Vollständigkeitsaxiom nicht für Q

01.09.2007, 18:06

rick6

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Vollständigkeitsaxiom nicht für Q

Hi,

bin bald Studienanfänger und versuche mich, da ich schon länger kein Mathe mehr hatte, etwas in den Stoff einzuarbeiten anhand diverser Scripte.

Ich hänge jetzt beim Vollständigkeitsaxiom fest:

Das Axiom besagt: Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge A echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt ein Supremum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Jetzt heisst es in dem Script:
_____________

Das Vollständigkeitsaxiom gilt nicht für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Beweis (indirekter Beweis):
Sei A = {x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : x² < 2}

A $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ {}
A ist nach oben beschränkt durch 2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : s = supA
<=> $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : s² = 2

O.B.d.A. s = (m / n) mit m,n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ,teilerfremd

Somit s = m²/n = m²/n² = 2
<=> m² = 2 n² => m gerade

(<=> äquivalent, => daraus folgt)

und weiter: m² ist durch 4 teilbar
=> n² durch 2 teilbar
=> n gerade

-> Widerspruch (mit teilerfremd)!!
_______________

Also ich verstehe leider nur Bahnhof. Erstmal ist es merkwürdig für mich das etwas was für R gelten soll nicht in Q gilt (Q ist doch echte Teilmenge von R, müsste dann nicht das Axiom für R \ Q gelten?).

Zum anderen kann ich den ganzen Schlussfolgerungen über teilbarkeit usw. nicht folgen, einfach zu viel Information in zu wenig Worten für mich.

Als ich das ganze mal verkürzt gesehen habe dachte ich es geht nur darum das es eben keine Zahl in Q gibt, die zum Quadrat 2 ergibt (Wurzel 2 ist ja irrational und damit nicht als Bruch darstellbar und damit nicht in Q), und somit dann das Supremum 2? nicht in Q ist und somit nicht existiert?

Also ich stehe völlig auf dem Schlauch, kann mir vielleicht jemand das ganze etwas genauer erklären, warscheinlich liege ich ganz weit daneben.

Schon mal vielen Dank, falls jemand sich die Zeit nimmt!

01.09.2007, 18:25

kiste

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Kurz und prägnant zeigt das Beweis das $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nicht rational ist.
Da das Supremum der Menge genau Wurzel 2 ist, existiert das Supremum nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Welchen Beweisschritt verstehst du den nicht?

01.09.2007, 18:29

quarague

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das Vollstaendigkeitsaxiom besagt, das eine beschraenkte Teilmenge in IR ihr supremum auch in IR hat.
Anschaulich koennte man sagen, IR hat "keine Loecher". Das erklaert auch, warum dieses Axiom fuer eine Teilmenge der reellen Zahlen nicht notwendig gelten muss. Die rationalen Zahlen haben "Loecher", die irrationalen Zahlen liegen zwischen den rationalen.
Der Beweis ist das ein kontretes Beispiel fuer eine Teilmenge in IQ deren supremum keine rationale Zahl ist.

01.09.2007, 18:29

Gnu

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Hallo,

ich denke das Problem ist dass die Kette der Argumentation anders rum geht als Du hier denkst: man fängt mit Q an, und scheitert dabei an gewissen Hürden - wie die Irrationalität der Wurzel von 2 - durch das Vollständigkeitsaxiom erweitern wir Q auf IR und haben dort das Problem nicht mehr. Daher "vererbt" sich die Vollständigkeit nicht von IR auf Q: IR ist explizit von Q abzugrenzen dadurch, dass in IR das Vollständigkeitsaxiom gilt und in Q nicht.

Zum Beweis: in der Wikipedia steht der Beweis genau so nochmal drin, allerdings etwas ausführlicher als die von Dir hier gepostete Fassung: http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Bew...el_aus_2#Beweis
Vllt ist es da ein wenig verständlicher. Wichtig ist zu sehen dass Du einmal sagen kannst m muss gerade sein, daher ist m ein Produkt 2x, wobei x gerade oder ungerade ist, also ist m² = 4*x² und nach Division von 2 auf beiden Seiten hast Du: 2*x²=n² - also muss n auch gerade sein, weil das Quadrat einer geraden Zahl immer gerade ist. Daher sind m und n beide gerade, also mit 2 kürzbar und daher nicht teilbar, Widerspruch zur Annahme.

