Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

24.08.2007, 17:52

mylittlehelper

Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei der folgenden Aufgabe.

Es sei $\begin{eqnarray*} T\subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ der Rotationstorus, der durch die Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} x(u,v)=\left((r\cos u+a)\cos v, (r\cos u+a)\sin v,r\sin u \right) \end{eqnarray*}$

mit Konstanten $\begin{eqnarray*} 0<r<a \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Zeigen Sie:

Ist eine Geodätische tangential zum Breitenkreis $\begin{eqnarray*} u=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , so liegt sie ganz in dem abgeschlossenen Gebiet von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , das durch

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}\leq u \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

Der besagte Breitenkreis $\begin{eqnarray*} u=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ liegt auf obersten Rand (quasi mittig). In meinem Verständnis von tangential können nur Breitenkreise wieder in jedem Punkt tangential zu diesem Breitenkreis sein.

Breitenkreise sind aber nur genau dann Geodätische, wenn die erste Ableitung der Kurve (=des Breitenkreises) gleich Null ist. Dies wäre "ganz innen" und "ganz außen".

"Ganz innen" läge in diesem abgeschlossenen Gebiet, "ganz außen" jedoch nicht.

Nun meine Frage: Liege ich beim Begriff des Tangentialen oder bei meinen Überlegungen zur Geodätischen falsch?

28.08.2007, 16:25

mylittlehelper

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Hat keiner ne Ahnung oder vielleicht nen Hinweis wo ich mich hinwenden könnte?

Danke schon vorab.

30.08.2007, 20:34

Abakus

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von mylittlehelper
Ist eine Geodätische tangential zum Breitenkreis $\begin{eqnarray*} u=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , so liegt sie ganz in dem abgeschlossenen Gebiet von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , das durch

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}\leq u \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

Mir sagt die Aufgabe noch recht wenig. Geodätische wären hier kürzeste Verbindungen zwischen je 2 Punkten auf dem Torus. Was ist dann mit obiger Bedingung gemeint ? Soll die Geodätische vielleicht in mindestens einem Punkt tangential zum Breitenkreis sein oder in mehreren Punkten ?

Als nächstes wäre zu klären, wie sich die Geodätischen charakterisieren lassen, hast du eine Bedingung dafür ?

Grüße Abakus smile

31.08.2007, 09:10

mylittlehelper

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von Abakus

Als nächstes wäre zu klären, wie sich die Geodätischen charakterisieren lassen, hast du eine Bedingung dafür ?

Der Torus ist ja eine Rotationsfläche, also schauen wir uns die Bedingungen für Geodäten auf Rotationsflächen an.

Rotationsfläche:

$\begin{eqnarray*} f(u,v)=(r(u)\cos v, r(u) \sin v, h(u)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r,h : \mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ reelle, stetige und diffbare Funktionen.

Geodäten sind Kurven auf der Fläche - die

i) Meridiane (Großkreise durch die Pole),
ii) Breitenkreise $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \; r'(u)=0 \end{eqnarray*}$
ii) Funktionen, die die Clairautsche Relation erfüllen

Bei dem letzten bin ich mir aber auch nicht so sicher, wie man dies konkret anwendet. Es gibt da wohl verschiedene Fälle

a) Seien $\begin{eqnarray*} r(u_1)=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r(u_2)=c \end{eqnarray*}$ Geodäten, dann osziliiert die Geodäte zwischen diesen Geodäten.

b) Sei $\begin{eqnarray*} r(u_1)=c \end{eqnarray*}$ Geodäte und $\begin{eqnarray*} r'(u_1)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann nähert sich die Geodäte (nach C.R.) dieser so gegebenen Geodäte und verschwindet dann wieder Richtung unendlich (z.B. Rotationsparaboloid)

c) Sei $\begin{eqnarray*} r(u_1)=c \end{eqnarray*}$ Geodäte und $\begin{eqnarray*} r'(u_1)= 0 \end{eqnarray*}$ , dann nähert sich die Geodäte (nach C.R.) dieser so gegebenen Geodäte asymptotisch an.

