komplanarität von 4 vektoren |
| 26.01.2004, 16:21 | tina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| komplanarität von 4 vektoren ich hab mal ne frage: wieso sind 4 vektoren denn immer komplanar? 
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| 26.01.2004, 16:44 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hi tina, im 3 dimensionalen raum sind 4 vektoren immer linear abhängig (nicht komplanar), weil du die vektoren so anlegen und verlängern kannst, dass sie eine geschlossene vektorkette bilden. schau dir auch mal die definition der linearen abhängigkeit an: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=10076#post10076 gruß, jama |
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| 26.01.2004, 16:56 | tina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
besten dank für die wirklich mehr als schnelle antwort 8) :] |
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| 26.01.2004, 17:18 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt bin ich verwirrt. Ich dachte immer Vektoren (oder sollten wir hier besser von Punkten reden) sind komplanar wenn sie in einer Ebene liegen. 4 Vektoren sind im R^3 zwar immer lin. abh. aber noch lange nicht komplanar. Wohingegen 3 oder weniger Vektoren im R^3 tatsächlich immer komplanar sind, da eine Ebene nun mal von 3 verschiedenen Punkten eindeutig bestimmt wird. Ich kenn aber folgende Aussage: Im R^n sind n+1 Vektoren x1,...,xn+1 affin abhängig, also komplanar genau dann wenn die n Vektoren x1-x2,x1-x2,....,x1-xn+1 linear abhängig sind. Der Beweis bleibt zur Übung ;) |
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| 26.01.2004, 17:48 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
punkte? na dann berechne mir mal die länge eines punktes...
ja
->
falsch ... vektoren sind wie gesagt keine punkte und drei vektoren, die nicht komplanar sind, spannen einen raum auf. hier die definition von vektoren: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=10067#post10067 gruß, jama |
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| 26.01.2004, 18:04 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Im R^n sind Punkte Vektoren. Ich glaub du solltest dich mal von deiner anschaulichen Interpretation eines Vektors als Pfeil lösen. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, nicht mehr und nicht weniger. Komplanarität heisst nicht das die "Pfeile" in einer Ebene liegen sondern die Vektoren. Und selbst wenn dem so wäre, so gibt es immer noch 4 Vektoren (die immer lin. abh. sind) deren "Pfeile" nicht in einer Ebene liegen.
Nur weil das da steht muss es noch lange nicht richtig sein. Insbesondere steht da nicht das 4 Vetoren im R^3 komplanar sind. Viel mehr würde mich mal eine saubere Definition von Komplanarität interessieren, vielleicht reden wir hier ja von verschiedenen Dingen. Wenn ich dir die (verschiedenen) Vektoren x1,x2,x3 aus dem R^3 gebe, dann liegen diese 3 ohne Zweifel immer in der Ebene { x aus R^3 | x = x1 + s* (x2-x1) + t*(x3-x1), s,t aus R} (x1 mit s=t=0, x2 mit s=1,t=0, und x3 mit s=0, t= 1) |
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| 26.01.2004, 18:12 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ok ich denke ich hab jetzt verstanden was mit Komplanarität gemeint ist, nämlich das die Vektoren zusammen mit dem Nullvektor in einer Ebene liegen, was äquivalent dazu ist das sie in einem Unterraum der Dimension 2 liegen. Anschaulich entspricht das der Interpretation das die "Pfeile" in einer Ebene liegen. Trotzdem kann ich immer noch 4 Vektoren im R^3 angeben die (natrlich lin. abh.) aber nicht komplanar sind. zb (0,0,1)' (0,0,-1)' (0,1,0)' (1,0,0)'. |
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| 26.01.2004, 18:59 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hier war noch die rede von R³. die definition der vektoren sollte aber nicht nur für R² und R³ gelten, sondern für alle R^n. das hat nichts mit anschaulichkeit zu tun. dass die vektoren keine punkte sein können, siehste du an mehreren stellen.... nach deiner definition wären drei "vektoren" bzw. punkte IMMER komplanar, da drei punkte nun mal immer in einer ebene liegen. dass das nicht der fall ist, haben wir ja eben gesehen. kann es sein, dass du nur an ortsvektoren denkst?
