Nullstellen komplexer Zahlen

02.03.2005, 20:59

DanielE

Nullstellen komplexer Zahlen

Hallo,
beschäftige mich gerade mit den komplexen Zahlen und habe drei Probleme, eins davon habe ich schon gepostet. Hier sind meine anderen zwei. Habe schon Stunden daran gerechnet...

Komme bei beiden nicht mehr weiter .....

02.03.2005, 21:22

Mathespezialschüler

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1. haben komplexe Zahlen keine Nullstellen! Funktionen hab Nullstellen, aber keine Zahlen!
2. Was steht da auf dem Zettel? Deine Lösung oder eine gegebene Lösung? Du hast, wie in dem anderen Thread auch, wieder nicht gesagt, was überhaupt deine Frage ist!!??

Zur Lösung der zweiten Aufgabe: Ist (doch) bis dahin richtig. Jetzt musst du weiter machen. Die 5 Lösungen sind nichts anderes als die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^5=i \end{eqnarray*}$ , hilft das?

Lösung der ersten Aufgabe: Einfach pq-Formel anwenden!

02.03.2005, 21:26

DanielE

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Zu 1 = Berechnen sie die komplexen Nullstellen z des Polynoms
Für Phi kommt raus: arctan(-7)+pi Aber wie gesagt, ich komme da nicht drauf ...ICh kann doch auf einen solchen Ausdruck nicht die PQ-Formel anwenden

Zu 2: Berechne .... (wie auf dem Blatt angegeben) --> 5 Lösungen !

Ich sehe nicht was bei $\begin{eqnarray*} i^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$
die trigonometrische Form zur Lösung bringt.....

02.03.2005, 21:44

Mathespezialschüler

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Sorry, hatte mich oben geirrt, also $\begin{eqnarray*} i^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ stimmt erstmal. In der Zeile davor sollte wohl $\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{(-1)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$ stehen.
Jetzt mach es so:

Ist z eine komplexe Zahl mit Betrag r und Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und n eine natürliche Zahl, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} z^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{z}=r\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Für k musst du alle ganzen Zahlen von 0 bis n-1 einsetzen.

Und jetzt versuch erstmal $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ in die Polarform zu bringen.

(Tipp: $\begin{eqnarray*} i=e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ und jetzt Eulersche Formel).

02.03.2005, 21:51

DanielE

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Mhh, verstehe ich nicht. Ich habe doch Phi garnicht gegeben ....Die einzige Angabe die ich habe, ist doch i^1/5 . Das kann ich doch nicht lösen ...., oder?

02.03.2005, 21:59

Mathespezialschüler

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Dein z ist in diesem Fall =i! i ist eine eindeutige komplexe Zahl, die in eine eindeutige Polarform übergeführt werden kann! Siehe meinem Tipp!

02.03.2005, 22:03

DanielE

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Dann habe ich ja wieder die erste Zeile. Nur das die fünfte Wurzel draus gezogen wird .....

02.03.2005, 22:11

Mathespezialschüler

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Lies dir meinen Tipp durch: Wende auf $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ die Eulersche Formel an!

02.03.2005, 22:11

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Ich möchte nochmal nachdrücklich auf
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=4616
oder auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
verweisen, wo die unterschiedlichen Darstellungen einer komplexen Zahl z, also ihre algebraische, Polar- und Exponentialdarstellung

$\begin{eqnarray*} z=a+ib=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$

erläutert werden, so auch die Umrechnung einer Darstellung in die andere. Das scheint hier nämlich bereits ein Problem von DanielE zu sein. Und bevor das nicht einigermaßen klar ist, brauch man Wurzeln oder quadratische Gleichungen erst gar nicht anzugehen.

02.03.2005, 22:14

DanielE

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ICh weiß wie ich zwischen diesen Darstellungsformen wechsle. Aber die oben angezeigte Aufgabe ist ja wohl nicht einfach umzuwandeln. Kannst du mir nicht mal helfen ? Habe da schon 30 min vor gesessen und komme nicht drauf. Sorry !

