Lösen einer Ungleichung

27.08.2007, 14:25

blub85

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Lösen einer Ungleichung

Servus,

ich versuche folgene Ungleichung zu lösen und gehe so vor:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2} \mid < x \end{eqnarray*}$

das ganze dann $\begin{eqnarray*} \cdot (x-2) \end{eqnarray*}$ . Dann muss ich doch jetzt eine Fallunterscheidung machen, da falls $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$ geilt ist der Term positiv und es bleibt bei " $\begin{eqnarray*} ... < x \end{eqnarray*}$ ", wenn aber $\begin{eqnarray*} x < 2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann müsste es doch $\begin{eqnarray*} ... > x \end{eqnarray*}$ dann heißen oder ?!

Naja, ich gehe weiter.

$\begin{eqnarray*} x+4 < x^2 -2x \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} 0 < x^2 - 3x -4 \end{eqnarray*}$

was das gleiche ist wie

$\begin{eqnarray*} 0 < (x+1)(x-4) \end{eqnarray*}$

Wenn man das jetzt auflöst bekommt man einmal

$\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ raus und einmal $\begin{eqnarray*} x > 4 \end{eqnarray*}$ .

Die Lösung der Aufgabe ist aber $\begin{eqnarray*} x > 4 \end{eqnarray*}$ , das hab ich mit nem Matheprogramm nachgeschaut.

Wo ist denn mein Fehler ?? Danke für die Hilfe!

27.08.2007, 14:51

Dual Space

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RE: Lösen einer Ungleichung
Schreib die Fallunterscheidung mal sauber auf, dann siehst du, dass eine Lösung nicht in Frage kommt, weil sie nicht mit der Fallvoraussetzung konform ist.

27.08.2007, 15:16

blub85

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hm?!? Aber es gibt doch eine Lösung?! Irgendwie verstehe ich Deine Argumentation nicht ganz.

Aber ich schreib das mal sauberer... habe eben noch bisschen dran gearbeitet und einen "schöneren" Weg gefunden:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2} \mid < x \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x-2} < x \end{eqnarray*}$ , falls gilt $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2} \mid > 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -\frac{x+4}{x-2} < x \end{eqnarray*}$ , falls gilt $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2} \mid < 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit ???

Wie hab ich dann vorzugehen. Beide Ungleichungen weite rauflösen, oder ?!

27.08.2007, 15:18

Dual Space

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Zitat:

Original von blub85
Aber ich schreib das mal sauberer...

OK.

Freude

Zitat:

... falls gilt $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2} \mid < 0 \end{eqnarray*}$

unglücklich

Wan soll denn ein Betrag echt kleiner als Null sein?

Edit: Mach es so:

1. Fall (x<2): ...

2. Fall (x>2): ...

Bemerkung zu x=2: ...

27.08.2007, 15:29

blub85

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Zitat:

Zitat:

... falls gilt $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2} \mid < 0 \end{eqnarray*}$

unglücklich

Wan soll denn ein Betrag echt kleiner als Null sein?

Ich meinte auch ".]... falls gilt $\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x-2}< 0 \end{eqnarray*}$

Aber okay, gehen wir nochmal an meine erste Idee ran. Mit der Fallunterscheidung bei der Multiplikation mit (x-2).

Dazu habe ich ja in meinem allerersten Post was geschrieben... Wo ist denn da ein Fehler, ich bin doch eigentlich richtig vorgegangen oder ???

Guck gerade nochmal drüber.

Vielen Dank für Deine Hilfe !!

27.08.2007, 15:33

tmo

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da sind mehrere fehler drin.

wenn du nur die letzte ungleichung hast also:

$\begin{eqnarray*} 0<(x+1)(x-4) \end{eqnarray*}$

dann ist sie für alle x kleiner -1 und für alle x größer 4 gültig.

zusätzlich hast du aber vorher noch eine fallunterscheidung gemacht und zwar x > 2.

also fallen welche werte aus der lösungsmenge raus?

und danach musst du immer noch den fall x<2 betrachten.

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27.08.2007, 15:35

Dual Space

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RE: Lösen einer Ungleichung
Mal ein Anhaltspunkt für dich, blub85:

Im Fall x>2 erhältst du das Lösungsintervall $\begin{eqnarray*} (4,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Edit: Berichtigt.