Vielleicht hab ich Dir hier nur nochmal gesagt was Du eh schon vorher nicht verstanden hast, aber vllt ist dabei auch der berühmte Groschen gefallen.

01.09.2007, 18:29

tigerbine

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Zitat:

Also ich verstehe leider nur Bahnhof. Erstmal ist es merkwürdig für mich das etwas was für R gelten soll nicht in Q gilt

Ändere mal den Blickwinkel. Baue die Zahlenmengen nacheinander auf.

$\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Nun ist IN eine echte Teilmenge von Z. Dennoch kann man die Gleichung

2 + n = 0

über den natürlichen Zahlen nicht lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn die Inverse liegt in Z\N

01.09.2007, 19:16

rick6

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Hi,

also erstmal danke für die vielen Antworten.

Ich denke ich habs jetzt (fast) verstanden und vor allem sehe ich jetzt auch meine Denkfehler. Hab auch das Wiki Beispiel angesehen.

Ich versuch das jetzt mal in Worten wiederzugeben:

Also man soll beweisen das das Vollständigkeitsaxiom nicht in IQ gilt.

Dazu macht man einen beweis durch Wiederspruch, in dem man vom Gegenteil ausgeht (es gilt in IQ)

Das heisst man geht davon aus das ein x in IQ existiert, für das x²= 2 ist.
( das dann das supremum ist in IQ)

Da die Zahl in IQ ist müssen m,n Teilerfremd sein, dies versucht man zu beweisen und findet aber durch rechnen heraus das sie beide gerade und somit nicht teilerfremd sind.

=>An der Stelle hab ich noch ein Problem, teilerfremd heisst doch keine gemeinsame Teiler. Wiso ist das so wichtig, das ist doch keine Bedingung das eine Zahl in IQ ist oder doch? Ich meine 5/10 ist nicht Teilerfremd, dann Kürzt man mit 5 und hat 1/2 element IQ?

Und ich verstehe nicht ganz wie man darauf kommt z.B. diesen Schritt (aus dem Wiki-Beispiel) durchzuführen um zu zeigen das q gerade ist:
p² = 2q²

Wir bezeichnen die ganze Zahl (p/2) als r und erhalten

2q² = p² = (2r)² = 4r²

und hieraus nach der Division durch 2

q² = 2r².

(Sry bei mir ist mathe echt 100 Jahre her, bzw. kommt es mir so vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

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01.09.2007, 19:29

Lazarus

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Wähle zwei beliebige Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$
Die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ kann nun entweder bereits vollständig gekürzt sein oder $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ lassen sich darstellen z.b. durch $\begin{eqnarray*} p=k\cdot n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=k\cdot m \end{eqnarray*}$ . wobei $\begin{eqnarray*} k,m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Damit erhält man $\begin{eqnarray*} \frac{k\cdot n}{k\cdot m}=\frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ hier kann man nun genauso vorgehen und kürzen solange bis $\begin{eqnarray*} \mathop{ggt}\left(m,n\right)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Erleichtern kann man sich das, indem man obda annimmt das p und q bereits teilerfremd sind.

Deinem Problem bei dem Beweis kann ich nicht folgen, wo hängst du genau ? bei der Substitution oder bei der Umformungen oder der Schlussfolgerung ?

lg

01.09.2007, 19:59

rick6

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Hi Lazarus,

Zitat:

Wähle zwei beliebige Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Also das verstehe ich, mir ist nur nicht ganz klar: Der ganze Beweis (siehe letzte Beiträge) baut doch darauf auf, zu zeigen das x nicht Element IQ sein kann. Und dies wird doch dadurch erreicht das man sagt es ist nicht in IQ weil m,n nicht teilerfremd sind, obwohl doch aus 2 nicht teilerfremden Zahlen durch kürzen eine teilerfremde Zahl entsteht, oder? Am Ende heisst es ja "> Widerspruch (mit teilerfremd)!!". Vielleicht hab ich da was missverstanden?

Zitat:

Deinem Problem bei dem Beweis kann ich nicht folgen, wo hängst du genau ? bei der Substitution oder bei der Umformungen oder der Schlussfolgerung ?