das sind aber nur 3 verschiedene vektoren :P : (0,0,1)' (0,0,-1)' sind gegenvektoren 
"Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind". wenn die umkehrung nicht stimmt, hast du in dem punkt recht. und das ist, glaube ich, auch der fall. gruß, jama |
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| 26.01.2004, 19:50 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Bitte ? Der R^n ist allgemeiner als der R^3. Auch im R^n gibt es Punkte = Vektoren. Und nein ich denke nicht nur an Ortsvektoren. Wenn du der Meinung bist das Punkte != Vektoren sind dann gib doch bitte mal eine klare Definition für beide, die nicht auf anschaulichen Argumenten beruhen. Falls du eine angibts bin ich auch gerne bereit zuzugeben das ich bisher nicht wusste was ein Punkt (oder Vektor) ist. Ein Punkt im R^n ist nun mal ein Element des R^n , genauso wie ein Vektor. Ein Vektor hat btw. auch keine Länge sondern nur eine Norm. Dies ist aber gerade mit der euklidischen Norm und anschaulich Interpretiert der Abstand des Vektors zur 0. Ich kenne genügend Vektorräume in denen solche anschaulichen Interpretationen nich mehr existieren.
Ach also sind sie auf einmal nicht mehr verschieden. Dann nimm halt folgendes Beispiel: (0,0,1)' (0,1,-1)' (0,1,0)' (1,0,0)'.
Das ist sogar richtig für deine komische Definition von Komplanarität. (Und wenn du zusätzlich 3 kolineare Vektoren auch als komplanar ansiehst, aber die Definition "n Vektoren im R^3 sind komplanar wenn sie in einem UR der dim 2 enthalten sind" schliesst ja nicht aus das sie auch gleichzeitig noch in einem kleineren UR stecken. ) Trotzdem kannst du noch lange keine Aussage für 4 Vektoren daraus ableiten. |
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| 26.01.2004, 20:15 | Meromorpher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich habe im Bronstein (aka. Taschenbuch der Mathematik) folgende Definition von Komplanaren Vektroren gefunden: e) Komplanare Vektroren verlaufen parallel zu ein und derselben Ebene. und Für komplanare Vektoren, d.h. Vektoren a, die parallel zu einer von den Vektoren b und c definierten Ebene orientiert sind, gilt: a(b x c) = 0. (3.242). Da drei linear unabhängige (reelle usw.) Vektoren den |R^3 aufspannen muss der vierte parallel zu einer der von den drei Vektoren aufgespannten Ebenen sein. -> komplanarität?!? |
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| 26.01.2004, 21:05 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
das hat ja auch keiner bestritten. wenn deine these punkte = vektoren allerdings in R² und R³ nicht zutreffen, dann wohl somit auch nicht für alle R^n.
ehrlich gesagt finde ich keine definition für deine punkte=vektoren these, sondern nur geometrische definitionen, wie wir sie auch anbieten (z.b. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...sage/aussage71/ ). ich finde die definition klar genug, auch wenn sie auf "anschaulichen argumenten" beruht.
das mag vielleicht an der uni gelehrt werden, aber 1. bin ich nicht in den genuss dessen gekommen und 2. entspräche das ohnehin nicht dem mathematisch geforderten wissensstand des fragestellers.