$\begin{eqnarray*} e^{i\cdot \frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (cos(\frac{\pi }{2})+i\cdot sin(\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

02.03.2005, 22:22

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Du suchst die Darstellung

$\begin{eqnarray*} z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$

für das konkrete $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ . MSS hat dir den Tipp $\begin{eqnarray*} i=e^{i\frac{\pi}{2}}=1\cdot e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ gegeben, also ist $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Und mit den beiden Werten sowie n=5 kannst du jetzt in die obige Wurzelformel von MSS gehen:

$\begin{eqnarray*} z^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right) \end{eqnarray*}$

02.03.2005, 22:29

DanielE

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alles klar. dann setze ich für k dann die Werte 0 bis 5 ein, stimmts ?
Obwohl null ja meine erste Lösung ist.

02.03.2005, 22:30

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Nur k=0 bis 4; bei k=5 kommt wieder dasselbe wie für k=0 heraus.

02.03.2005, 22:38

DanielE

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Also hier die Lösungen die rauskommen sollen:

z1= $\begin{eqnarray*} (cos(\frac{\pi }{10}) + i\cdot sin(\frac{\pi}{10})) \end{eqnarray*}$

z2= $\begin{eqnarray*} (cos(\frac{\pi }{2}) + i\cdot sin(\frac{\pi}{2}))=i \end{eqnarray*}$

z3= $\begin{eqnarray*} (cos(\frac{9\pi }{10}) + i\cdot sin(\frac{9\pi}{10})) \end{eqnarray*}$

z4= $\begin{eqnarray*} (cos(13\frac{\pi }{10}) + i\cdot sin(\frac{13\pi}{10})) \end{eqnarray*}$

z5= $\begin{eqnarray*} (cos(17\frac{\pi }{10}) + i\cdot sin(17\frac{\pi}{10})) \end{eqnarray*}$

Das sind zu 100 % die richtigen Lösungen. !!!

02.03.2005, 23:00

Mathespezialschüler

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Also das sind nicht die fünf richtigen Lösungen und was du in dem zweiten Post schreibst, ist mir auch unverständlich!

edit: Die Lösungen sind doch richtig!

02.03.2005, 23:01

DanielE

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Wenn ich hier für k 1 bis 4 einsetze komme ich nicht auf die angegebenen Lösungen. BEi Lösung zwei komme ich auf cos(3pi/10) +i sin(3pi/10) dann auf
cos(5pi/10) +i sin(5pi/10). Woran liegt das denn jetzt ?

Anmerkung: Die 5 angegebenen Lösungen stammen aus dem Skript meiner Matheprof. ! Die sind 100 % richtig !!!

Anmerkung 2: In meiner Formel habe ich nur das durchgesetzt, was ihr mir vorher gesagt habt. Mein Ausgangswinkel ist pi/2 und dazu addiere ich k mal 2 pi ... Halt wie man die weiteren Lösungen berechnet !

02.03.2005, 23:21

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Zitat:

Original von DanielE
Wenn ich hier für k 1 bis 4 einsetze komme ich nicht auf die angegebenen Lösungen.

Liste doch mal diese "angegebenen" Lösungen hier auf. Ich sehe nur zwei Möglichkeiten: Entweder gibt es dort Fehler - oder du erkennst einfach nicht die Übereinstimmung mit den Lösungen hier (nach der Formel von MSS). Ich vermute stark, das letzteres der Fall ist.

02.03.2005, 23:30

DanielE

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Ich habe doch eben z1 bis z5 angegeben.
Danach sagst du, dass sie falsch wären.... Dann habe ich einfach mal nach der Formel von MMS eingesetzt und bekomme die Lösungen meines letzten Eintrages heraus. Welche zwei erste Lösungen bekommst du denn raus ?

