiben Teufel

Teufel

aha? natürlich kann er das zusammenfassen.
1) folgt mit alpha,beta=1
2) folgt mit alpha=lambda und beta=0

Wenn es ihm mehr Spaß macht das zusammen zu zeigen lass ihm doch smile

smile

21.08.2007, 22:10

system-agent

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@kiste:
für das hat mir der tutor mein blatt fast um die ohren gehauen, frei nach dem motto: todsünde...

21.08.2007, 22:12

kiste

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tja unserer hat uns darauf hingewiesen das man es auch so machen kann Tanzen

Tanzen

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21.08.2007, 22:13

sqrt(2)

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Zitat:

Original von system-agent
für das hat mir der tutor mein blatt fast um die ohren gehauen, frei nach dem motto: todsünde...

Dann hau du ihm einen LA-Lehrband um die Ohren.

21.08.2007, 22:27

Deka

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$\begin{eqnarray*} \vec{v},\vec{w}\in V_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1...\lambda_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_1...\beta_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\lambda_1\vec{v}_1+...+\lambda_n\vec{v}_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{w}=\beta_1\vec{w}_1+...+\beta_n\vec{w}_n \end{eqnarray*}$
-----------
$\begin{eqnarray*} \alpha\vec{v}+\gamma\vec{w} \in V_1,\alpha,\gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha\lambda_1\vec{v}_1+...+\alpha\lambda_n\vec{v}_n+\gamma\beta_1\vec{w}_1+...+\gamma\beta_n\vec{w}_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha\left(\lambda_1\vec{v}_1+...+\lambda_n\vec{v}_n\right)+\gamma\left(\beta_1\vec{w}_1+...+\beta_n\vec{w}_n\right) \end{eqnarray*}$
so ungefähr ?

21.08.2007, 22:41

Deka

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^Bzw weiter weiß ich nicht ... ziemlich trivial und peinlich :/ ... wann und wo seh ich denn jetzt das das Entstehende wieder in $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ liegt ?

21.08.2007, 22:41

kiste

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Jeder Vektor innerhalb deines Spans ist ja eine Linearkombination der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ . Wie kommst du jetzt auf $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ ?
Und was denkst du hast du gerade gezeigt?

21.08.2007, 23:03

Deka

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naja $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ sind in $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ enhalten.

Nun will ich zeigen das
$\begin{eqnarray*} \vec{v}+\vec{w} \in V_1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Also:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\vec{v}_1+...+\lambda_n\vec{v}_n+\beta_1\vec{w}_1+...+\beta_n\vec{w}_n \end{eqnarray*}$
und nun ? Daran seh ich doch nicht das die Summe auf v und w wieder in V1 liegt ?

21.08.2007, 23:06

kiste

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Für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ in deinem $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ gilt das sie die Form $\begin{eqnarray*} \vec v = \sum_{k=1}^n \lambda_k \vec v_k \end{eqnarray*}$ haben.
Hat dein $\begin{eqnarray*} \vec w \end{eqnarray*}$ diese Form?

21.08.2007, 23:14

Deka

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ja , $\begin{eqnarray*} \vec{w}=\sum_{k=1}^n~{\beta_k\vec{w}_k} \end{eqnarray*}$

Ich versuche das zumachen was sqrt(2) oben in den letzen Zeilen geschrieben hat, bloss in schritten. Einmal für Addition und dann für Multiplikation mit einem
Skalar

Zitat:

Du nimmst eben zwei Elemente aus dem span und stellst die gemäß Definition als LK dar. Dann bildest du $\begin{eqnarray*} \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} \end{eqnarray*}$ und zeigst, dass das wieder eine entsprechende LK ist, damit liegt es wieder im span und fertig.

21.08.2007, 23:17

kiste

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Nein eben nicht. Dein $\begin{eqnarray*} \vec w \end{eqnarray*}$ ist eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec w_i \end{eqnarray*}$ die du nicht weiter bestimmt hast, keine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec v_i \end{eqnarray*}$ wie es nach Vorraussetzung sein sollte!