was heißt "auf einmal"? die beiden vektoren sind kollinear und konnten somit deiner beweisführung nicht genüge leisten. ein weiteres beispiel war dennoch nicht nötig, wie man aus meinem weiteren text schließen konnte. deine definition des vektors müsste ja auch den geometrischen ansprüchen standhalten, und das ist doch nicht der fall. wie willst du den VEKTOR (1;2;3) geometrisch als punkt deuten? gibt es überhaupt noch eine geometrische veranschaulichung dafür? über die "punkt" definition, kann vieles nicht mehr geometrisch erklärt werden: betrag des vektorproduktes (=fläche des aufgespannten parallelogramms), richtungsvektoren = punkte? ... etc. pp. btw, poste mal bitte deine definition eines vektors und woher du sie hast. edit:
http://www.mathematik.net/vektoral/vak3s0.htm wenn die 4 vektoren einen raum aufspannen, können sie ja nicht in einer ebene liegen und somit komplanar sein. linear abhängig sind sie allerdings. |
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| 26.01.2004, 21:26 | tina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
OMG! ihr habt probleme...*G* ich hab immer gedacht vektoren wären pfeile... 
außer der nullverktor is ja quasi n punkt,oder nich??? nu ja was ich noch wissen wollte: da in der einen erklärung steht was von "ebenen" oder "räumliche" Vektoren wie dumm die frage auch sein mag,hier ist sie: wo ist der unterschied zwischen ebenen und räumlichen? ebene vektoren sind das vektoren die als einen komponenten 0 haben? also vektoren die in z.b. der x-y eben aufgespannt sind und deren z komopnent dann 0 ist?? help??? sorry das ich euere diskussion unterbrochen hab.
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| 26.01.2004, 21:32 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ein nullvektor ist ein vektor mit dem betrag 0. er ist übrigens zu allen anderen vektoren kollinear.
wahrscheinlich sind mit "ebenen vektoren" vektoren im R² mit "räumlichen vektoren" vektoren in R³ gemeint. gruß, jama |
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| 26.01.2004, 23:19 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Das hatte ich doch schon einmal betont. (X,+,*) heisst Vektorraum über einem Körper (K,#,°) (d.h. # und ° sind die Addition und Multiplikation in K) mit Vektoraddition + und skalarer Multiplikation * wenn gilt: (X,+) ist eine abelsche Gruppe und für x,y aus X und a,b,1=DIE EINS aus K gilt: (a#b)*x = a*x+b*x a*(x+y) = a*x+b*y a*(b*x) = (a°b)*x 1*x = x. Ein sehr einfacher Vektorraum ist R (über sich selbst) wobei Körpermultiplikation und skalare Multiplikation gleich sind. Dann gibt es da noch die ganzen R^n und eine Menge weiterer endlichdimensionaler Vektorräume, die aber alle langweilig sind, weil jeder Vektorraum der Dimension n isomorph (also strukturell gleich sag ich mal ) zum R^n ist. Zum Beispiel X = {a*x^2+b*x+c | a,b,c aus R} wird mit der "normalen" Addition und Multiplikation ein dreidimensionaler Vektorraum. Ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist zb Y = { f:[a,b]->R | f ist auf [a,b] stetig}, wieder über R und mit der "normalen" Addition und Multiplikation. Die Definition auf http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...sage/aussage71/ entspricht nicht dem was man in der Analysis und der linearen Algebra allgemein als Vektor bezeichnet, jedenfalls nicht an meiner Uni. Ich würde das eher als "gerichtete Strecke" bezeichnen. Insbesondere kannst du, gegeben zwei Punkte P,Q aus dem R^n den "Vektor" PQ nicht mit einem Tupel (x1,...,xn)' (normalerweise = Verbindungsvektor von P nach Q = Q-P) identifizieren, da das Tupel weder Informationen über den Anfangspunkt P noch den Endpunkt Q enthält. Aber auch du stellst doch Vektoren auf diese Art dar oder ?
Natürlich sind sie das aber das heisst noch lange nicht das alle 4 komplanar sind.