02.03.2005, 23:49

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Entschuldige, das war ja auf der vorhergehenden Seite, hatte ich nicht gesehen. Also z1 bis z5 sind die "offiziellen" Lösungen. Na und - das sind doch genau die, die du mit der Formel von MSS rauskriegst, wo ist also das Problem? verwirrt

02.03.2005, 23:56

DanielE

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Wenn ich hier für k 1 bis 4 einsetze komme ich nicht auf die angegebenen Lösungen. BEi Lösung zwei komme ich auf cos(3pi/10) +i sin(3pi/10) dann auf
cos(5pi/10) +i sin(5pi/10).

Irgendwie komisch, habe ide Formel genau so angewendet !

03.03.2005, 00:01

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Ok, setzen wir doch mal n=5, $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right) \end{eqnarray*}$

ein, unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi+2k\pi}{n}=\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{5}=\frac{1+4k}{10}\pi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{1+4k}{10}\pi\right)+i\sin\left(\frac{1+4k}{10}\pi\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt k=0,1,2,3,4.

03.03.2005, 07:42

DanielE

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ICh denke essoll nur 0 bis 4 eingesetzt werden also 0 bis n-1. Dann würde die 5 doch rausfallen !

03.03.2005, 09:23

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Die Kommunikation mit dir (ich denke da auch an den anderen Thread) kann ich einfach nur furchtbar nennen:
Welche "5" fällt jetzt deiner Meinung nach raus?

k=5 ?
Nichts anderes steht bei mir, wenn ich "k=0,1,2,3,4" schreibe.
z5 von deinen "gegebenen" Lösungen?
Dann beachte mal folgendes: k=0 entspricht z1, k=1 entspricht z2, ... , k=4 entspricht z5.

03.03.2005, 10:33

Mathespezialschüler

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@Arthur Dent
Ich möchte es ja nicht beschreien, aber vielleicht meint er ja dabei irgendwie das n=5, was ganz oben in deinem Post steht.
Wenn er das nicht versteht, dann weiß ich leider auch nicht mehr, wie ich ihm helfen soll. unglücklich

03.03.2005, 12:09

DanielE

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Doch doch, n=5 weil es die 5 Wurzel ist !

Ws gibt EINE Sache, die ich versuche zu verstehen.

Im Papula finde ich folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} phi=\frac{\alpha +k\cdot2\pi}{n} \alpha \end{eqnarray*}$

Dabei ist alpha meine erste Lösung.

Du schreibst oben :

.........................................

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ok, setzen wir doch mal n=5, $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right) \end{eqnarray*}$

ein, unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi+2k\pi}{n}=\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{5}=\frac{1+4k}{10}\pi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{1+4k}{10}\pi\right)+i\sin\left(\frac{1+4k}{10}\pi\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt k=0,1,2,3,4.

Wir haben phi= $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Darauf komme ich, wenn ich die Formel im Papula sturr anwende:

$\begin{eqnarray*} phi=\frac{\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi}{5} \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt die alles gleichnamig machen ? ICh will nur wissen, wie ich den Winkel einsetzen muss. Also in welcher Form . ICh nehme an, dass ich den Hauptnenner auf 10 bringen muss .....oder habe ich das oben falsch gesehen ?

Erste Lösung wäre damit:

$\begin{eqnarray*} phi=\frac{\frac{\pi}{2}}{5} \end{eqnarray*}$

Zweite:

$\begin{eqnarray*} phi=\frac{\frac{\pi}{2}+2\cdot 2\pi}{5} \end{eqnarray*}$

und so weiter (komme ja im Nenner dann auf zehn und muss 2pik dann erweitern)....

03.03.2005, 13:38

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Wahrscheinlich wirst du jetzt empört aufschreien, aber die Wahrheit ist nunmal hart.

