Komplement - Einschränkung bei Definition

22.08.2007, 15:13

Airblader

Komplement - Einschränkung bei Definition

Hi,

aufbauend auf diesen Thread hat sich mir eine Frage gestellt.

Zitat:

Formale Definition für $\begin{eqnarray*} U \setminus A \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} A \subseteq U \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} U \setminus A = \{x \in U ~|~ x \not \in A\} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Warum fordert man $\begin{eqnarray*} A \subseteq U \end{eqnarray*}$ verwirrt

Man kann das Komplement doch genauso "weiterführen" für die beiden anderen Fälle:

$\begin{eqnarray*} \text{1. }A \cap U \neq \emptyset ~\wedge~ A \not \subseteq U \end{eqnarray*}$ (also einfach gesagt: A "streift" U)

Dann ist wieder $\begin{eqnarray*} U \setminus A = \{x \in U ~|~ x \not \in A\} \end{eqnarray*}$

Oder einfach gesagt: Man nimmt aus U das raus, was auch zu A gehört.

$\begin{eqnarray*} \text{2. }A \cap U = \emptyset \end{eqnarray*}$

Auch dann ist $\begin{eqnarray*} U \setminus A = \{x \in U ~|~ x \not \in A\} \end{eqnarray*}$ doch noch eine logische Definition. Für den Fall ist eben einfach $\begin{eqnarray*} U \setminus A = U \end{eqnarray*}$

Also: Warum die Einschränkung $\begin{eqnarray*} A \subseteq U \end{eqnarray*}$ verwirrt

Es kann doch nicht daran liegen, dass das Komplement von A in U die eindeutig bestimmte Teilmenge mit $\begin{eqnarray*} A \cap A^{\rm c} = \emptyset ~\wedge~ A \cup A^{\rm c} = U \end{eqnarray*}$ sein soll, oder?

Ich könnte mir vorstellen, dass es daran liegt, dass die Rechenregeln (De Morgan und die Tatsache, dass das Komplement eine Involution ist) sonst nicht weiterhin gelten. Aber dazu könnte man bei den jeweiligen Anwendungen ja das $\begin{eqnarray*} A \subseteq U \end{eqnarray*}$ fordern/angeben verwirrt

22.08.2007, 15:20

tigerbine

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RE: Komplement - Einschränkung bei Definition
Wo hast Du denn die Definition her?

22.08.2007, 15:25

therisen

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Wie so oft ist der englischsprachige Artikel besser Augenzwinkern