Alle Lösungen von z^2 = -1

28.08.2007, 12:16

Blacks

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Alle Lösungen von z^2 = -1

Hallo,
die Aufgabe lautet Ermitteln Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z² = -1 \end{eqnarray*}$

Die einzigen Lösungen sind soweit ich weiss die komplexen Zahlen i und -i.
Ich habe nun die Zahl -1 als komplexe Zahl in Polarkoordiantendarstellung geschrieben:

$\begin{eqnarray*} -1 = -1 + 0i = 1(\cos0 + i\sin0) \end{eqnarray*}$

Die Lösungen in Polarkoordinatenform haben also den Radius:

$\begin{eqnarray*} R = \sqrt{1} = \pm 1 \end{eqnarray*}$

und den Winkel:

$\begin{eqnarray*} \alpha = (0+2\Pi k)/n \end{eqnarray*}$ , mit k = 0 und 1 , n=2

Das heisst die beiden Lösungen für $\begin{eqnarray*} z² = -1 \end{eqnarray*}$ lauten:

$\begin{eqnarray*} z = \pm 1(\cos (0) + i\sin (0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = \pm 1(\cos (\Pi ) + i\sin (\Pi )) \end{eqnarray*}$

Dies kann aber nicht sein.
Kann mir jemand helfen?

Bitte keine anderen Lösungswege, ich möchte das auf diese Art verstehen. Das gleiche Vorgehen hat bei der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} z^4 = 1/2(i\sqrt{3} -1) \end{eqnarray*}$
wunderbar geklappt.

28.08.2007, 12:20

Calvin

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RE: Alle Lösungen von z^2 = -1

Zitat:

Original von Blacks
$\begin{eqnarray*} -1 = -1 + 0i = 1(\cos0 + i\sin0) \end{eqnarray*}$

Hier ist der Fehler. Der Winkel ist nicht 0, sondern $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

28.08.2007, 12:20

tigerbine

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RE: Alle Lösungen von z^2 = -1
Schreibe:

$\begin{eqnarray*} z^2-1=0 \end{eqnarray*}$

und es ist klar, dass die Losungen die zweiten Einheitswurzeln sind.

Der Radius ist nicht negativ Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2007, 12:27

Blacks

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Tut mir leid, abe ich verstehe eure beiden Antworten nicht.

Wieso ist der Winkel den Pi?

$\begin{eqnarray*} -1 = -1 + 0i \end{eqnarray*}$

der Winkel ist doch $\begin{eqnarray*} \tan^-1 (y/x) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \tan^-1 (0/-1) \end{eqnarray*}$ und das ist gleich 0.

Und wieso soll ich $\begin{eqnarray*} z^2 -1 = 0 \end{eqnarray*}$ schreiben?
Die Aufgabe lautet $\begin{eqnarray*} z^2 = -1 \end{eqnarray*}$ , umgeformt also wenn schon:

$\begin{eqnarray*} z^2 + 1=0 \end{eqnarray*}$

28.08.2007, 12:29

kiste

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Schön das du irgendwelche Formeln auswendig gelernt hast aber cos(0) ist nunmal 1 und nicht -1.

Bei der Gleichung hat bine sicher einen Tippfehler gemacht, die Lösungen i und -i ist bei dieser Aufgabe aber tatsächlich am schnellsten, das es keine andere geben kann ist ja klar

28.08.2007, 12:31

Calvin

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Bei der Berechnung des Winkels hängt es davon ab, in welchem Quadrant man sich befindet. Der arctan gibt lediglich den kleinsten Winkel zur reellen Achse an. Deshalb braucht man da jede Menge Fallunterscheidungen. Arthur Dent hat mal eine sehr gute Zusammenfassung gemacht: [Workshop] Komplexe Zahlen

PS wenn du mit LaTeX mehrere Zeichen hochstellen willst, mache geschweifte Klammern drum.

code:
1:	tan^{-1}

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28.08.2007, 12:42

Blacks

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So langsam zweifele ich echt an mir selbst.