Ich möchte ungern sagen bei allen 3en Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also vor allem verstehe ich nicht wie man auf die Substitution kommt, also das "Wir bezeichnen die ganze Zahl (p/2) als r und erhalten...".
(Natürlich ist das völlig klar wenn man es liest, aber wie kommt man aus der Beweisführung darauf zu sagen, okay ich setzte p/2 = r und rechne dann die nächsten Schritte?) Ich weiß, blöde Frage.

Schonmal Danke, das hilft mir wirklich weiter.

01.09.2007, 20:16

therisen

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Zitat:

Das Erstellen von Beiträgen
Bevor Du ein neues Thema erstellst, benutze bitte die Suchfunktion, um nachzusehen, ob Deine Frage nicht schon gestellt und womöglich sogar beantwortet wurde.

Siehe Prinzip "Mathe online verstehen!"

Ich habe das mal für dich getan (suche nach "irrational", "Irrationalität"):

Irrationalität der Wurzel 2 - Beweis?
irrationale n-te wurzel beweis
Keine rationale Lösung für x²=3
Quadratwurzel/ rationa oder irrational

Es gibt noch mehr Threads dazu...

Gruß, therisen

01.09.2007, 20:19

Lazarus

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Der Beweis baut darauf auf, dass man zeigt, dass die Wahl $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}=2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht möglich ist. Glaube das hast du verstanden.

Zum eigentlichen Beweis:

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}&=&2\\ & & \\p^2&=&2q^2 \end{eqnarray*}$
Das bedeutet ja, das p eine gerade Zahl sein muss, da links ja als einer der Faktoren 2 ist.

Gerade Zahlen lassen sich als $\begin{eqnarray*} p=2g \end{eqnarray*}$ darstellen. oder umgeformt: $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2}=g \end{eqnarray*}$ was ja soviel bedeutet wie "eine gerade zahl lässt sich durch 2 teilen, und man erhält wieder eine ganze zahl".

im Folgenden wird dann einfach eingesetzte und ausquadriert und daraus folgt dann, das $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ auch hätte gerade sein müssen.

Dann haben wir den Widerspruch den wir gesucht haben, denn wir haben ja eigentlich zwei teilerfremde zahlen gehabt, allerdings stellt sich raus, sie hätten die 2 als primfaktor gemeinsam gehabt.

Wie man darauf kommt, da kann ich nur sagen: man sieht das es einem weiter hilft. Ich weiss nicht wieso manche Leute sowas sehn, und manche nicht. Erfahrung hilft da sicher, aber Intuition oder "Auge" (nicht der Klaus sondern das gute ~ ) sicherlich auch.

01.09.2007, 20:44

rick6

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Hi Lazarus,

danke für die Hilfe, ich denke ich habs jetzt verstanden.

Nur mit diesem einen Satz komme ich nicht klar, sry:

Zitat:

Dann haben wir den Widerspruch den wir gesucht haben, denn wir haben ja eigentlich zwei teilerfremde zahlen gehabt, allerdings stellt sich raus, sie hätten die 2 als primfaktor gemeinsam gehabt.

Warscheinlich liegts an mir, also das Problem ist für mich. Wir haben doch nie gesagt das es eigentlich zwei teilerremde zahlen sein müssen oder? Ich meine 5/15 ist element von IQ oder? Nicht teilerfremd, wird durch kürzen zu 1/3. Wenn wir jetzt rausbekommen "sie hätten die 2 als primfaktor gemeinsam gehabt" ist das doch kein Grund das (p/q)²=2 irrational ist oder?

Ich werde dazu am besten noch etwas rumsuchen.

Zitat:

therisen: Siehe Prinzip "Mathe online verstehen!"

Ich habe das mal für dich getan (suche nach "irrational", "Irrationalität"):

Irrationalität der Wurzel 2 - Beweis?
irrationale n-te wurzel beweis
Keine rationale Lösung für x²=3
Quadratwurzel/ rationa oder irrational

Es gibt noch mehr Threads dazu...

Gruß, therisen

Oh vielen dank. Ich möchte ja nicht unhöflich erscheinen, aber ich kenne die Forenregeln und ich weis was eine Suchfunktion ist.
Wenn ich allerdings auf meine Frage keine Antwort im Internet finde (wo ich, bevor ich in nem Forum Poste was wirklich selten ist, immer suche) und hier in der Suchfunktion, warscheinlich weil ich andere Suchbegriffe verwendet habe als du, keine Threads finde, bin ich leider dazu gezwungen einen Thread zu erstellen, tut mir leid. Das nächste mal werde ich am besten noch 20 andere begriffe Probieren und 50 andere Threads lesen.

