Relationen

22.08.2007, 23:02

Blue.haste

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Relationen

Hallo alle! Wink

Wink

ich habe ein aufgabe vor mir und ich weiß nicht wie man diese machen soll . also wie das formal ausehen soll:

Beschreiben Sie die Relation R o R , dabei steht R für die Gleichheitsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen.

Was bedeutet hier das wort Beschreiben ?

MFG

haste

22.08.2007, 23:08

zweiundvierzig

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Abgesehen davon, dass ich deine Notation nicht verstehe, vermute ich, dass Du Reflexivität, Transitivität und Symmetrie nachweisen sollst (was aber bei der Gleichheitsrelation trivial ist) und einzelne Äquivalenzklassen sowie die Menge aller Äquivalenzklassen betrachten sollst.

23.08.2007, 01:05

Soliton

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RE: Relationen
Verkettung von Relationen???

Ansonsten: {(n, n)|n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ }

23.08.2007, 10:19

Blue.haste

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hallo

muss das dann so aussehen

= :={(n,n) | n € N } ?

wäre für <= (Kleinergleich) : <= := {(t,c)| t<=c, t,c € N }

23.08.2007, 16:25

Blue.haste

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sry für den doppelpost.

ich würde gern noch wissen ob die relationen dann immer in mengenschreibweise angibt?

23.08.2007, 16:26

zweiundvierzig

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Für mich sieht das etwas salopp aus. Man könnte für die gesuchte Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ schreiben, dass für natürliche $\begin{eqnarray*} m \sim n & \Leftrightarrow & m = n \end{eqnarray*}$ ist. Was zeichnet dann die einzelnen Äquivalenzklassen aus?

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23.08.2007, 17:19

Blue.haste

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@ zweiundvierzig

hm... leider weiß ich noch nicht so viel darüber (äquivalenzklassen z.b. ) um da wirklich mitreden zu können

23.08.2007, 17:26

zweiundvierzig

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Die Menge $\begin{eqnarray*} [m] \end{eqnarray*}$ aller natürlichen Zahlen, die Äquivalent zu $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sind, heißt Äquivalenzklasse. Außerdem gilt entweder $\begin{eqnarray*} [m] = [n] \end{eqnarray*}$ (genau dann wenn $\begin{eqnarray*} m \sim n \end{eqnarray*}$ ), oder diese beiden Äquivalenzklassen sind disjunkt. Wie sieht denn hier $\begin{eqnarray*} [m] \end{eqnarray*}$ aus?

23.08.2007, 21:01

Soliton_mobile

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Für mich sieht das etwas salopp aus. Man könnte für die gesuchte Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ schreiben, dass für natürliche $\begin{eqnarray*} m \sim n & \Leftrightarrow & m = n \end{eqnarray*}$ ist. Was zeichnet dann die einzelnen Äquivalenzklassen aus?

Wenn die Aufgabe lautet "Beschreiben Sie die Relation", dann ist mein Vorschlag nicht "salopp", sondern formvollendet. Eine Relation ist schließlich im Grunde nur eine Teilmenge des (u. U. mehrfachen) kartesischen Produkts der Menge mit sich selbst, auf der sie definiert ist.

Nach "Äquivalenzrelation" hat niemand gefragt, auch nicht nach Äquivalenzklassen; diese hier anzugeben, birgt auch nicht mehr Einsicht als schon die knappe Darstellung. Anscheinend überfordert das auch den aktuellen Stand von Blue.haste. Deshalb: Keep it simple. Mein Vorschlag ist ausreichend. Allerdings frage ich mich ebenfalls, was "R o R" bedeuten soll.

23.08.2007, 21:10

zweiundvierzig

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Sorry, das war ein Fehler meinerseits. Ich habe nicht kenntlich gemacht, dass ich mich lediglich auf die Formulierung "= :=" bezog. Zum gewünschten Umfang der Lösung kann ich auch wenig sagen, da ich den Inhalt der Vorlesung nicht kenne.

23.08.2007, 22:12

Blue.haste

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also ich muss sagen ich versteh so langsam um was es sich handelt. vielen dank erstmal an dieser stelle. Ich hätte noch eine frage zu Verknüpfungen von relationen: Wenn ich jetzt 2 relationen in Mengenschreibweise habe, ist mir das klar wie die einzeln aussehen aber ich kann mir leider kein bild davon machen wie das auszusehen hat wenn man diese verknüpft ( so wie bei verkettung von funktionen)

MFG

Haste

23.08.2007, 22:22

kiste

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dann wäre es vllt. mal nicht schlecht wenn du uns endlich sagst wie ihr diese Verkettung von Relationen "R ° R" definiert habt

23.08.2007, 23:12

Blue.haste

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naja leider kann ich auch nicht mehr dazu sagen wie in der aufgabe steht, also das das R für die Gleichheitsrelation steht.