21.08.2007, 23:38

Deka

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*verwirrt*
Also $\begin{eqnarray*} \vec{v},\vec{w} \end{eqnarray*}$ sollen Elemente aus dem span sein ...
Die Addtion dieser Elemente soll doch wieder ein Element im Span ergeben ?
Dann ist doch $\begin{eqnarray*} \vec{v}+\vec{w} \end{eqnarray*}$ nachgewiesen , und atm kein Plan wie ich das zeigen sollen unglücklich

unglücklich

21.08.2007, 23:42

kiste

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Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \vec v = \sum_{k=1}^n \alpha_i \vec v_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec w = \sum_{k=1}^n \beta_i \vec v_i \end{eqnarray*}$ . Das Problem bei dir war das du w aus w_i's gebildet hast und nicht aus den v_i's aus denen der Span ja besteht

Jetzt bilde die Summe $\begin{eqnarray*} \vec v + \vec w \end{eqnarray*}$ und zeige das sie die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \gamma_i \vec v_i \end{eqnarray*}$ hat.

22.08.2007, 00:07

Deka

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muhh
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\sum_{i=1}^n~\alpha_n\vec{v}_n=\left\{\alpha_1\vec{v}_1+...+\alpha_n\vec{v}_n\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{w}=\sum_{i=1}^n~\beta_n\vec{v}_n=\left\{\beta_1\vec{v}_1+...+\beta_n\vec{v}_n\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}+\vec{w}=\left(\alpha_1\vec{v}_1+...+\alpha_n\vec{v}_n\right)+\left(\beta_1\vec{v}_1+...+\beta_n\vec{v}_n\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\left(\vec{v}_1+...+\vec{v}_n\right)\left(\left(\alpha_1+...+\alpha_n\right)+\left(\beta_1+...+\beta_n\right)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\left(\alpha_n+\beta_n\right)\vec{v}_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\alpha_n+\beta_n\right)=\gamma_n \end{eqnarray*}$
So ?

22.08.2007, 00:11

kiste

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Zitat:

Original von Deka
$\begin{eqnarray*} \vec{v}+\vec{w}=\left(\alpha_1\vec{v}_1+...+\alpha_i\vec{v}_i\right)+\left(\beta_1\vec{v}_1+...+\beta_i\vec{v}_i\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\left(\vec{v}_1+...+\vec{v}_i\right)\left(\left(\alpha_1+...+\alpha_i\right)+\left(\beta_1+...+\beta_i\right)\right) \end{eqnarray*}$

Also die Gleichheit stimmt mal sowas von gar nicht. Aber liegt vllt. auch daran das du nicht weißt wie darstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Endergebnis jedenfalls stimmt.

22.08.2007, 00:15

Deka

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Also besser gar nicht mit $\begin{eqnarray*} \vec{v}+\vec{w} \end{eqnarray*}$ anfagen sondern gleich mit den klammern

22.08.2007, 00:21

kiste

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Naja entweder du machst:

$\begin{eqnarray*} \vec v + \vec w= \sum_{k=1}^n \alpha_i \vec v_i + \sum_{k=1}^n \beta_i \vec v_i = \sum_{k=1}^n (\alpha_i+\beta_i) \vec v_i \end{eqnarray*}$
oder du schreibst es richtig aus:
$\begin{eqnarray*} \vec v + \vec w= \sum_{k=1}^n \alpha_i \vec v_i + \sum_{k=1}^n \beta_i \vec v_i = \alpha_1 \vec v_1 + .. + \alpha_n \vec v_n + \beta_1 \vec w_1 + ... + \beta_n \vec w_n = \alpha_1 \vec + v_1 \beta_1 \vec w_1 + .. + \alpha_n \vec v_n + \beta_n \vec w_n = \sum_{k=1}^n (\alpha_i+\beta_i) \vec v_i \end{eqnarray*}$

22.08.2007, 00:25

WebFritzi

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Ich habe den Thread nicht gelesen, aber falls es hier noch keiner geschrieben hat: es heißt Beweis, und nicht Beweiß.

22.08.2007, 00:26

Deka

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$\begin{eqnarray*} \lambda\vec{v}=\left\{\lambda\alpha_1\vec{v}_1+...+\lambda\alpha_n\vec{v}_n\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^n~\left(\lambda\alpha_n\right)\vec{v}_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda\alpha_n=\delta_n \end{eqnarray*}$

Das n muss ich doch bei Delta ziehen

PS: Sry für Rechtschreibfehler und allen danke für die Hilfe smile

smile

22.08.2007, 00:33

kiste

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Ja das sieht in Ordnung aus

22.08.2007, 00:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Deka
PS: Sry für Rechtschreibfehler

Du brauchst dich doch dafür nicht entschuldigen. Ich hab dich doch nur verbessert, so dass du's nächstes mal besser machst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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