Zu Kiste:

Zitat:

Schön das du irgendwelche Formeln auswendig gelernt hast aber cos(0) ist nunmal 1 und nicht -1.

1. Ich denke nicht, dass man hier frech werden muss.
2. Hab ich je behauptet, dass der Cosinus von 0 -1 ist?
3. Dass die Lösungen i und -i sind, weiss ich auch. Hab ich ja am Anfang schon geschrieben. Ich wollte nur wissen, wie man durch die beschriebene Methode auf die Werte kommt.

Zu Calvin:
Danke für den Tip mit den geschweiften Klammern, ich werd dran denken.
Jetzt hab ichs verstanden. Hab nicht auf den Quadranten geachtet.
mit dem Winkel Pi kommen auch i und -1 raus.
Danke!

28.08.2007, 12:47

tigerbine

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zu mir

Big Laugh

Ich möchte nochmal darauf hinweisen, dass folgendes falsch ist

Zitat:

Blacks

$\begin{eqnarray*} R = \sqrt{1} = \pm 1 \end{eqnarray*}$

28.08.2007, 12:50

WebFritzi

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Du kannst es dir auch einfach in der Gaußschen Zahlenebene vorstellen. Von dem Punkt (1,0) kommst du durch eine Drehung von 180 Grad zum Punkt (-1,0). Also ist der Winkel von -1 180 Grad, und das entspricht pi.

28.08.2007, 12:55

kiste

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Zitat:

Original von Blacks
2. Hab ich je behauptet, dass der Cosinus von 0 -1 ist?

mhh mal sehen:

Zitat:

Original von Blacks
$\begin{eqnarray*} -1 = -1 + 0i = 1(\cos0 + i\sin0) \end{eqnarray*}$

Ein Koeffizientenvergleich liefert deine Annahme $\begin{eqnarray*} -1 = \cos 0 \end{eqnarray*}$

28.08.2007, 12:56

Blacks

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Ja, $\begin{eqnarray*} R = \sqrt{1} = \pm 1 \end{eqnarray*}$

das ist peinlich. Der Radius ist immer positv.
Deshalb meinte ich auch, dass ich so langsam an mir zweifle.

Danke Fritzi, das Vorstellen ist richtig und auch nicht so schwer, habs aber voll vergessen.
Aber das kennen wohl alle hier. Je länger man an einer Aufgabe sitzt, desto blinder wird man für die einfachsten Fehler.

28.08.2007, 13:03

Blacks

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Mensch Kiste...

Ich hab den Winkel 0 benutzt weil ich im falschen Quadranten gedacht habe. Ich war im ersten anstatt im 2ten.
Wenn du meine Gleichung unbedingt pingelich zurückrechnen willst, dann steht da: cos(0) = -1.
Aber das hab ich nie gedacht, noch gerechnet. Es ist einfach ein Folgefehler, weil ich den Quadranten verwechselt habe.

Außerdem hat mir dein Kommentar nicht geholfen, im gegensatz zu Calvin, Tigerbine und Fritzi. An diese, danke nochmal!

28.08.2007, 13:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von Blacks
Außerdem hat mir dein Kommentar nicht geholfen

Das hätte er aber sollen. Wenn du ein wenig nachgedacht hättest... Sei lieber froh, dass sich kiste mit deinem Problem auseinandergesetzt hat.

28.08.2007, 13:18

Blacks

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Moment mal bitte...

Ich soll froh darüber sein, dass ich mir erstmal einen Kommentar anhören muss, von wegen:
"Schön das du irgendwelche Formeln auswendig gelernt hast"?

Das Problem war, dass ich im falschen Quadranten gedacht habe, nicht dass ich den cos(0) für -1 gehalten hätte.
Kiste hat lediglich gesagt, dass der cos(0) = 1 ist. Das ist mir nichts neues.