Allgemein gilt für Geodäten:

1) Bestimme Einheitsnormalenfeld (ENF)
2) Bestimme $\begin{eqnarray*} c'' \end{eqnarray*}$ der Kurve
3) Ist $\begin{eqnarray*} c'' || ENF \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine Geodäte

Ich hab auch noch eine "strenge" Definition, aber davon weiß ich spontan die Hälfte der Zeichen nicht einzugeben. Wenn's unbedingt notwendig fürs Verständnis ist, dann würde ich diese noch nachreichen.

31.08.2007, 21:22

Abakus

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von mylittlehelper
Allgemein gilt für Geodäten:

1) Bestimme Einheitsnormalenfeld (ENF)
2) Bestimme $\begin{eqnarray*} c'' \end{eqnarray*}$ der Kurve
3) Ist $\begin{eqnarray*} c'' || ENF \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine Geodäte

OK, wie wäre es dann, hier das Einheitsnormalenfeld (ENF) als ersten Schritt zu bestimmen ?

Grüße Abakus smile

02.09.2007, 18:18

mylittlehelper

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von Abakus

OK, wie wäre es dann, hier das Einheitsnormalenfeld (ENF) als ersten Schritt zu bestimmen ?

Grüße Abakus smile

Das ist zwar kein Problem (hab ich auch gemacht), aber ich kann aus $\begin{eqnarray*} c'' \end{eqnarray*}$ nicht auf ein sinnvolles $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schließen, da ich durch 2faches Integrieren eine Vielzahl von Kurven erhalte, die aber geometrisch nicht zu erschließen sind. unglücklich

04.09.2007, 21:16

Abakus

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von mylittlehelper
Das ist zwar kein Problem (hab ich auch gemacht), aber ich kann aus $\begin{eqnarray*} c'' \end{eqnarray*}$ nicht auf ein sinnvolles $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schließen, da ich durch 2faches Integrieren eine Vielzahl von Kurven erhalte, die aber geometrisch nicht zu erschließen sind. unglücklich

Ich hätte mir jetzt eine Rechnung gewünscht, dann hätten wir näher schauen können. Du hast natürlich zusätzlich die weitere Bedingung mit dem "tangential". Das muss bei der Rechnung noch an geeigneter Stelle eingehen, denke ich.

Grüße Abakus smile

05.09.2007, 09:48

mylittlehelper

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von Abakus
Ich hätte mir jetzt eine Rechnung gewünscht, dann hätten wir näher schauen können. Du hast natürlich zusätzlich die weitere Bedingung mit dem "tangential". Das muss bei der Rechnung noch an geeigneter Stelle eingehen, denke ich.
Grüße Abakus smile

Ok, dann hier die Rechnung ( $\begin{eqnarray*} f_u \end{eqnarray*}$ ist die Richtungsableitung nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} f_u(u,v)=\left(r'(u)\cos v, r'(u)\sin v, h'(u)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_v(u,v)=\left(-r(u)\sin v, r(u)\cos v, 0\right) \end{eqnarray*}$

Kreuzprodukt:

$\begin{eqnarray*} \tilde n := f_u \times f_v = \left(-r(u)h'(u)\cos v, -r(u)h'(u)\sin v, r(u)r'(u)\right) \end{eqnarray*}$

Normieren (Betrachten nur Punkte mit $\begin{eqnarray*} r(u)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} ||\tilde n||=\sqrt{r(u)^2h'(u)^2+r(u)^2r'(u)^2}=r(u)\sqrt{h'(u)^2+r'(u)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\; n = \frac{1}{\sqrt{h'(u)^2+r'(u)^2}}\cdot \left(-h'(u)\cos v, -h'(u)\sin v, r'(u)\right) \end{eqnarray*}$

