Ebene in Parameterform: Spurgeraden berechnen & Spurgeraden in Koordinatenform?

29.08.2007, 23:32	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene in Parameterform: Spurgeraden berechnen & Spurgeraden in Koordinatenform? Hi! Also ich hab folgendes Problem: Wir machen im Moment Spurgeraden und ich weiss wohl auch wie man die aus ner Ebenel in Koordinatenform berechnet. Was ich hingegen nicht weiss ist wie man das ganze mit einer Ebene in Parameterform macht. Wäre top wenn mir das jemand erklären könnte, hab zwar schon paar Beiträge dazu gefunden aber irgendwie waren die mir uneinsichtig. Als Beispiel sag ich einfach mal: $\begin{eqnarray} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Also bitte wenn möglich komplett mal kurz aufschreiben wi man das lösen würde Und noch was anderes: Wir haben im MatheLK die Spurgeraden in Koordinatenform ausgerechnet als mit mx+b halt hab ich noch nie irgendwo im Internet gesehen wird das überhaupt jemals so gemacht halte es nämlich für ziemlich sinnfrei (Parameterform ist viel einsichtiger)? Naja danke schonmal im vorraus Axel
29.08.2007, 23:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene in Parameterform: Spurgeraden berechnen & Spurgeraden in Koordinatenform? Spurgerade Spurgerade mit der xy-Ebene. D.h. z=0. Das führt auf die Gleichung: $\begin{eqnarray} 0 = 2 + 7s + 6t \end{eqnarray}$ Nach t umstellen, in die Ebenen Gleichung einsetzen zusammenfassen, dann hat man doch schon die Gerade.
30.08.2007, 15:19	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann käme ich auf: $\begin{eqnarray} t=-\frac{7}{6}s-\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und dann als Lösung für die Schnittebene der xy Ebene auf: $\begin{eqnarray} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 5.5 \\ \frac{-11}{6} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
30.08.2007, 16:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Probe machen Wähle 2 Punkte auf der Geraden und schaue, ob sie die Ebenengleichung erfüllen.
30.08.2007, 18:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Richtungsvektor solltest du nicht so stehen lassen, sondern passend erweitern (mit 6 multiplizieren und durch 11 dividieren) ... er wird dann zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mY+
30.08.2007, 19:43	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich find das alles merkwürdig ich komm auf kein gescheites Ergebnis... Eigentlich sollte doch schon ein Punkt auf der Gerade reichen aber nochnicht mals den bekomm ich raus. Also versteh ich es richtig das ich einfach in der Spurgerade eine beliebige Zahl für s einsetze und den Lösungvektor dann mit der Ebenengleichung gleichsetze und per LGS s und t der Ebenengleichung ausrechne?
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30.08.2007, 21:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt in der Spurgeraden beliebige s - Werte ein (z.B. s = 0 (!), s = 1, s = 2, ..) und die dadurch erhaltenen Punkte in die Ebenengleichung zurück ein. Dabei muss sich eine Identität ergeben, weil diese Punkte ja auch in der Ebene liegen müssen. Wenn du jeweils nach den Parametern s, t auflöst, muss das lin. Gl. System der drei Gleichungen in s,t eine eindeutige Lösung haben. Bemerkung zu deiner ersten Frage: In $\begin{eqnarray} R_3 \end{eqnarray}$ hat die Geradengleichung der Form y = mx + b wenig Sinn. Hier ist auschließlich die Parameterform zielführend. Ein anderer Weg zur Ermittlung der Spurgeraden besteht darin, zuerst die Ebene parameterfrei zu machen, d.h. diese in die Koordinatenform* zu bringen. Danach kann man immer eine Koordinate Null setzen, die Beziehungen in den anderen beiden Koordinaten können zur Erstellung beliebiger Punkte auf der gesuchten Spurgeraden herangezogen werden (immer eine Koordinate beliebig annehmen). *eine solche könnte sein E: x + 3y - 3z = 9; erste Spurgerade -> z = 0 x + 3y = 9 (wegen z = 0) nun 2 Punkte bestimmen, wobei die obigen beiden Beziehungen gelten müssen: z.B. (0;3;0) und (3;2;0) aus diesen beiden bastelst du jetzt die Gerade ... mY+
30.08.2007, 21:19	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, Dankeschön für die Hilfe ! Ich werds mir morgen früh nochmal in Ruhe anschaun ;-)

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