01.09.2007, 21:21

therisen

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Zitat:

Original von rick6
Wir haben doch nie gesagt das es eigentlich zwei teilerremde zahlen sein müssen oder?

Doch. Nach Voraussetzung war der Bruch vollständig gekürzt, d.h. Zähler und Nenner sind teilerfremd. Wenn man dann aber herausfindet, dass der Bruch doch nicht vollständig gekürzt ist, ist das ein Widerspruch Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.09.2007, 21:27

rick6

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Zitat:

Doch. Nach Voraussetzung war der Bruch vollständig gekürzt, d.h. Zähler und Nenner sind teilerfremd. Wenn man dann aber herausfindet, dass der Bruch doch nicht vollständig gekürzt ist, ist das ein Widerspruch

Danke! Daran hats von anfang an gehackt. Jetzt hab ichs (endlich) verstanden.

Nochmal danke für die Hilfe & cu!

01.09.2007, 21:56

papahuhn

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Teilerfremdheit braucht man nicht unbedingt. Da die Primfaktorzerlegung einer Zahl eindeutig ist, und der 2er Exponent auf der linken Seite von $\begin{eqnarray*} p^2 = 2q^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, auf der rechten Seite aber ungerade, kann die Gleichheit nicht gelten.

02.09.2007, 00:12

Soliton

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Zitat:

Original von papahuhn
Teilerfremdheit braucht man nicht unbedingt. Da die Primfaktorzerlegung einer Zahl eindeutig ist, und der 2er Exponent auf der linken Seite von $\begin{eqnarray*} p^2 = 2q^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, auf der rechten Seite aber ungerade, kann die Gleichheit nicht gelten.

Man kann vermutlich jedes Problem, das sich mit einfachen Mitteln lösen läßt, auch kompliziert lösen. Es geht bei diesem geradezu kanonischen Beispiel bzw. Beweis bekanntlich aber gerade darum, Studienanfängern mathematische Schlußweisen an einem simplen Beispiel vorzuführen. Wer wollte in der ersten Vorlesung denn schon die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung beweisen?

Übrigens benutzt Deine Überlegung zusätzlich, daß 2 eine Primzahl ist und sich in der Tat im "q^2" keine weitere "2" verbergen kann. (Dir ist das klar, aber wenn man schon etwas Fundamentales wie die Irrationalität der Wurzel aus 2 beweisen will, dann sollte man m. E. nichts voraussetzen, was noch komplexer ist.) Das wäre jedenfalls beides bitteschön auch noch zu beweisen. Und damit wird die Sache dann doch umständlicher.

02.09.2007, 00:43

Lazarus

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Keineswegs! Nimmt man an, $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ enthielten weitere 2er als Faktoren ginge es selbstverständlich.

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dargestellt durch $\begin{eqnarray*} p=2^i\cdot n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} i\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ . Dabei soll $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine weiteren 2er mehr enthalten. $\begin{eqnarray*} 2^i \end{eqnarray*}$ also die höchstmögliche 2erpotenz sein.

Daraus folgt nun $\begin{eqnarray*} p^2=2^{2i}n^2 \end{eqnarray*}$ .

Gleiches kann man für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ durchführen und erhält $\begin{eqnarray*} q=2^j\cdot m \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt $\begin{eqnarray*} p^2=2^{2i}n^2\stackrel{?}{=}2^{2j+1}m^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ und wir haben den Widerspruch.

Dabei sollte die Argumentation " $\begin{eqnarray*} 2^i \end{eqnarray*}$ ist nach definition die höchste Potenz und somit in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ keine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ mehr enthalten" ausreichen, anders ist das vorgehen beim "normalen Beweis" mit der Teilerfremdheit ja auch nicht.

Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist wie ich finde ausserdem grundlegender, allerdings geringfügig länger zu beweisen. Will man sich also wirklich darauf versteifen so ist das kein großes Problem.

02.09.2007, 14:45

Soliton

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Zitat:

Original von Lazarus
Keineswegs!