Jetzt soll ich z.b. 2 relationen S,R auf einer Menge X finden für die gilt:

$\begin{eqnarray*} S o R \neq R o S \end{eqnarray*}$

dazu muss ich ja wissen wie man Verkettung von relationen aufschreibt....

24.08.2007, 00:14

Soliton_mobile

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Zur Definition siehe hier.

In Deinem Fall kommt aber nichts anderes heraus: R o R = R.

27.08.2007, 11:48

Blue.haste

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irgentwie komm ich mit dieser allgemeinen Definition nicht klar. wär jemand so nett und würde mal ein konkretes Bespiel anführen. Also 2 richtige relationen definiieren und dann verketten. ansonsten glaub ich verstehe ich die Verkettung nicht so richtig

27.08.2007, 15:06

Blue.haste

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oder vielleicht kann mir jmd eine gute website empfehlen wo man speziell verkettungen üben kann, denn nach 4 stündigem googlen weiß ich einfach nicht weiter

27.08.2007, 17:37

Soliton

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Die Verkettung von S und R besagt nur dies:

x (S o R) y , d. h. (x, y) liegt in (S o R) genau dann,

wenn es eine - salopp gesagt - gemeinsame "Brücke" zwischen x und y gibt.

Du mußt also von x zu irgendeinem z aus R gelangen (formal: x R z), und von demselben z muß es dann in S möglich sein, nach y zu gelangen (formal: z S y), insgesamt gilt dann (mit definitionsbedürftiger, aber selbsterklärender Schreibweise)

x R z S y := x R z und z S y = (x, z) aus R und (z, y) aus S.

In Deiner Aufgabe kann nur z = x und z = y, also wiederum nur x = y sein.

Daher: R o R = R.

27.08.2007, 19:24

Blue.haste

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ok das ist verständlich.

ich versuch nun das hier zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} S o R \neq R o S \end{eqnarray*}$

X ist eine beliebige Menge.

Z.b. $\begin{eqnarray*} R := \{(a,b) \in X \times X | a=b^{2} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S := \{(b,c) \in X \times X | b=c+1 \} \end{eqnarray*}$

Dann existiert doch R o S, aber S o R existiert noch nicht mal.

Ich glaube R o S sieht so aus :

$\begin{eqnarray*} R o S := \{(a,c) \in X \times X | \exists b \in X \forall (a,b) \in R und (b,c) \in S und a=(c+1)^{2} \} \end{eqnarray*}$

Ich weiß grad net wie ich des schreiben soll damit beide existieren

S o R und R o S

27.08.2007, 20:26

Soliton

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Zumindest muß es auf dieser Menge X eine Addition und eine Multiplikation geben, und die Menge muß diesbezüglich soweit abgeschlossen sein, wie Du das für Dein nachfolgendes Beispiel verwendest. Ist aber klar. smile

smile

Zunächst:

"R o S" liest sich bekanntlich "R nach S". Also muß S zuerst betrachtet werden. Du hast es umgedreht. Außerdem muß der Allquantor weg.

$\begin{eqnarray*} R o S := \{ (a,c) \in X \times X | \exists b \in X : (a,b) \in S ~und~ (b,c) \in R \} \end{eqnarray*}$

- das ist nur die Definition -

$\begin{eqnarray*} = \{ (c^2+1,c) | c \in X \} \end{eqnarray*}$ .

Das gilt aber nur, wenn c^2 auch in X ist für alle c aus X, s. o. Falls nicht, dann ist die erste Menge nur in der zweiten enthalten, nicht umgekehrt. In diesem Fall kann man die Relation m. E. nicht kompakter darstellen, da die Existenzbedingung für das Brückenglied nicht unabhängig genug ist.

Und wieso sollte S o R nicht definiert sein? Da es sich um homogene Relationen handelt, also solche, die nur auf einer Menge operieren, ist die Verkettung immer definiert. Ganz so wie bei Abbildungen, deren Definitions- und Wertebereiche auch untereinander übereinstimmen.

$\begin{eqnarray*} S o R = \{((c+1)^2,c) | c \in X\} \end{eqnarray*}$ .

Mit den gleichen Einschränkungen wie oben.

27.08.2007, 20:46

Blue.haste

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als ich gesagt hab das sie nicht existiert hab ich mir das so gedacht ( anschaulich) :

R o S : a --> b --> c

S o R : b --> c --> a --> b ( hier gibts doch gar kein brückenglied ?!? )

ich wüsste deshalb nicht wie ich S o R formal hinschreiben sollte .....

27.08.2007, 20:50

Soliton

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Zitat:

Original von Blue.haste
S o R : b --> c --> a --> b ( hier gibts doch gar kein brückenglied ?!? )

Das Bild verstehe ich nicht. Hängst Du vielleicht zu sehr an den Bezeichnern?

Zitat:

Original von Blue.haste
ich wüsste deshalb nicht wie ich S o R formal hinschreiben sollte .....

