rel. Fehler für Quotienten herleiten

29.08.2007, 14:17

M.I.A.

rel. Fehler für Quotienten herleiten

Hallo, ich bin gerade dabei für den Quotientn die Fehlergleichung Herzuleiten. Aber ich komme so recht nicht weiter. Für die anderen Rechenarten ist mir das gelungen. verwirrt

Ich habe folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{\tilde x}{\tilde y}=\frac{x(1+\delta_x)}{y(1+\delta_y)} \end{eqnarray*}$

irgendwie muss ich auf diesen schritt kommen
$\begin{eqnarray*} \frac{1+\delta_x}{1+\delta_y}-1 \end{eqnarray*}$

, dann ist mir klar wie man von dem auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta_x-\delta_y}{1+\delta_y} \end{eqnarray*}$

kommt. Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen smile

29.08.2007, 18:59

tigerbine

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RE: rel. Fehler für Quotienten herleiten
Definiere erst mal $\begin{eqnarray*} \delta_x,~\delta y \end{eqnarray*}$ . Später mehr. Wink

29.08.2007, 20:20

M.I.A.

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Hallo, $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

sind die beiden Fehlergrößten, so das die Zahl x maximal folgenden Fehler aufweist.

$\begin{eqnarray*} \tilde x = x+x*\delta_x \end{eqnarray*}$ und ich wollte halt die allgemeine Form herleiten für die Division, aber ich komme nicht auf den Term der die genaue Fortpflanzung der beiden Fehler beschreibt.

29.08.2007, 22:29

tigerbine

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Welche Fehler? Relativ oder absolut?Rundung auf Maschinenzahlen:

absoluter Fehler
$\begin{eqnarray*} x-rd(x) \end{eqnarray*}$

relativer Fehler
$\begin{eqnarray*} \frac{x-rd(x))}{y} \end{eqnarray*}$

Meinst du vielleicht das. Mit den Bezeichnungen

$\begin{eqnarray*} \hat x := rd(x):=(1-e_x)x,~\hat y:= rd(y):=(1-e_y) \end{eqnarray*}$

Die e sind die relativen Fehler von x bzw. y.

Nun möchte man $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ berechnen. Dabei betrachten wir den absoluten und den relativen Fehler:

absoluter Fehler
$\begin{eqnarray*} \frac{\hat x}{\hat y} = \frac{(1-e_x)x}{(1-e_y)y}= \frac{1-e_x}{1-e_y}\cdot \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

relativer Fehler

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x}{y} - \frac{\hat x}{\hat y}}{\frac{x}{y}} = \frac{e_x-e_y}{1-e_y} \end{eqnarray*}$

Ihr habt das nun mit "+" geschrieben. Aber es dürfte klar sein, dass du Durch reine Termumformung nicht von absoluten zum relativen Fehler kommst.

30.08.2007, 08:44

M.I.A.

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Zitat:

Original von tigerbine
Ihr habt das nun mit "+" geschrieben. Aber es dürfte klar sein, dass du Durch reine Termumformung nicht von absoluten zum relativen Fehler kommst.

Ach deswegen Knobel ich hier rum! Hammer

Danke für die Information, du hast mir echt weitergeholfen. Ich hätte sonst noch ewig daran gesessen. Prost

31.08.2007, 06:25

M.I.A

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relativer Fehler

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x}{y} - \frac{\hat x}{\hat y}}{\frac{x}{y}} = \frac{e_x-e_y}{1-e_y} \end{eqnarray*}$

Irgendwie komme ich nicht ganz auf das Ergebnis, weil wenn ich die Gleichung umstelle, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} [\frac{x}{y} - \frac{x(1+\epsilon_x)}{y(1+\epsilon_y)}]*\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1-\frac{1+\epsilon_x}{1+\epsilon_y} \end{eqnarray*}$

wenn man davon die Beträge nimmt stimmt das ja, aber sobald die Richtung bestimmt werden muss ist dies ja nicht korrekt, dann sollte es ja heißen

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\epsilon_x}{1+\epsilon_y}-1 \end{eqnarray*}$

damit man auf die wirklich korrekte Gleichung kommt.

03.09.2007, 11:55

tigerbine

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Hallo M.I.A.,

kannst Du mir mal sagen, wie, oder eher woher Du das Endergebnis hast, auf das Du dann nicht kommst. Am besten am Anfang den Term mit den Definitionen, dann ... und dann das was rauskommen soll.

Vielleicht können wir es dann klären.

LG,
tigerbine

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