Tangentengleichung

24.08.2007, 17:13

edu

Tangentengleichung

Hallo Leute!!

Wie kann ich die Gleichung der Tangenten aufstellen, die vom Punkt (-1;0) an die Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gelegt ist???

danke schonmal im vorraus

24.08.2007, 17:38

Rotationskörper

Auf diesen Beitrag antworten »

Setze mal die beiden Funktionsgleichungen der Geraden und der Wurzelfunktion gleich:

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Daraus erstellst du eine quadrtische Gleichung, die du mit der pq- oder abc-Formel lösen könntest. Wichtig ist hier aber nur die Diskriminante.

Gruß
Rotationskörper

24.08.2007, 18:33

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo edu!

Du hast 2 Informationen, einmal den Punkt P und zum anderen das t(x) eine Tangente an f(x) sein soll.
Nutzt du die erste Bedingung aus indem du es in die allgemeine, von Rotationskörper schon gespostete Gleichung, einsetzt, erhälst du:
$\begin{eqnarray*} b=m \end{eqnarray*}$
Die 2.Information sagt etwas über die Steigung deiner Tangenten aus. Wenn du jetzt noch das Wissen verwertest, dass t(x) und f(x) einen gemeinsamen Punkt namens X(x1|y1) haben müssen, kannst du alle Gleichungen zusammen bauen, und kannst dir x1 ausrechnen. Der Rest dürfte einfach sein...

24.08.2007, 19:07

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

alternativ kann man auch einfach die allgemeine tangente an die wurzelfunktion aufstellen und ihre nullstelle berechnen.

die wurzelfunktion hat da nämlich eine sehr interessante eigenschaft.

29.08.2007, 18:09

edu

Auf diesen Beitrag antworten »

Als allgemeine Gleichung bekomme ich $\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1-2mb \pm \sqrt{1-4mb}}{2m^2} \end{eqnarray*}$ herraus.
Wenn ich nun -1 für x einsetze, was wohl mit dem ausnutzen der 1.Bedingung gemeint ist komme ich auf $\begin{eqnarray*} b=m \pm i \end{eqnarray*}$
Wie gehts denn jetzt weiter, habe den nächsten Schritt leider nicht verstanden und wieso kann ich den imaginären Teil weglassen???

29.08.2007, 18:11

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube du hast die aufgabe falsch verstanden.

es geht hier gar nicht um komplexe zahlen und demnach auch nicht um die tangente an der stelle -1 (welche auf den reellen zahlen gar nicht definiert ist).
sondern es geht um die tangente an die wurzelfunktion, welche durch den punkt (-1|0) geht.

die stelle, an der die tangente die wurzelfunktion berührt, musst du also noch herausfinden.

29.08.2007, 18:20

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
ich glaube du hast die aufgabe falsch verstanden.

Nein, er ist dem unsinnigen Rat von Rotationskörper gefolgt.

@edu: Nimm tmos Rat.

30.08.2007, 11:43

Zakum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, folgender Denkanstoß:
Sei Q der Schnittpunkt der Tangente und der Ausgangsfunktion.
somit wissen wir:

$\begin{eqnarray*} y_Q=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

außerdem ist bekannt:

$\begin{eqnarray*} m_{t}=f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}x+n \end{eqnarray*}$

somit gilt bei für Q:
$\begin{eqnarray*} y_Q=\frac{x}{2\sqrt{x}}+n \end{eqnarray*}$

Was jetz fehlt, ist eine dritte gleichung, mit der man n ausrechnen kann, dann ist das Gleichungssystem lösbar und wir haben sowohl m als auch n bestimmt.

Das mal auf die schnelle, hab leider keine Zeit weiter auszubauen.

30.08.2007, 12:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von tmo
ich glaube du hast die aufgabe falsch verstanden.

Nein, er ist dem unsinnigen Rat von Rotationskörper gefolgt.

@edu: Nimm tmos Rat.

Manchmal ist es ratsam, erstmal zu fragen, welche Voraussetzungen der Fragesteller mitbringt. Falls die Methoden der Differentialrechnung verwendet werden können, wäre ein Ansatz, den Zakum vorgestellt, aber leider nicht sauber ausformuliert hat, möglich. Will man die Differentialrechnung vermeiden, dann ist der Ansatz von Rotationskörper durchaus ok. Wir haben also die Tangente t mit der Form $\begin{eqnarray*} t(x)=m\cdot x + m \end{eqnarray*}$ und müssen nun noch den eindeutigen Schnittpunkt mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ finden. Also setzt man gleich:

$\begin{eqnarray*} m\cdot x + m = \sqrt x \end{eqnarray*}$

Die daraus resultierende quadratische Gleichung ist so zu lösen, daß sie genau eine Lösung hat. daraus erhält man eine Bedingung für das m.

30.08.2007, 13:34

Zakum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht, schlecht formuliert, aber auf die schnelle gings nicht besser.
Das Differenzieren ist übrigens der Fragestellung nach zu folgen vermutlich das nächste Themengebiet, allerdings ist das bilden von ableitungen eine ziemlich einfach angelegenheit, die auch schnell erklärt werden kann (zumindest soweit das es hier ausreicht)

Was mich wundert ist deine erste Formel.
Wieso setzte du n=m vorraus?
Müsste es nicht eigentlich

$\begin{eqnarray*} t(x) = m \cdot x +n \end{eqnarray*}$ heißen?