Na, genauso, wie R o S. Vertausche doch in meinem vorangegangenen Beitrag in der ersten Latexzeile einfach überall R mit S. Dann steht es da.

27.08.2007, 21:07

Blue.haste

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irgentwie verstehe ich nicht warum R o S das gleiche wie S o R sein soll ( wenn du das meinst)

"R o S : a --> b --> c " die teile sollten sowas wie pfeildiagramme sein

27.08.2007, 21:09

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} S\circ R &=& \{(x,y)\in X\times X | \exists z\in X : (x,z)\in R,\,(z,y)\in S\}\\&=& \{(x,y)\in X\times X | \exists z\in X : x = z^2,\,z = y+1\}\\ &=& \{(x,y)\in X\times X | x = (y+1)^2\}\\ &=& \{((c+1)^2,c) : c\in X\}. \end{eqnarray*}$

27.08.2007, 21:18

Blue.haste

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Ist es also richtig das R o S und S o R nicht gleich sind ?

27.08.2007, 21:20

Soliton

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Zitat:

Original von Blue.haste
irgentwie verstehe ich nicht warum R o S das gleiche wie S o R sein soll ( wenn du das meinst)

Nein, das meine ich nicht. Die beiden sind in concreto auch nicht gleich, siehe mein Beitrag oben und WebFritzi. Du hast aber gefragt, wie Du S o R überhaupt definieren sollst, also abstrakt. Und das geht eben genau so wie für R o S, in diesem Fall, Du mußt einfach nur die Buchstaben vertauschen. Das Problem mit dem "Brückenglied" (das ist kein Fachterm) besteht nicht. Von dieser Definition aus kann man dann konkret weiterrechnen, siehe WebFritzi, und kommt auf ein anderes Ergebnis als für R o S. Was Du auch wolltest.

Falls Dir immer noch nicht klar ist, wie S o R definiert wird, müßtest Du nochmal erklären, wo Du den Unterschied zu R o S siehst. Aber WebFritzi hat es ja jetzt vorgerechnet, wie es aussieht.

27.08.2007, 21:24

Soliton

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Zitat:

Original von Blue.haste
Ist es also richtig das R o S und S o R nicht gleich sind ?

Jo. Anders wäre es nur, wenn X = {0}; dann wäre S = {}, ein trivialer Fall.

27.08.2007, 21:25

Blue.haste

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ok dann glaube ich dass ich alles wichtige habe um ein gefühl dafür zu bekommen ich werd mir das ganze mal genau anschauen. einen großen dank an euch Soliton und WebFritzi! Freude

Freude

27.08.2007, 23:03

Blue.haste

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ich habe mir gerade alles angeschaut und ich habe noch eine frage:

R o S $\begin{eqnarray*} = \{ (c^2+1,c) | c \in X \} \end{eqnarray*}$ <- Wo verschwindet die Klammer bei R o S hin ?

$\begin{eqnarray*} S o R = \{((c+1)^2,c) | c \in X\} \end{eqnarray*}$ .

27.08.2007, 23:27

Soliton

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Zitat:

Original von Blue.haste
R o S $\begin{eqnarray*} = \{ (c^2+1,c) | c \in X \} \end{eqnarray*}$ <- Wo verschwindet die Klammer bei R o S hin ?

Was meinst Du damit? Fragst Du, warum die erste Komponente

- bei R o S $\begin{eqnarray*} c^2+1 \end{eqnarray*}$

und

- bei S o R $\begin{eqnarray*} (c+1)^2 \end{eqnarray*}$

lautet? Falls Du das meinst: Das mußt Du ja gerade mit den für R und S geltenden Bedingungen nachrechnen!

Mit den Bezeichnungen von oben:

$\begin{eqnarray*} (a, c) \in R ~o~ S \end{eqnarray*}$

heißt

$\begin{eqnarray*} (a, b) \in S,~(b, c) \in R~mit~b \in X \end{eqnarray*}$

heißt

$\begin{eqnarray*} a = b+1 ~und~ b = c^2 \end{eqnarray*}$ ,

wie hängen also a und c zusammen?

28.08.2007, 00:35

WebFritzi

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@Blue.haste: Bei deiner letzten Frage frage ich mich, warum ich mir in meinem letzten Beitrag die Mühe gemacht habe...

28.08.2007, 13:07

Blue.haste

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sry manchmal bin ich etwas schwer von Begriff.

aber stimmt das hier:

$\begin{eqnarray*} R = \{ (x,y)\in \mathbb R \times \mathbb R | y=2x \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S = \{ (y,z)\in \mathbb R \times \mathbb R | y^{2}=z \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S o R = \{ (x,4x^{2} )| x \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R o S = \{ (x,2x^{2} )| x \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

28.08.2007, 13:13

WebFritzi

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Ja, das stimmt so. Bemerke übrigens, dass diese beiden Relationen Abbildungen sind.

28.08.2007, 13:57

Blue.haste

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dann hab ichs wohl endlich kapiert. vielen dank noch mal

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