Nun zu $\begin{eqnarray*} c'' \end{eqnarray*}$ :

1) Mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ tangential zu $\begin{eqnarray*} u=\tfrac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} u\equiv const. \end{eqnarray*}$ .
2) Mit $\begin{eqnarray*} c''|| n \end{eqnarray*}$ und 1) folgt $\begin{eqnarray*} c''(v)= k_1(u)\cdot\left(-h'(u)\cos v, -h'(u)\sin v, r'(u)\right) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k_1(u)\in\mathbb{R}[u]\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

Zweimal integrieren nach $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liefert dann (alle auftretenden $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sind reelle Zahlen oder von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ abhängige reelle Funktionen):

$\begin{eqnarray*} c_u(v)=\left(k_1(u)h'(u)\cos v+k_{2_1}(u)v+k_{3_1}(u), k_1(u)h'(u)\sin v+k_{2_2}(u)v+k_{3_2}(u), \tfrac{1}{2}k_1(u)r'(u)v^2+k_{2_3}(u)v+k_{3_3}(u) \right) \end{eqnarray*}$

Und nun?

08.09.2007, 15:20

Abakus

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von mylittlehelper
Es sei $\begin{eqnarray*} T\subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ der Rotationstorus, der durch die Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} x(u,v)=\left((r\cos u+a)\cos v, (r\cos u+a)\sin v,r\sin u \right) \end{eqnarray*}$

mit Konstanten $\begin{eqnarray*} 0<r<a \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Ich denke, dass das ENF von x(u, v) zu berechnen ist. Das ist der vorgegebene Torus.

Oder anders: wieso hast du das ENF von f berechnet, was mit der Aufgabe ja direkt nichts zu tun hat ?

Grüße Abakus smile

08.09.2007, 16:30

mylittlehelper

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von Abakus
Oder anders: wieso hast du das ENF von f berechnet, was mit der Aufgabe ja direkt nichts zu tun hat ?

Weil ich nicht richtig hingeschaut habe, beim durchrechnen. Ist aber kein Problem, da meine Rechnung für eine allgemeine Rotationsfläche geht. Setzen wir also $\begin{eqnarray*} r(u):=r\cos u+a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(u):=r\sin u \end{eqnarray*}$ so erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} r'(u)=-r\sin u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h'(u)=r\cos u \end{eqnarray*}$

Damit (ENF):

$\begin{eqnarray*} n = \frac{1}{r}\cdot \left(-r\cos u\cos v, -r\cos u \sin v, -r\sin u\right) = \left(-\cos u\cos v, -\cos u \sin v, -\sin u\right) \end{eqnarray*}$

Und schließlich:

$\begin{eqnarray*} c''(v)= k_1(u)\cdot\left(\cos u\cos v, \cos u \sin v, \sin u\right) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k_1(u)\in\mathbb{R}[u]\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

Durch Integrieren erhalten wir dann:

$\begin{eqnarray*} c_u(v)=\left(k_1(u)\cos u \cos v+k_{2_1}(u)v+k_{3_1}(u), k_1(u)\cos u\sin v+k_{2_2}(u)v+k_{3_2}(u), \tfrac{1}{2}k_1(u)\sin u\cdot v^2+k_{2_3}(u)v+k_{3_3}(u) \right) \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 00:25

Abakus

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von mylittlehelper
Damit (ENF):

$\begin{eqnarray*} n = \frac{1}{r}\cdot \left(-r\cos u\cos v, -r\cos u \sin v, -r\sin u\right) = \left(-\cos u\cos v, -\cos u \sin v, -\sin u\right) \end{eqnarray*}$

Und schließlich:

$\begin{eqnarray*} c''(v)= k_1(u)\cdot\left(\cos u\cos v, \cos u \sin v, \sin u\right) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k_1(u)\in\mathbb{R}[u]\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

OK, das ENF sieht jetzt passabel aus. Versuchen wir nun, den nächsten Schritt zu klären. Kannst du begründen, wieso du c'' so angesetzt hast ?

