Lineare Abbildung

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29.08.2007, 23:23	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung Nabend Ich habe folgendes Problem: geg : Symm(n)={ $\begin{eqnarray} A \in R^{n,n}\|A^T=A \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} O(o_{ij})_{ij},o_{ij}=\{ ^{1 \ \ \ 1\leq i \leq j \leq n}_{0 \ \ \ 1\leq i < j \leq n}\} \end{eqnarray}$ Gegeben ist die Abbildung $\begin{eqnarray} L \ : \ Symm(n) \rightarrow \mathbb R^{n,n}, \ A \mapsto O \cdot A \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich ich Bild,Kern und Rang bestimmen sowie sagen ob die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Ich kann mir nun nichts konkrettes drunter vorstellen :/ (wegen dem n) Kann mir jemand nen Tipp geben. Vor allem beim bild und kern :/
29.08.2007, 23:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Was ist das denn für eine komische Fallunterscheidung bei O? Sicher das das stimmt?
29.08.2007, 23:40	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh Tippfehler .... habs editiert
29.08.2007, 23:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das n steht eben allgemein für eine nxn Matrix. Mach doch mal die Falle n=1,2,3 und Stelle die Matrizen hier ein. Soll O auch symmetrisch sein?
29.08.2007, 23:58	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
O denke ich sieht mfür zum Beispiel n=3 ,so aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw alles unter der Diagonalen $\begin{eqnarray} a_11 ... a_nn \end{eqnarray}$ ist 0 und A ist eine zur gleichen Diagonalen symmetrische Matrix ... und nun die beide multipliziert. Hm da entsteht doch ein beliebige $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray}$ Matrix immer ? Wie soll ich daraus ein Bild machen ?
30.08.2007, 00:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast geschrieben: $\begin{eqnarray} o_{ij}=\begin{cases} 1& 1\leq i \leq j \leq n\\ 0 & 1\leq i < j \leq n \end{cases} \end{eqnarray}$ Was ist das dann für 3x3? i=1, j=1 => 1, i=1, j=2 => 0 oder 1, i=1, j=3 => 0 oder 1 i=2, j=1 => ?, i=2, j=2 => 1, i=2, j=3 => 0 oder 1 i=3, j=1 => ?, i=3, j=2 => ?, i=3, j=3 => 1 Denn in manchen Fällen sind beide Ungleichungen erfüllt. Der fall i > j wird gar nicht behandelt.
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30.08.2007, 00:25	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Eieieieiie .... ich bitte um Verzeiung .... sollte $\begin{eqnarray} o_{ij}=\{ ^{1 \ \ \ 1\leq i \leq j \leq n}_{0 \ \ \ 1\leq j < i \leq n}\} \end{eqnarray}$ heißen ... ich hasse gleich aussehende Indizies -.-
30.08.2007, 00:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Mathematik ist man selten über i und j hinausgekommen Also dann für n=3 $\begin{eqnarray} O\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Folgende Fragen: 1. Wie nennt man eine solche Matrix (typische Gestalt) 2. Wie bestimmt man ihre Determinante? 3. Welchen Rang hat sie hier?
30.08.2007, 00:47	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
hm 1.sieh wie ein Dreieck aus ... Dreiecksmatrix .... 2.Determinante ? hm sagt mir garnix (+1 Vorlesung) 3. Rang = 5 ?
30.08.2007, 00:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Jupp. Genauer "Obere Dreiecksmatrix" 2. Det einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Hier also +1. 3. Aua. Der Rang bezeichnet die Dimension des Bildraums einer Linearen Abbildung. Er kann aber nicht größer sein, als die Dimension der Raumes, aus dem man gekommen ist. Hier also maximal 3. Da A regulär ist (Determinante ist von 0 verschieden), invertierbar, die zug. lineare Abbildung also bijektiv ist er genau 3.