Keineswegs - was? Ich sehe mich durch Deinen Beitrag überhaupt nicht widerlegt, eher noch bestätigt. smile

smile

Denn Du bringst es selbst auf den Punkt:

Zitat:

Original von Lazarus
Dabei sollte die Argumentation " $\begin{eqnarray*} 2^i \end{eqnarray*}$ ist nach definition die höchste Potenz und somit in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ keine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ mehr enthalten" ausreichen, anders ist das vorgehen beim "normalen Beweis" mit der Teilerfremdheit ja auch nicht.

Was Du in Deinem Beweis machst, ist nichts weniger als "2en" zu kürzen. Und das wiederum ist der einzige Aspekt der Teilerfremdheit, die im "normalen" Beweis benutzt wird. Man hätte also auch im normalen Beweis sich darauf beschränken können, die "2en" soweit zu kürzen wie möglich. Dafür braucht man nicht die Eindeutigkeit detr Primfaktorzerlegung, m. E. braucht man dafür auch die Existenz der allgemeinen Primfaktorzerlegung nicht - lediglich muß man wissen, was es bedeutet, daß eine Zahl "gerade" ist.

Übrigens setzt Du bei Deiner Darstellung voraus, daß die Wurzel aus 2 keine natürlich Zahl ist (oder, daß Wurzel aus 2 und 2 beides Primzahlen sind). Das sind beides Fakten, die an dieser Stelle wohl etwas aufwendiger zu beweisen sind, mehr Hilfsmittel, Definitionen usw. benötigen.

Deswegen ist auch Dein Beweis komplizierter als der "normale", aber nicht viel, daher richtet sich gegen Deinen Beweis meine Kritik eher nicht.

Meine Kritik richtete sich aber gegen das obige Zitat, nachdem der Beweis hier mit einem Satz und der Bemerkung zur Primfaktorzerlegung zu erschlagen sei. Wenn man aber Primfaktorzerlegung benutzen will (das tust Du nicht oder jedenfalls nur in so rudimentärer Form wie schon der "normale" Beweis, nämlich lediglich bezüglich des Faktors "2"), ist das a) bei diesem Beispiel und aus Sicht des Fragestellers (m. E.) didaktisch verfehlt und b) fehlt dann noch etwas, s. o.

Zitat:

Original von LazarusDie Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist wie ich finde ausserdem grundlegender, allerdings geringfügig länger zu beweisen. Will man sich also wirklich darauf versteifen so ist das kein großes Problem.

Da widerspreche ich an sich nicht. Es geht aber um die Frage, wie man in der ersten Analysis-Vorlesung den Studis eine kleinen Beweis vorführt, der nicht völlig trivial und andererseits ohne zahlentheoretische Vorbildung akzeptabel ist. M. W. wird die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in der Schule nicht zwangsläufig thematisiert, und wenn, dann allenfalls in der sechsten Klasse - wer soll sich daran noch erinnern? Bevor man aber hergeht und die Existenz, geschweigedenn die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung beweist (überleg Dir mal, welcher Hilfsmittel es dazu bedarf und daß diese alle in der Vorlesung eingeführt werden müßten), kann man sich mit dem "normalen" Beweis auf weniger beschränken, namentlich nicht mehr als den Begriff "gerade Zahl" und "Kürzen von 2" sowie "Wie multipliziert man zwei natürliche Zahlen". Übrigens verdeckt die "normale" Formulierung des "normalen" Beweises das. Denn wenn man von Teilerfremdheit i. a. redet, dann setzt man m. E. doch im Grunde die Primfaktorzerlegung voraus (wenn auch nicht die Eindeutigkeit). In Wahrheit genügt hier aber, wie gesagt, das Kürzen von "2en". Und das ist, insoweit spielt die 2 eine Sonderrolle, auch ohne Primdaktorzerlegung einsichtig.

Komplizierter geht's immer. Ich kann auch mit dem Satz von Tychonoff zeigen, daß [0; 1] x {0} kompakt ist in R^2. smile

smile

Das ist aber alles, mal wieder, keine mathematische Frage, sondern eher eine didaktische. Darüber kann man, oder auch nicht, streiten. smile

smile

02.09.2007, 14:56

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich dich wohl falsch verstanden. Ich glaube nicht über Didaktik streiten zu können, dazu liegt sie mir nicht genug, bzw ich hab mich evtl. nie genauer damit befasst.