27.08.2007, 15:45

blub85

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ah okay, das hatte ich vergessen, das sich ja x>2 etc. habe...

Ich rechne mal schnell den Fall x>2 vor.

Es gilt hier:

$\begin{eqnarray*} 0 < (x+1)(x-4) \end{eqnarray*}$

Ich bekomme als Ergebnis $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 4 \end{eqnarray*}$ raus. Unter beachtung von $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$ ist mein "Lösungsintervall" bei Fall 1 ( x>2 ) doch $\begin{eqnarray*} [2, \infty) \end{eqnarray*}$

aber warum 2 bis 4 wie DualSpace das sagt? Es gilt doch x>2 und x>4 ?!?

27.08.2007, 15:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85
$\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 4 \end{eqnarray*}$

Tja, und was bedeutet das?

27.08.2007, 15:54

blub85

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von blub85
$\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 4 \end{eqnarray*}$

Tja, und was bedeutet das?

Du musst noch das $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$ mit einbeziehen ?! Und was das bedeutet hab ich doich eben schonmal gesagt... lies mal meinen Post vorher durch, da hab ich ganz genau erklärt wie ich auf mein Lösungsintervall komme.

27.08.2007, 15:56

Dual Space

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Zitat:

Original von blub85
aber warum 2 bis 4 wie DualSpace das sagt?

Sorry, meine Schuld. Siehe mein Edit.

27.08.2007, 16:01

tmo

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dann setz doch einfach mal 3 ein...dann wirst du sehen, dass das nicht klappt.

und übrigens folgt aus $\begin{eqnarray*} 0 < (x+1)(x-4) \end{eqnarray*}$ , dass x kleiner als -1 ist (dann sind beiden faktoren negativ --> produkt positiv) oder x größer als 4 ist (dann sind beiden faktoren positiv).

d.h. das intervall $\begin{eqnarray*} [-1;4] \end{eqnarray*}$ scheidet eh schonmal aus.

wenn jetzt noch x > 2 gefordert wird, dann fällt noch ein teil der lösungsmenge raus. welcher ist das und welcher bleibt dann noch übrig?

27.08.2007, 16:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von blub85
$\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 4 \end{eqnarray*}$

Tja, und was bedeutet das?

Du musst noch das $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$ mit einbeziehen ?! Und was das bedeutet hab ich doich eben schonmal gesagt... lies mal meinen Post vorher durch, da hab ich ganz genau erklärt wie ich auf mein Lösungsintervall komme.

Wenn du dir nicht helfen lassen willst, bist du selber schuld...

27.08.2007, 16:06

blub85

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hallo,

ich hab mir das mit dem good old Zahlenstrahl klar gemacht.

Es gelten ja im Fall1 (x>2):

x>-1;
x>4 und
x>2.

Dann ist klar dass daraus die Lösung x>4 sich ergibt!

Gehn wir ma schnell zu Fall2:

Hier gilt doch folgendes:

x<-1
x<4
und
x<2

Als Lösung müsste also hier x<-1 sein. Ist es laut meiner DeriveLösung auch nicht.... warum denn das? unglücklich

unglücklich

27.08.2007, 16:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85
Es gelten ja im Fall1 (x>2):

x>-1;
x>4 und
x>2.

Dann ist klar dass daraus die Lösung x>4 sich ergibt!

Genau das wollte ich aus dir herauskitzeln. x > 2 ist hier im übrigen irrelevant.

27.08.2007, 16:09

tmo

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warum vertauscht du denn schon die ganze zeit das ungleichungszeichen vor -1?

es gilt im fall 1: (x < -1)

im fall 2 wiederum gilt:

x<4
x>-1
x<2

wie sieht also die lösung für den fall 2 aus?

und wie sieht dann die letztendliche lösung der ursprünglichen ungleichung aus?

27.08.2007, 16:18

blub85

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@tmo: hm, das versteh ich gerade nicht....