Als Punkt (1,2,3) ??? Wie willst du ihn denn als "gerichtete Strecke" deuten wie auf http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...sage/aussage71/ wenn du nicht mal mehr den Anfangspunkt findest ? Für die von dir genannten geometrischen Deutungen wählt man dann die 0 als Startpunkt und kommt auch ziemlich gut klar damit denk ich ;). EDIT: Die Definitionen stimmen doch überein. Ich habe überlesen das "Zwei Vektoren nennt man gleich, wenn ihre zugehörigen Strecken gleich lang sind und diese ineinander parallel verschoben werden können." gilt. Damit wird natürlich einiges von dem da oben hinfällig. Trotzdem oder gerade deswegen lässt sich jeder Vektor weiterhin eindeutig mit einem Punkt identifizieren. |
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| 26.01.2004, 23:44 | Gilgamesch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
um hier mal noch eine weitere Meinung beizusteuern: epi hat Recht wenn er sagt dass Vektoren Elemente von Vektorräumen sind ... in den üblichen R^n mit den spezialfällen n=2 oder n=3 sind dieses tatsächlich die einzelnen Punkte die sich als tupel (x1,...,xn) schreiben lassen ... damit wird klar dass zwei vektoren für beliebiges n immer kollinear drei immer komplanar sind (wenn man ebene hier als zweidimensionales Gebilde versteht) und n-1 immer in einer gleichen hyperebene liegen... über die komplanarität von vier vektoren lässt sich keine allgemeine aussage machen ... sie sind es (falls der vierte auch in der von den anderen dreien aufgespannten ebene liegt) oder aber nicht |
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| 27.01.2004, 00:07 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Punkte befinden sich doch immer "fest" im Raum, aber Vektoren können beliebig verschoben werden, haben also keine feste Position. Als Verbindung zwischen zwei Punkten beschreibt der Vektor nur, um wieviel Einheiten in x,y,z-Richtung der Punkt verschoben werden muss, damit er identisch mit dem anderen ist. Trägt man nun die Punkte in ein Karthesisches System ein und zeichnet dazwischen den Verbindungsvektor, so hat man nur einen Repräsentanten von unendlich vielen "Pfeilen" gezeichnet. Vektor kann doch auch als gerichtete Strecke aufgefasst werden, wenn er keine feste Position im Raum hat. Was interessiert mich, wo das Parallelogramm in R² ist, wenn ich zwei Vektoren hab, die dieses aufspannen? Am Parallelogramm ändert dies doch nichts. |
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| 27.01.2004, 09:51 | Meromorpher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
@falk: Die anschauliche Darstellung mit Pfeilen funktioniert nur im reellen Vektorraum mit maximal ein paar Dimensionen. In anderen Vektorräumen, die es auch gibt, kommt man mit dieser Vorstellung nicht weiter. Für den R^3, um den es hier ja geht, ist ein Vektor anschaulich eine Richtung mit einer Länge. Diese kann man gut durch einen Pfeil darstellen, ein Punkt tut es aber auch. Druch die Verbinung von Null-Punkt bis zu diesem Punkt ist auch eindeutig eine Richtung mit Länge festgelegt. Wenn man will kann man sich den Pfeil dazu denken
@epikur: Bist du so stolz, dass du mittlerweile an der Uni bist, oder warum postest du andauernd abstrakte Definitionen, mit denen alle die sich auf Schul/Abi-Niveau bewegen nichts anfangen können und die auch für die Fragestellung (auf Schul/Abiniveau) irrelevant sind? |
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| 30.01.2004, 13:01 | tina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
wie beweise ich denn dass 4 vektoren immer komplanar sind? |
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| 30.01.2004, 16:47 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nur um es nochmal zu wiederholen. Im R^3 sind 4 Vektoren _nicht_ im komplanar. |
