Extrema zu zusammengesetzter Funktion

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31.08.2007, 12:56	Grapefruit	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema zu zusammengesetzter Funktion Es liegt vor: $\begin{eqnarray} f(x)=x+e^{-x} \end{eqnarray}$ Gesucht sind Extrema.Also bilde ich die erste Ableitung erst mal folgendermaßen: $\begin{eqnarray} f'(x)=1+e^{-x}(-1) \end{eqnarray}$ Kann man natürlich noch vereinfachen: $\begin{eqnarray} f'(x)=1-e^{-x} \end{eqnarray}$ Das ganze gleich 0 setzen: $\begin{eqnarray} 0 = 1-e^{-x} \end{eqnarray*}$ Und wie komm ich jetzt an einen Wert für x ?
31.08.2007, 13:07	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
nach x auflösen: $\begin{eqnarray} -e^{-x}+1&=&0\\e^{-x}&=&1\\x&=&0 \end{eqnarray}$
31.08.2007, 13:14	Grapefruit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach x auflösen war mir ja schon klar, aber wie kommst du von $\begin{eqnarray} e^{-x} = 1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ??? Da hängts bei mir.
31.08.2007, 13:15	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf beiden Seiten der Gleichung logarithmieren.
31.08.2007, 13:18	Grapefruit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mitten in Ägypten, könntet ihr das vielleicht mal ausschreiben, vielleicht machts dann klick.
31.08.2007, 13:22	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-x} = 1 \end{eqnarray}$ Nun benutze: $\begin{eqnarray} e^{ln(x)}=ln(e^x)=x \end{eqnarray}$ ln(1)= ??? ---> Gibs in den Taschenrechner ein oder stell dir den Graphen vor. Gruß Björn
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31.08.2007, 13:27	Grapefruit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem ln sagt mir mal gar nichts. Kann ich das ab der Zeile $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ nicht einfach so begründen, dass $\begin{eqnarray} e^{0} \end{eqnarray}$ immer 1 ergibt? Ist doch immer so, dass wenn ich x hoch 0 habe immer 1 herauskommt, oder ?
31.08.2007, 13:31	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde es dann aber eher so formulieren, dass du dir überlegt hast an welcher Stelle x der Graph einer Exponentialfunktion den y-Wert 1 hat. Aber es stimmt natürlich dass eine Exponentialfunktion in dieser Form keine Extrema hat und somit nur genau eine Stelle in Frage kommt, wo der y-Wert 1 ist.
31.08.2007, 13:38	Grapefruit	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal vielen Dank. Nur um das jetzt mal wirklich zu verstehen, wie funktioniert das mit dem logarithmieren denn genau? Also ich kann leider nur 10er logs. Kannst du das hier mal weiterführen? $\begin{eqnarray} 0 = 1 - e^{-x} \end{eqnarray}$ (-1) $\begin{eqnarray} 0 = -1 + e^{-x} \end{eqnarray}$ +1 $\begin{eqnarray} 1 = e^{-x} \end{eqnarray*}$ log10
31.08.2007, 13:45	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Der 10-er Logarithmus ist eben der Logarithmus zur Basis 10, also $\begin{eqnarray} log_{10} \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} lg \end{eqnarray}$ Da wir hier in der Gleichung eine Potenz mit der Basis e, also der eulerschen Zahl, haben, muss man entsprechend den Logarithmus zur Zahl e benutzen, also $\begin{eqnarray} log_e \end{eqnarray}$ und den nennt man auch Logarithmus naturalis oder kurz $\begin{eqnarray} ln \end{eqnarray}$ Da Exponentialfunktion und entsprechende Logarithmsfunktion Umkehrfunktionnen voneinander sind gilt eben allgemein $\begin{eqnarray} a^{log(x)}=log(a^x)=x \end{eqnarray}$ Wenn du das auf deine Gleichung anwendest kommst du damit zum Ziel. ln(1)=log(1)=...
31.08.2007, 13:54	Grapefruit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme jetzt so auf eine gescheite Herleitung: $\begin{eqnarray} log_{10}1 = log_{10}e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} log_{10}1 = -x log_{10}e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{log_{10}1}{log_{10}e} = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = x \end{eqnarray*}$ So gehts auch, oder? Den Zusammenhang zwischen ln und dem 10erlog versteh ich irgendwie nicht, aber ich denke das wird betimmt noch im Unterricht erklärt.
31.08.2007, 14:07	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas umständlich, aber meinetwegen. Als Logarithmusfunktion könntest du aber auch den ln bzw. $\begin{eqnarray} log_e \end{eqnarray}$ nehmen. Merke: hat eine Exponentialfunktion den Funktionswert 1, dann war im Exponent eine Null.

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