Zum eigentlichen Thema noch:
Ich persönlich finde ohnehin diesen konstruktiven Beweis den Leopold hier gebracht hat eleganter.

02.09.2007, 17:34

Soliton

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lazarus
Ich persönlich finde ohnehin diesen konstruktiven Beweis den Leopold hier gebracht hat eleganter.

Dann auch nur der Vollständigkeit halber noch: Weder der Beweis von Leopold, noch die Verallgemeinerung von Gustav kommen letztlich ohne Primfaktorzerlegung aus. Und "konstruktiv" sind sie auch nicht, d. h. sie kommen, soweit ich das so schnell überblicke, nicht ohne Kontraposition aus.

02.09.2007, 17:37

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Soliton
Übrigens benutzt Deine Überlegung zusätzlich, daß 2 eine Primzahl ist und sich in der Tat im "q^2" keine weitere "2" verbergen kann. (Dir ist das klar, aber wenn man schon etwas Fundamentales wie die Irrationalität der Wurzel aus 2 beweisen will, dann sollte man m. E. nichts voraussetzen, was noch komplexer ist.) Das wäre jedenfalls beides bitteschön auch noch zu beweisen. Und damit wird die Sache dann doch umständlicher.

Da ist keine zusätzliche Annahme drin. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. in $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ ist jede Primzahl in Paaren oder gar nicht vertreten. Das gilt auch für die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Demnach gibt es insgesamt ungerade viele 2en in $\begin{eqnarray*} 2q^2 \end{eqnarray*}$ .

02.09.2007, 18:24

Soliton

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von papahuhn

Zitat:

Original von Soliton
Übrigens benutzt Deine Überlegung zusätzlich, daß 2 eine Primzahl ist und sich in der Tat im "q^2" keine weitere "2" verbergen kann. (Dir ist das klar, aber wenn man schon etwas Fundamentales wie die Irrationalität der Wurzel aus 2 beweisen will, dann sollte man m. E. nichts voraussetzen, was noch komplexer ist.) Das wäre jedenfalls beides bitteschön auch noch zu beweisen. Und damit wird die Sache dann doch umständlicher.

Da ist keine zusätzliche Annahme drin. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. in $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ ist jede Primzahl in Paaren oder gar nicht vertreten. Das gilt auch für die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Demnach gibt es insgesamt ungerade viele 2en in $\begin{eqnarray*} 2q^2 \end{eqnarray*}$ .

Ersetze in meinem ersten Satz oben "und" durch "oder".

Du brauchst zumindest die Annahme, daß 2 eine Primzahl ist. Oder, daß die Wurzel aus 2 keine Primzahl ist. Andernfalls könnte sich ein Faktor Wurzel 2 in q verstecken.

02.09.2007, 19:51

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Soliton
Du brauchst zumindest die Annahme, daß 2 eine Primzahl ist. Oder, daß die Wurzel aus 2 keine Primzahl ist. Andernfalls könnte sich ein Faktor Wurzel 2 in q verstecken.

Mit welchem Wissen möchtest du denn starten, dass du diese Informationen nicht als selbstverständlich ansiehst? Peano-Arithmetik und sonst nichts?

02.09.2007, 20:39

Soliton

Auf diesen Beitrag antworten »

Pardon, jetzt schreiben wir aneinander vorbei. Das ursprüngliche Thema ist sowieso erledigt. Meine Ansicht, daß der "normale" Beweis - ohne Primfaktorzerlegung - an der vom Threadersteller beobachteten Stelle der didaktisch gebotene ist, habe ich ebenfalls erläutert. Nun ging es nur noch darum, welche Voraussetzungen Du stillschweigend noch verwendet hast. Da warst Du ursprünglich anderer Meinung, darauf habe ich geantwortet. Und auch das haben wir anscheinend geklärt. - Daß man auch für den '"normalen" Beweis in der ersten Vorlesungsstunde allerlei voraussetzen muß, steht außer Frage. Ich habe außerdem nie gesagt, daß der "normale" Beweis für sich stehen kann. Lediglich, daß er unter den möglichen Beweisvarianten bislang derjenige ist, der mit den geringsten Voraussetzungen auskommt. Ich sage nicht einmal, daß die Unterschiede gravierend sind. Eigentlich wollte ich nur anmerken, daß aus der Perspektive des Fragestellers der Hinweis auf die Primfaktorzerlegung meiner Ansicht nach die Sache nicht einfacher macht. smile

smile

04.09.2007, 16:50

Merle23

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständigkeitsaxiom nicht für Q
Servus,
mit dem Beweis, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl ist, hat man aber noch lange nicht bewiesen, dass die Menge kein Supremum in Q besitzt!