Wenn ich jemandem helfen will, dan tue ich dies vernünftig und vor allem freundlich. Das ist ja wohl nicht zu viel verlangt.

28.08.2007, 13:30

kiste

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Nein das Problem war das du nicht nachgedacht hast. Wenn dir klar ist das cos 0 = 1 ist warum hast du dann den Fehler nicht gesehen?
Du wusstest offensichtlich dass das Ergebnis falsch ist, was macht man dann also? Richtig man sucht den Fehler zuerst einmal. Und ich behaupte jetzt einfach einmal du hättest ihn finden können wenn du dich damit auseinnander gesetzt hättest.

Deine Begründung mit im falschen Quadranten gedacht kann ich nicht annähernd verstehen. Für mich sah es so aus als ob du blind einer Formel vertraut hast die offensichtlich in diesem Fall falsch war und ich hab dich darauf, vllt. etwas hart das kann gut sein, hingewiesen.

Ich habe vllt. auch nicht viel zur Lösung deines speziellen Problems beigetragen aber du solltest trotzdem meinen Kommentar nicht einfach abtun. Es ist wichtig das du über die Dinge die du machst nachdenkst und nicht nur stur irgendetwas rechnest sonst wirst du zumindest in der Mathematik nicht weit kommen.

Weitere Diskussionen können wir gerne per PM führen, ich denke nicht dass das Forum weiter zugemüllt werden muss

Mit freundlichem Gruß,
kiste Tanzen

Tanzen

28.08.2007, 13:31

Dual Space

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Zitat:

Original von Blacks
Ich soll froh darüber sein, dass ich mir erstmal einen Kommentar anhören muss, von wegen:
"Schön das du irgendwelche Formeln auswendig gelernt hast"?

Warum fühlst du dich durch diese Aussage so auf den Schlipps getreten? Jeder darf wohl von sich behaupten, dass er die ein oder andere Formel auswendig kann. Den dazugehörigen Zynismus hast du ins Spiel gebracht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Blacks, aber mal ehrlich. kiste hat dich doch nur auf einen Fehler aufmerksam gemacht.

28.08.2007, 13:47

Blacks

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Mein Problem sind deine Unterstellungen Kiste.

Du unterstellst mir, dass ich eine auswendig gelernte Formel blind angewendet habe.
Du unterstellt mir, dass ich nicht nachgedacht habe.
Du unterstellst mir, dass ich nicht gründlich genug nach dem Fehler gesucht habe.
Ich kann dir sagen, dass das alles nicht stimmt.

Glaub mir, ich habe genug über der Aufgabe gesessen und den fehler versucht zu finden. Es tut mir leid, dass ich ihn nicht gefunden habe, sowas soll vorkommen.

Und Kiste hat mich nicht auf einen Fehler aufmerksam gemacht. Kiste hat geschrieben, dass cos(0) = 1 ist und nicht =-1.
Aber diesem Fehler habe ich nie gemacht. Ich habe nie gedacht, dass cos(0) = -1. Das hat sich einzig und allein aus dem Verwechseln der Quadranten ergeben. Vielleicht habe ich das Minuszeichen bei -1+0i übersehen, dann wäre der Winkel ja 0, oder sonst was.

28.08.2007, 13:52

mYthos

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Zitat:

Original von kiste
Schön das du irgendwelche Formeln auswendig gelernt hast aber cos(0) ist nunmal 1 und nicht -1.
...

Ich halte das klipp und klar für nicht angebracht und unhöflich! Das zeigt auch die (allerdings halbherzige) Entschuldigung von @kiste ...

mY+

28.08.2007, 14:05

kiste

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@mYthos
Der Kommentar war weder unhöflich gemeint noch unangebracht. Das er grenzwertig ist gebe ich zu, beleidigend oder ähnliches war er aber nicht gemeint! Ich denke das sieht man auch daran das Dual Space ihn anders(anscheinend so wie ich es ursprünglich meinte) interpretiert wie du oder Blacks. Die von dir halbherzige genannte Entschuldigung habe ich nur gemacht um das zu unterstreichen.
Die Diskussion dannach führe ich ja wohl nur weil ich für einen Kommentar angeschnauzt werde, mit dem ich helfen wollte.