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| 30.01.2004, 17:57 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
gruß, jama |
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| 07.09.2008, 14:57 | Nullvektor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo zusammen, Ich grad diesen Thread mal aus, weil ich eine Frage zum Thema habe. Also zum eigentlichen Thema des Threads, nicht zu dieser "Vektoren-sind-Punkte"-Diskussion. Folgendermaßen: Heute hab ich gelesen, dass drei Vektoren in der (2-dimensionalen) Ebene immer lin. abh. sind bzw., dass 4 Vektoren im 3-dimensionalen Raum immer lin. abh. sind. Anschaulich hab ich das auch verstanden: In der Ebene sind 2 Vektoren lin. abh., wenn sie colinear sind. Dem zweiten bleibt nur die dritte Dimension "als Fluchtmöglichkeit", um der linearen Abhängigkeit zu entgehen. Hat man 3 Vektoren in der Ebene, so bleibt dem dritten Vektor keine Dimension, in die er "fliehen" könnte. Analog läufts mit 4 Vektoren im 3-dimensionalen Raum: 3 Vektoren spannen einen 3-dimensionalen Raum auf, und da es keine 4. Dimension gibt, in die der 4. Vektor fliehen könnte, müssen sie lin. abh. sein. Daraus lässt sich leicht die Vermutung aufstellen, dass n Vektoren im n-1 dimensionalen Raum lin. abh. sein müssen. Ich wollte dann mal einen mathematischen Beweis aufstellen, erstmal für 4 Vektoren im 3 dimensionalen Raum. Mathematisch lässt sich die lineare Abhängigkeit genau wie in der Anschauung durch die Linearkombination (Vektoraddition) ausdrücken. Das hab ich dann auch versucht und aus der Gleichung der Vektoraddition das recht simple LGS aufgestellt (brauch ich hier nicht hinschreiben, denke ich). Und siehe da, für 4 Vektoren im 3 dimensionalen Raum habe ich 3 Gleichungen, aber 4 Variablen. Das Ding ist unterbestimmt, halt also keine eindeutige Lösung. Nun ist es aber doch so, dass die Bedingung für lineare Abhängigkeit ist, dass es eine Lösung des LGS gibt oder andersrum, die Bedingung für lineare Unbhängigkeit ist, dass die einzige Lösung der triviale Fall ist, dass alles skalare Null sind. Also stimmt die anschauliche Vorstellung nicht mit der mathematischen überein. Es ergeben sich folgende Möglichkeiten: 1.) Ich habe ich die Mathematik widerlegt 2.) Ich habe in meiner anschaulichen Vorstellung einen Denkfehler eingebaut. 3.) Ich hab nen Fehler beim Aufstellen der mathematischen Gleichungen gemacht 4.) Die eingangs erwähnte Vermutung ist falsch. 1.) ist unwahrscheinlich 2.) gut möglich 3.) Glaub nicht 4.) Kann sein. Wo liegt also der Fehler? Ich denke Version 2 und 4 sind am untersuchungswürdigsten: Bisher kamen mir folgende Überlegungen in den Sinn: 3 Vektoren im 3-dimensionalen Raum müssen nicht zwangsläufig einen Raum aufspannen. Im Extremfall sind sie colinear und bilden sogar nur eine Strecke/Gerade! Dann wäre es für einen vierten Vektor möglich, lin. unabh. von den anderen dreien zu sein. Das ginge auch, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daraus könnte man folgern, dass die eingangs erwähnte Vermutung einen Zusatz braucht: "4 Vektoren sind im 3-dimensionalen Raum lin. abh., sofern drei von ihnen, egal in welcher Kombination (man sie auswählt), lin. unabh. sind." Gemeint ist, dass ich mir drei Stück rauspicke. Egal welche ich nun habe (abc, abd usw.), die drei müssen lin. unabh. sein. Ist das die richtige Lösung? Wenn ja, wie packe ich das in meinen mathematischen Beweis, sodass dieser aufgeht? Viel weiter bin ich bisher noch nicht gekommen. Wäre nett, wenn ihr eure Ideen nennen könntet und am besten mit mathematischem Fundament untermauern könntet (das ist, wie sich oben gezeigt hat, einfach immer noch das Sicherste) |
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