D.h. mich stört hauptsächlich gleich der Anfang des Beweises,

Zitat:

Original von rick6
A $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ {}
A ist nach oben beschränkt durch 2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : s = supA
<=> $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : s² = 2

nämlich der letzte Äquivalenzpfeil. Der ist total falsch (sieht man, wenn man alle 'Q' durch 'N' ersetzt)! Der sagt ja aus (weil das ein Widerspruchsbeweis werden soll), dass weil das Supremum eine irrationale Zahl ist, deswegen die Menge in Q kein Supremum hat.

Betrachten wir aber mal das Supremum in N. Da existiert es nämlich, obwohl Wurzel 2 keine natürliche Zahl ist, d.h. die Begründung, dass weil Wurzel 2 nicht in Q liegt, es deswegen kein Supremum in Q gibt, ist falsch.

Der Grund dafür, dass es kein Supremum gibt, ist der, dass es keine nächstgrößere rationale Zahl als Wurzel 2 gibt (weil die rationalen Zahlen dicht liegen). Wohl aber eine nächstgrößere natürliche Zahl, wodurch es in N wieder funktioniert.

Der Beweis ist also bei weitem nicht vollständig/richtig, denn das, was eigentliich bewiesen werden sollte, wird übergangen! Statt dessen wird bewiesen, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl ist, was mit dem eigentlichen Beweis wenig zu tun hat (man kann es dazu benutzen, um den Beweis zu führen, mehr nicht).

Der Alex

04.09.2007, 17:53

rick6

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr macht mich fertig...

Zitat:

<=> $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : s² = 2

Hab nochmal nen Blick ins Script geworfen, es gibt zu dieser Zeile noch eine Fußnote die ich euch nicht vorenthalten will:

Für alle z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : z < 2
$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : z < c < 2
c := (z+2) / 2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

04.09.2007, 19:00

Soliton

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständigkeitsaxiom nicht für Q

Zitat:

Original von Merle23
nämlich der letzte Äquivalenzpfeil. Der ist total falsch (sieht man, wenn man alle 'Q' durch 'N' ersetzt)!

Da widerspreche ich. In IQ ist die Äquivalenz total richtig. Das liegt, wie Du später richtig bemerkst, siehe auch das anschließende Posting von rick, in der Tat daran, daß IQ dicht in |R (oder, was auch genügt: in IN) liegt.

Entscheidend ist die Beobachtung, daß die Wurzel aus 2 das Supremum sein müßte (oder präziser: die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt). In IN wäre das nicht so, das stimmt.

Ich gebe Dir zu, daß man die Äquivalenz an dieser Stelle gerne etwas mehr begründen könnte. Sie bleibt trotzdem richtig.

Letztlich sind wir vielleicht einig, ich wollte es nur klarstellen.

04.09.2007, 19:05

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständigkeitsaxiom nicht für Q

Zitat:

Original von Soliton
daß IQ dicht in |R (oder, was auch genügt: in IN) liegt.

[BESSERWISSER]
IQ liegt zwar dicht in IR, aber nicht dicht in IN, da IQ keine Teilmenge von IN ist.
[/BESSERWISSER]

04.09.2007, 19:14

Soliton

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständigkeitsaxiom nicht für Q

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Soliton
daß IQ dicht in |R (oder, was auch genügt: in IN) liegt.

[BESSERWISSER]
IQ liegt zwar dicht in IR, aber nicht dicht in IN, da IQ keine Teilmenge von IN ist.
[/BESSERWISSER]

Und schon wieder ist die Rübe ab. Na gut, aber Du weißt doch, wie ich es meinte - und die anderen hoffentlich auch. Ich verstehe "Dichtheit" dann an dieser Stelle ausnahmsweise so, daß eine Menge M dann dicht in einer Menge N liegt, wenn jede Umgebung von N... ach, seufz. Prost

Prost

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