@Blacks
"Du unterstellst mir, dass ich eine auswendig gelernte Formel blind angewendet habe."
Ja so hatte es zumindest den Anschein. Du hast was genau gemacht?

"Du unterstellt mir, dass ich nicht nachgedacht habe.
Du unterstellst mir, dass ich nicht gründlich genug nach dem Fehler gesucht habe."
Und du hast was genau gemacht? Wer gründlich nachgedacht hat wird sicher entweder das mit dem cos entdecken oder sehen das wurzel aus 1 eben nicht -1 ist?!

Das sind nunmal 2 Indikatoren die mich zu meiner Annahme führen. Wenn es wirklich so ist das du einen totalen Blackout hattest entschuldige ich mich dafür, den Anschein hat es aber nicht.

28.08.2007, 14:13

Blacks

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Was genau ich gemacht habe, habe ich in meinem ersten beitrag deutlich genug erläutert.

Ich sage es jetzt noch einmal: Ich habe nicht den Fehler cos(0) = -1 gemacht. Das hat sich aus dem Verwechseln der Quadranten ergeben.

Und die Wurzel aus 1 kann auch -1 sein. Nur eben in diesem Fall nicht. Das war aber für mein Problem nicht entscheidend.

Aber wir drehen uns hier im Kreis. Das wars von meiner Seite.

28.08.2007, 14:27

kiste

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Ok dann mache ich noch den Abschluss:
- Ich habe nicht behauptet du hättest den Fehler cos(0)=-1 gemacht, ich habe behauptet es hätte dir auffallen müssen
- Die Wurzel ist eine Funktion der positiven reellen Zahlen in die positiven reellen Zahlen. Von daher muss $\begin{eqnarray*} \sqrt 1 = 1 \end{eqnarray*}$ gelten. Was du meinst ist das die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$ die Lösungen $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt 1 \end{eqnarray*}$ hat.

Gruß kiste Wink

Wink

28.08.2007, 14:34

Dual Space

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Darf ich alle Beteiligten bitten, die Tatsachen im Auge zu behalten?

Es ist unbestritten, dass cos(0)=1 ist. Und was bitte ist so dramatisch an der Unterstellung man hätte Formeln auswendig gelernt?

Zum hiesigen Disput führten lediglich subjektive Deutungen der Aussage von kiste und deren individuelle Interpretation.

28.08.2007, 14:36

klarsoweit

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Mir juckt es im Finger, mich auch noch einzumischen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von kiste
- Ich habe nicht behauptet du hättest den Fehler cos(0)=-1 gemacht, ich habe behauptet es hätte dir auffallen müssen

Da stimme ich kiste zu. Diese Formel hat Blacks offensichtlich nicht genau genug auf Korrektheit geprüft:

Zitat:

Original von Blacks
$\begin{eqnarray*} -1 = -1 + 0i = 1(\cos0 + i\sin0) \end{eqnarray*}$

Merke: Nach sturer Anwendung einer Formel sollte man immer die erhaltenen Ergebnisse prüfen. Der entsprechende Hinweis von kiste mag zwar etwas lapidar sein, aber frech oder beleidigend war er nicht.

28.08.2007, 18:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dual Space
Zum hiesigen Disput führten lediglich subjektive Deutungen der Aussage von kiste und deren individuelle Interpretation.

LOL

Big Laugh

Ich sach ma:

subjektive Deutungen == individuelle Interpretation

28.08.2007, 18:27

Dual Space

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Aber doppelt hält besser. Zunge

Zunge

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