Bevor wir hier weiter über komplexe Wurzeln reden, solltest du mal grundlegende Termumformungen (Ausklammern, gemeinsamer Nenner, usw.) sowie überhaupt Bruchrechnung
http://de.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung
üben. Ansonsten ist das hier nämlich reinste Zeitverschwendung.

03.03.2005, 13:43

DanielE

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Das ist aber richtig was ich geschrieben habe ! ! !

03.03.2005, 14:12

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Die erste Lösung (k=0) ist richtig, aber man lässt nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\pi}{2}}{5} \end{eqnarray*}$ als Lösung stehen, sondern fasst zusammen: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{10} \end{eqnarray*}$

Was du als zweite Lösung hinschreibst, ist nach Formel von MSS bereits die dritte. Als zweite Lösung (k=1) erhältst du $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\pi}{2}+1\cdot 2\pi}{5} \end{eqnarray*}$ , was man natürlich auch in lesbare Form bringt: $\begin{eqnarray*} \frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wie ich schon sagte: Bruchrechnung, einfache Termumformungen.

03.03.2005, 15:15

DanielE

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Nichts anderes habe ich gemeint. Das man den Bruch schöner darstellen kann ist mir klar ! Wollte den Eintrag nicht noch länger machen !

Nochmal zurück zur ersten Aufgabe (Die zweite habe ich jetzt mehr als verstande.

ICh habe z.B eine Aufgabe wie:

Wie lauten die komplexen Lösungen der Gleichung :#

$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{3}+ (z+10i) \cdot z^{2} +(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Auf welche Form muss ich das zur Lösung bringen ?
Wenn ich es richtig verstanden habe doch auf die Form z^n=........
Und das kann ich ja dann mit den üblichen Lösungsformel lösen. Aber bei der Aufgabe geht es einfach nicht !

Übrings danke für die ausführliche und geduldige Hilfe bei meinem ersten Problem !

03.03.2005, 15:35

Mathespezialschüler

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Ich würd sagen, da helfen nur Cardanoformeln.

03.03.2005, 15:42

DanielE

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Sowas darfst du an der Uni nicht anwenden, genau wie PQ-Formel !!!

Das muss irgendwie umgeformt werden etc.

Was muss denn am Ende dort stehen, damit ich es in die polarform wandeln kann ? Also ganz allgemein bei komplexen Gleichungen ?

Da muss doch z= x+iy stehen oder?

03.03.2005, 21:25

DanielE

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MAn kommt auf eine Lösung, wenn ich zuerst mit (1-i) multipliziere, dann durch 2 teile und eine quadratische Ergänzung anwende.
Aber dann habe ich auf der rechte sowie auf der linken Seite einen gemischten TErm. Also links einen wo i und b enthalten ist und rechts eine komplexe ZAhl in der Form x+iy. Kann ich dann auflösen, oder muss ich die Form z=...... erhalten um die Lösungen im komplexen zu berechnen und in der trigonometrischen Form anzugeben ? Habe in 4 verschiedenen Mathebüchern nachgelesen und keines der Bücher gibt an in welcher Form eine Gleichung wie oben umgeformt werden muss oder angegeben sein muss, damit sie lösbar ist

Ich hoffe, dass ihr wisst was ich meine , ansosnten muss ich den Lösungsweg mal posten.

03.03.2005, 23:11

JochenX

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Zitat:

Original von DanielE
Sowas darfst du an der Uni nicht anwenden, genau wie PQ-Formel !!!

also ich hoffe doch stark, du hast da etwas missverstanden......
wieso darf man denn solche formeln nicht anwenden? damit es nicht zu leicht ist??
red bitte keinen unfug, dass glaube ich dir einfach nicht.......
und überhaupt die cardanoformeln mit der p,q-formel zu vergleichen halte ich für unangebracht......

mfg jochen

ps: sorry nix zum thema, aber diese aussage konnte ich nicht stehen lassen.....