30.08.2007, 01:00	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang=dim(Bild(A)) war mir klar ... aber ich hab im moment keine hauch Ahnung wie das Bild aussehen könnte
30.08.2007, 01:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne A konkret zu kennen, kannst du das auch erstmal nicht sagen. Du musst a mit Variablen aufstellen $\begin{eqnarray} OA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weißt Du wie rang und Defekt bei endl. VR zusammenhängen? Die Bilder welche Vektoren reicht es zu betrachten?
30.08.2007, 01:11	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Dim V = Dim (kern (A))+ Dim (Bild L) ok aber wie mir das jetzt weiterhelfen soll weiß ich leider nicht ... ok dim V ist $\begin{eqnarray} n^2-2 \end{eqnarray}$ aber dann brauch immer noch die das Bild oder den Kern
30.08.2007, 01:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Ist Dir auch klar, dass diese Dimensionen hier rein von der Matrix A abhängen? Edit: No, Dim(V) = n
30.08.2007, 01:18	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Dim (V)=n^2-n ? A hatt doch immer die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_2 & b_2 & b_3 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also sind doch nur die hälfte der Elemente linear unabhängig oder ?
30.08.2007, 01:20	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern von 0 ist 0 ?
30.08.2007, 01:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
moment, ich schreibe noch
30.08.2007, 01:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab aber schon kleine Augen. Ich rede über A, als Lineare Abbildung, Du über L. $\begin{eqnarray} L \ : \ A \mapsto O \cdot A \end{eqnarray}$ Du sollst ja von L Rang, Kern und Bild bestimmen. Dennoch brauchen wir das Wissen um die Matrix O. 1. Kern der Abbildung Für Welche A gilt also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lesen wir es mal Spaltenweise. Dann gelten die Forderungen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die Matrix O regulär ist, löst nur der "Nullvektor" diese Gleichungen. Also liegt im Kern von L nur die Nullmatrix, welche ja auch symmetrisch ist.
30.08.2007, 01:39	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
ok eine letzte Frage ist dan das Bild von F= $\begin{eqnarray} {A \in R^{n,n}\|A^T=A} \end{eqnarray}$ Vielen Danke
30.08.2007, 01:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
??? Wir geben eine symmtetrische Matrix rein. kommt auch wieder eine symmetrische raus? Da möchte ich erstmal einen Beweis sehen.
30.08.2007, 02:00	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
hm wohl war ... hab das ein paar praktischen beispielen durchprobiert und und kann ehrlich gesagt kein mustererkennen .... hm ne Standartbasis ist es nicht oder.
30.08.2007, 02:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung L ist regulär. D.h. Bilder l.u. "Vektoren" sind lin. unabhängig. Finde eine Basis des VR, der symm. Matrizen und bestimme die Bilder dieser Basis. Das Bild von L ist die Menge der Linearkombinationen dieser Bilder. Standard
30.08.2007, 02:19	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Blöde Frage ,ist die diagonale $\begin{eqnarray} a_{11}...a_{22} \end{eqnarray}$ zb $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},<br /> \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},<br /> \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ja ginge dann $\begin{eqnarray} B= \{ A\in \mathbb R ^{n,n} \| a_{ij}= \{ ^{1 \ \ i=j}_{0 \ \ i\neq j}\} \} \end{eqnarray}$
30.08.2007, 02:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diagonale von was? Wir suchen nun doch symmetrische Matrizen derart, dass wir alle symmetrischen Matrizen als LK selbiger darstellen können, sie sich aber nur trivial zu Nullmatrix kombinieren lassen. mir käme da folgendes in den Sinn $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&0 \\0&0&0 \\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&0 \\0&1&0 \\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&0 \\0&0&0 \\0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&1&0 \\1&0&0 \\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&1 \\0&0&0 \\1&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&0 \\0&0&1 \\0&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.08.2007, 02:45	Deka	Auf diesen Beitrag antworten »
Meite das erste was du geschrieben hast ... wenn man alle addieren würde würde eine diagonale rauskommen :P
30.08.2007, 02:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber in der Basis muss es Einzeln auftreten. Symmmetrisch heißt ja nicht, dass alle Diagonalelelemente gleich sind.

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