Ich gehe so an die Sache bei

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x+4}{x-2}\mid < x \end{eqnarray*}$

Ich multipliziere dann mit (x-2) und falls x<2 ist (<-FALL 2 !!) kommt ja das dann bei raus:

$\begin{eqnarray*} x+4 > x \cdot (x-2) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0 > x^2 - 3x -4 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0 > (x+1)(x-4) \end{eqnarray*}$

und daraus folgere ich:

x < -1
und
x< 4
und es gilt noch
x < 2

27.08.2007, 16:22

WebFritzi

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Du musst zwischen den Fällen

1. x > 2
2. -4 <= x < 2
3. x < -4

unterscheiden.

27.08.2007, 16:23

tmo

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dann setze halt mal -5 ein...

dann hast du

$\begin{eqnarray*} 0 > -4 \cdot (-9) \end{eqnarray*}$

langsam sollte dir was auffallen..

oder guckmal hier:

27.08.2007, 16:24

blub85

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warum das denn??? du sparst echt immer mit worten bei den antworten Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich versteh das kaum...

Ich multipliziere doch mit (x-2) und muss nur schauen ob dieser Term pos. ode rneg. ist. Also mache ich eine Fallunterscheidung mit x>2 und x<2...... ?!?

Kann mir nicht einer mal den Fall (x<2) vorrechnen, dann kapier ich den auch. bzw. mir sagen wo der Fehler ist... (siehe meinen letzten post!).

scheiß mathe! traurig

traurig

P.S.: bin infostudent und werde so gequält in meinen semesterferien.,...

27.08.2007, 16:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85
scheiß mathe! traurig

traurig

P.S.: bin infostudent und werde so gequält in meinen semesterferien.,...

LOL, hey, nicht verzagen. Wie ich schon sagte, solltest du die obigen drei Fälle unterscheiden. Ich rechne dir mal den 2.Fall vor: -4 <= x < 2.

Dann ist x - 2 < 0 und $\begin{eqnarray*} x+4 \ge 0. \end{eqnarray*}$ Also

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x+4}{x-2}\right| < x \Leftrightarrow \frac{x+4}{2-x} < x \Leftrightarrow x+4 < x(2-x). \end{eqnarray*}$

Jetzt wirst du weiterrechnen können, oder?

27.08.2007, 17:01

blub85

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ja, das ist aber undefiniert... bzw. es gibt keine Lösung zu diesem Fall.

wenn man weiter ausflöst komm ich auf

$\begin{eqnarray*} 0 < -x^2 +x-4 \end{eqnarray*}$

mit (-1) multipliziert:

$\begin{eqnarray*} 0 > x^2 -x +4 \end{eqnarray*}$

Der rechte Term hat allerdings keine Nullstellen, also komm ich auf keine Form à la 0 > (x-..)(x-..).

?!?

edit: und vorallem, wie komme ich auf diese 3 fälle ?? -4 ist ne Nullstelle, das ist mir bewusst. aber warum muss ich die gesondert betrachten, bzw. mit in meine Fälle einbeziehen ?

27.08.2007, 17:03

tmo

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und was schließt du daraus?

die parabel ist nach oben geöffnet und sie hat keine nullstellen.

was sagt das über die ungleichung aus?

27.08.2007, 17:04

blub85

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dass sie keine lösung hat ?!

edit: bzw. dass sie unwahr ist.

Hammer

Hammer

27.08.2007, 17:15

tmo

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das ist richtig.

der fall x < -4 ist trivial, da die linke seite immer nichtnegativ ist.

damit bleibt nur noch der fall x > 2, welcher schon eingehend betrachtet wurde.
damit wäre die aufgabe gelöst.

27.08.2007, 17:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85
dass sie keine lösung hat ?!

edit: bzw. dass sie unwahr ist.

Hammer

Hammer

Die erste Formulierung ist die bessere. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2007, 17:23

blub85

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mmmh, okay. das ist dann wohl die Lösung.

Nochmal ne allg. Frage: genügt es nicht die zwei Fälle zu betrachten? Warum muss ich da noch meine Nullstelle (-4) mit reinbringen ?

danke

p.s.: MUSS ich das oder KANN ich die Nullstelle mit einbeziehen ?

27.08.2007, 18:05

tmo

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um den betrag aufzulösen, musst du bei stetigen funktionen die nullstellen mit VZW betrachten.

-4 ist eine solche.

27.08.2007, 20:25

WebFritzi

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Du MUSST es nicht, aber es hilft.

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