Das würde eine weitere Unbekannte addieren und dich vor das gleiche Problem stellen wie mich Augenzwinkern

30.08.2007, 13:43

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

die gerade geht durch (-1|0)

es ist also $\begin{eqnarray*} -m + b = 0 \Leftrightarrow b = m \end{eqnarray*}$

30.08.2007, 13:51

Zakum(gast)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh! Da fällt einem ja das Brett vom Kopf Hammer

Alles klar.

30.08.2007, 14:48

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Will man die Differentialrechnung vermeiden, dann ist der Ansatz von Rotationskörper durchaus ok. Wir haben also die Tangente t mit der Form $\begin{eqnarray*} t(x)=m\cdot x + m \end{eqnarray*}$

Richtig, und eben nicht t = mx + c!

30.08.2007, 15:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ja. Vielleicht war das auch nur ein Schreibfehler von Rotationskörper. Es wäre jedenfalls schön gewesen, du hättest den Beitrag von Rotationskörper nicht als kompletten Unsinn abgetan (jedenfalls macht es den Eindruck), sondern genauer erläutert, was da falsch war.

30.08.2007, 15:32

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm, ja. Vielleicht war das auch nur ein Schreibfehler von Rotationskörper. Es wäre jedenfalls schön gewesen, du hättest den Beitrag von Rotationskörper nicht als kompletten Unsinn abgetan (jedenfalls macht es den Eindruck),

Ist auch so, und ich bleibe dabei. Man sieht ja, was bei edu rausgekommen ist. Die Antwort war in mehrerlei Hinsicht nicht sinnvoll!

31.08.2007, 13:03

edu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich fasse mal Zusammen, was ich soweit aus der Diskussion verstanden habe. Zu den Vorraussetzungen, die Differentialrechnung kann durchaus verwendet werden.

Ich verstehe jetzt wieso m=b seien muss, ist ja auch einleutend.
Doch ich habe dann immer noch eine quadratische Gleichung die nunmal zwei Lösungen hat??? @klarsoweit wie kann ich nur eine Lösung bekommen?

Desweiter sehe ich ein, dass man die Steigung der Tangente durch
$\begin{eqnarray*} m_t=f'(x)=\frac{d \sqrt{x}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
bekommt.
@Zakum wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} m_t=\frac{x}{2\sqrt{x}}+n \end{eqnarray*}$ ?? woher kommt das x bzw. n??

Allgemein: wenn man den Schnittpunkt Q zwischen Tangente und Funktion bestimmen könnte hätte man die Tangentengleichung ja direkt durch:
$\begin{eqnarray*} f'(x_Q)=\frac{y-y_Q}{x-x_Q} \end{eqnarray*}$
Nur wie???

31.08.2007, 13:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von edu
Doch ich habe dann immer noch eine quadratische Gleichung die nunmal zwei Lösungen hat??? @klarsoweit wie kann ich nur eine Lösung bekommen?

Bekanntlich hat eine quadratische Gleichung keine, genau eine oder zwei Lösungen. Für
$\begin{eqnarray*} x^2 + p \cdot x + q = 0 \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Lösung, wenn q = p²/4 ist.

Bei Verwendung der Differentialrechnung brauchen wir erstmal die allgemeine Form der Tangenten t an einen Punkt (x0; f(x0)). Diese lautet:
$\begin{eqnarray*} t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du nur deine Funktion f einsetzen und x_0 so bestimmen, daß t(-1)=0 ist. Augenzwinkern

31.08.2007, 14:59

edu

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, mit karsoweit's Ansatz über die allgem. Form der Tagentengleichung lässt sich das Problem lösen und ist danke der Diff.rechnung wohl der einfachste Weg.

@klarsoweit: ich sehe ein dass im allgem. eine quadratische Gleichung keine bzw. eine Lösung haben kann. Habe einfach noch viel zu wenig theoretisches Wissen in Mathe. Aber in diesem Fall gibt es zwei Lösungen Augenzwinkern

Danke nochmal an alle!!!!

31.08.2007, 15:18

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du mir nicht glaubst, poste ich die andere Variante:

$\begin{eqnarray*} m\cdot x + m = \sqrt x \end{eqnarray*}$

Durch m dividieren und quadrieren:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x + 1 = \frac{x}{m^2} \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} x^2 + (2-\frac{1}{m^2}) \cdot x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muß m so gewählt werden, daß die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat. Es muß also gelten:

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{(2-\frac{1}{m^2})^2}{4} \end{eqnarray*}$

Daraus resultiert eine quadratische Gleichung für m mit einer passenden Lösung für m. (Die andere Lösung kommt nicht in Frage.)

31.08.2007, 16:49

edu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, die quadratische Gleichung hat dann die Lösungen -1/2;+1/2 und für m, angenommen man weiß wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ aussieht, macht eine negative Steigung keinen Sinn. Big Laugh

31.08.2007, 16:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Frage »

Antworten »

Tangentengleichung

Verwandte Themen