04.03.2005, 19:26

DanielE

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Die werden in der Klausur einfach nicht akzeptiert ! Glaub es mir. ICh denke, dass ich über die Prüfungssituation meines Studiums ein wenig besser bescheid weiß(Taschenrechner werden ja auch nicht akzeptiert in Matheklausuren (und das auch nicht damit es schwerer wird). Naja, anscheinend hat da keiner eine Idee, ist ja auch ein komplizierter Sachverhalt und meine Erklärung war vielleicht ein wenig kompliziert (obwohl ich ja eigentlich seit 4 Tagen nur wissen will in welcher Form man die ganze Sachen bringen muss....(muss z.B. rechts der Gleichung eine komplexe Zahl stehen und links nach "b" aufgelöst sein)) Na ja aber das habe ich ja jetzt schon mehrfach gefragt. Und wenn ich hier wieder mehrfach poste, dann werde ich bald wieder des "Push-dingsbums" beschuldigt - und das will ich ja nicht !

Trotzdem Danke (auch wenn ich an der Aufgabe verzweifel ;-( )

04.03.2005, 20:38

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Reden wir hier über dieselbe PQ-Formel?

Also ich denke da an

$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

als x-Lösungen der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Und die darfst du nicht verwenden??? geschockt

An welcher bescheuerten Uni bist du denn, wenn ich das mal fragen darf?

04.03.2005, 20:43

kikira

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Zitat:

Original von DanielE
Die werden in der Klausur einfach nicht akzeptiert ! Glaub es mir. ICh denke, dass ich über die Prüfungssituation meines Studiums ein wenig besser bescheid weiß(Taschenrechner werden ja auch nicht akzeptiert in Matheklausuren (und das auch nicht damit es schwerer wird). Naja, anscheinend hat da keiner eine Idee, ist ja auch ein komplizierter Sachverhalt und meine Erklärung war vielleicht ein wenig kompliziert (obwohl ich ja eigentlich seit 4 Tagen nur wissen will in welcher Form man die ganze Sachen bringen muss....(muss z.B. rechts der Gleichung eine komplexe Zahl stehen und links nach "b" aufgelöst sein)) Na ja aber das habe ich ja jetzt schon mehrfach gefragt. Und wenn ich hier wieder mehrfach poste, dann werde ich bald wieder des "Push-dingsbums" beschuldigt - und das will ich ja nicht !

Trotzdem Danke (auch wenn ich an der Aufgabe verzweifel ;-( )

Eine komplexe Zahl darfst du nur in folgender Form angeben:

z = a + bi

Falls es das ist, was du meinst.

lg kiki

05.03.2005, 12:56

DanielE

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An welcher blöden UNI ich bin ?

Maschinenbau in Aachen !

Also ich sag mal so. Genau wie die Benutzung eines Taschenrechners verhindert, dass man sich über das was man da rechnet Gedanken macht, hat die Formel die Eigenart, dass sie einfach sturr angewendet wird (was ich an den Kindern in meinem Bekanntenkreis sehe) Und man kann die gleichen Aufgaben und PRoblemstellungen ja auch "mathematisch ästetischer" lösen. Aber zurück zum Thema.

Eine komplexe Zahl darf ich natürlich nur in dieser Form angeben.
Ich werde jetzt mal eine Beispielaufgabe suchen, und diese dann hier posten.

Also, ich habe mir folgend mal etwas Zeit genommen und mein Problem anhand von zwei Beispielen erläutert.
Ich habe einen eigenen Formeleditor genommen, weil dieser mir einige Zeichen zur Verfügung stellt, welche der Forumeigene nicht bietet (oder ich habe sie nicht gefunden. Als entschuldigt die komplizierte Handhabung )

Ich habe ja schon mehrfach gepostet, dass ich nicht weiß in welcher Form komplexe Gleichungen gelöst werden müssen.
Bei den ersten Aufgaben die wir bei der Einführung der komplexen Zahlen berechnet haben, habe ich die Gleichungen immer nach z aufgelöst und dann den Winkel mit der Gleichung

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/01.gif
ausgerechnet . Das „r“ ist ja der Betrag von z.
Anschließend konnte ich dann die Ergebnisse in der Form:

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/02.gif
angeben, wobei es n-1 Ergebnisse gibt.

