Induktion

31.08.2007, 10:15

Astaldo

Induktion

Hi Leute, ich mach grad Vorkursaufgaben fürs Studium und bin mal wieder auf vollständige Induktion gestoßen..das hab ich damals schon nicht gerallt...

kann mir nochmal jmd. helfen?

Beweisen sie mit vollständiger Induktion für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~k2^{k-1} = (n-1)2^{n} \end{eqnarray*}$

ich ralls net unglücklich

31.08.2007, 10:24

piloan

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Hi
also erstmal findet der Induktionsanfang statt.

I.A. waehle n=2 und ueberpruefe die Aussage
nun kommt die
Induktionsvoraussetzung:

I.V.:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~k2^{k-1}=(n-1)\cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Also du hast die Annahme, dass die Aussage bis zum n-ten Schritt gilt.

Dann kommt der Induktionsschluss.
Hier gehst du den entscheidenden Schritt von n->n+1

Also
I.S.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~k2^{k-1} =\sum_{k=2}^n~k2^{k-1}+(n+1)\cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Im zweiten Schritt habe ich den letzten Schritt aus der Summe gezogen.
Nun kannst du die Induktionsvoraussetzung benutzen um den Rest zu zeigen. So geht es uebrigens meistens.

Grüße

31.08.2007, 10:43

Zakum

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Genau. Du musst die letzte Formel solange umformen, bis du

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~k2^{k-1}=n\cdot2^{n+1} \end{eqnarray*}$ rausbekommst.

//edit:
Als erklärung kann man folgendes sagen.
Zuerst hast du mit dem IA gezeigt, dass deine Behauptung für das erste Element (K=2) gilt.
Mit deiner Induktionsvorraussetzung formulierst du das ganze nur allgemeiner und zeigst dann im Induktionsschritt, dass die gleichung für den n+1ten Schritt gilt, wenn sie auch für den n-ten hin haut.
Und da ja schon gezeigt wurde, dass für k=2 alles ok ist, ist somit auch für k=3,k=4 usw. alles im Lot.

Also eigentlich hast du hier das Domino Prinzip. Wenn der erste Stein fällt und fest steht, dass ein fallender Stein immer den nächsten umwirft, dann fällt die ganze Reihe.

31.08.2007, 11:27

marci_

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Zitat:

Original von piloan

Also
I.S.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~k2^{k-1} =\sum_{k=2}^n~k2^{k-1}+(n+1)\cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Im zweiten Schritt habe ich den letzten Schritt aus der Summe gezogen.
Nun kannst du die Induktionsvoraussetzung benutzen um den Rest zu zeigen. So geht es uebrigens meistens.

Grüße

hallo, sorry wenn ich mich jetzt einmische, aber ich verstehe nicht ganz, wie beim induktionsschritt, am ende steht
$\begin{eqnarray*} ...+(n+1)*2^n \end{eqnarray*}$

31.08.2007, 11:36

piloan

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Hi
hab nur den (n+1)te Schritt aus der Summe rausgezogen.

Nun laeuft die Summe wieder bis n und der (n+1)te Schritt steht als Summand
dahinter und dieser ist $\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot 2^n \end{eqnarray*}$
Grüße

31.08.2007, 11:44

marci_

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irgendwie steh ich aufm schlauch...
ich versteh nicht wie du es aus der summe rausziehst...könntest du das bitte in nem rechenschritt zeigen?

31.08.2007, 11:56

piloan

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Betrachten wir nur mal die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~k2^{k-1}=2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+...+n\cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

So nun lass ich ja die Summe bist (n+1) laufen ...also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~k2^{k-1}=2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+...+n\cdot 2^{n-1}+(n+1) \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Das kann ich nun wieder schreiben als:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+...+n\cdot 2^{n-1}+(n+1) \cdot 2^n=\sum_{k=2}^n~k2^{k-1}+(n+1) \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Reicht das ? smile

Grüße

31.08.2007, 12:05

marci_

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ah verstehe, jetzt wirds mir klar!
vielen dank für die ausführliche erklärung! =)

05.09.2007, 16:24

Astaldo

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okay, also das prinzip hab ich glaub ich verstanden! danke an alle! aber wie forme ich denn die gleichung um?

05.09.2007, 16:49

marci_

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schau mal in der induktionsvoraussetzung!
dort steht, wie die summe noch geschrieben werden kann:
$\begin{eqnarray*} (n-1)+2^n \end{eqnarray*}$

05.09.2007, 16:51

tmo

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du hast
$\begin{eqnarray*} (n-1) \cdot 2^n + (n+1) \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

jetzt ausklammern, zusammenfassen und dann noch ein potenzgesetz anwenden und fertig ist die gleichung für (n+1)

05.09.2007, 16:52

Astaldo

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jau! ahsoooo.... okay.. dann versuch ich das mal an anderen beispielen!

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