Für parallele Kurven zum ENF gäbe es ja auch andere Möglichkeiten (?). Wieso nimmst du ein Polynom als Vorfaktor ?

Grüße Abakus smile

09.09.2007, 09:26

mylittlehelper

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von Abakus
Für parallele Kurven zum ENF gäbe es ja auch andere Möglichkeiten (?). Wieso nimmst du ein Polynom als Vorfaktor ?

Parallelität heißt ja llineare Abhängigkeit. Und in der Tat - wenn ich drüber nachdenke - sollte $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ wohl tatsächlich "nur" eine reelle Zahl sein. Das Vorzeichen habe ich dann mit ins $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ gesteckt, nur zur Vereinfachung.

09.09.2007, 11:48

Abakus

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus

Zitat:

Original von mylittlehelper
Parallelität heißt ja llineare Abhängigkeit. Und in der Tat - wenn ich drüber nachdenke - sollte $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ wohl tatsächlich "nur" eine reelle Zahl sein. Das Vorzeichen habe ich dann mit ins $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ gesteckt, nur zur Vereinfachung.

Parallel heißt (im geometrischen Sinne) eigentlich "verschoben" mittels eines konstanten Vektors. Das ist hier aber nicht gemeint, sondern gemeint ist die Kollinearität der Vektoren: ich habe dazu einmal hier nachgeschaut: Geodätische Krümmung.

$\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ ist also nur ein konstanter Vorfaktor, ja. Die nächste Frage ist dann, wieso du $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ als Variable in deiner Kurvengleichung genommen hast (bietet sich das aus irgendeinem Grund an ?). Nach Wiki müsste die (noch unbekannte) Geodäte c nach der Bogenlänge s parametrisiert sein.

Grüße Abakus smile

28.04.2009, 17:48

Yak

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RE: Differentialgeometrie: Geodäte auf dem Torus
Hallo Leute,

ich weiß nicht, wie alt diese Diskussion ist; ich bin im Zusammenhang
mit einer ähnlichen Frage darauf gestossen.
Jetzt habe ich ein Programm erstellt, das Geodäten auf dem Torus
numerisch errechnet und grafisch darstellt. Mit der Vorgabe, dass
man in einem Punkt S des Kreises

$\begin{eqnarray*} \qquad k:\quad u=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

in tangentialer Richtung startet, ergibt sich das folgende Bild:

http://www.matheboard.de/attachmentedit.php#

Man kann sich nun klar machen:

1.) Ausgehend vom Startpunkt S weicht die Geodäte nach aussen vom Kreis k ab,
also in den Bereich mit $\begin{eqnarray*} \qquad u<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

2.) Die Geodäte überquert den "Äquator" u=0 in einem Punkt A unter einem Winkel alpha .

3.) Die Fortsetzung der Geodäte über A hinaus ist symmetrisch zum Geodätenbogen SA:
bei dieser Symmetrie entspricht einem Punkt P(u,v) zwischen S und A der Punkt

$\begin{eqnarray*} \qquad\overline{P}(-u,2*v_A-v) \end{eqnarray*}$

Daraus kann man schliessen, dass die Geodäte ebenfalls tangential
zum Kreis

$\begin{eqnarray*} \qquad\overline{k}:\quad u=\frac{-\pi}{2} \end{eqnarray*}$

sein muss. Insgesamt wiederholt sich der Verlauf der
Geodäte periodisch, wobei sie immer wieder die beiden
Kreise $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{k} \end{eqnarray*}$ berührt, aber nie überschreitet.
Daraus folgt die behauptete Eigenschaft, dass sie sich
ganz im Bereich T mit |u|<= pi/2 befindet.

Gruß Yak

14.12.2011, 18:33

m4x1mum

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Satz von Clairaut => cos

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