Ich habe die Aufgaben aber IMMER auf die Form z=….. gebracht.
Bei folgenden Aufgaben ist es aber nicht möglich.
Es bleibt auf der linken Seite der Gleichung immer mehr als „z“ übrig.
Meine Frage ist nun, ob es da eine Form gibt, die immer beachtet werden muss. Bei meinen zwei Beispielaufgaben ist die Gleichung immer so umgestellt worden, dass auf der linken Seite der Gleichung immer eine komplexe Zahl in der Form „ x+iy „ gegeben ist.

Stimmt das ?
Was aber mache ich dann mit dem Term der links steht (ist ja einiges mehr als „z“)

Hier aber die Aufgaben:

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/5.gif

Hier weiß nicht nicht wie ich an die Lösung komme ?

Gibt es beim angehen (also beim auflösen) solcher Gleichungen irgendeine Umformung die ich immer anwenden muss ? Wie ich das sehe muss ich auf der rechten Seite ja immer eine komplexe Zahl in der Form "x+iy" haben, oder ? Wie gehe ich dann weiter vor (mit dem Mischterm links)?

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

05.03.2005, 14:35

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Zur Berechnung einer algebraischen Darstellung von Quadratwurzeln komplexer Zahlen siehe hier diesen Beitrag von Leopold:

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=55481#post55481

Natürlich könnte das eine Formel sein, die du nicht anwenden darfst. In diesem Fall rate ich dir, das ganze "mathematisch ästhetischer" zu lösen: Indem du es jedesmal von neuem so herleitest, wie von Leopold beschrieben - wenn du es so besser verstehst...

P.S.: Da ist noch ein Vorzeichenfehler in deiner Umformung (von den vielen Nur-Schreibfehlern bei den Zwischenschritten mal abgesehen): Die letzte Zeile muss lauten:

$\begin{eqnarray*} (z-2i-1)^2=-1+7i \end{eqnarray*}$

05.03.2005, 15:11

DanielE

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HAst recht !
Wie würdest du denn jetzt weiter vorgehen ? (Wäre cool, wenn du mir das mal anhand dieser Aufgabe zeigen könntest) !!!

05.03.2005, 15:28

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Bei dir ist $\begin{eqnarray*} x+iy=-1+7i \end{eqnarray*}$ , also einfach $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=7 \end{eqnarray*}$ in

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}=\pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}+i \cdot s\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}\right) \end{eqnarray*}$

wobei s folgendermaßen zu wählen ist:
falls y>0: s=1
falls y<0: s=-1
falls y=0 und x>=0: s=irgendwas
falls y=0 und x<0: s=1 (oder s=-1)

einsetzen. Dann ist s=1 (wegen y=7>0) und folglich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1+7i}=\pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{(-1)^2+7^2}+(-1)\right)}+i \cdot \sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{(-1)^2+7^2}-(-1)\right)}\right) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1+7i}=\pm\left(\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}+i \cdot \sqrt{\frac{5\sqrt{2}+1}{2}}\right) \end{eqnarray*}$

Damit ergeben sich dann folgende Lösungen deiner quadratischen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z_1=1+2i+\left(\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}+i \cdot \sqrt{\frac{5\sqrt{2}+1}{2}}\right)=1+\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}+i \cdot \left(2+\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+1}{2}}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=1+2i-\left(\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}+i \cdot \sqrt{\frac{5\sqrt{2}+1}{2}}\right)=1-\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}+i \cdot \left(2-\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+1}{2}}\right) \end{eqnarray*}$

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