Differenzenquotient

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lamox79 Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzenquotient
Hallo!

Ich habe da mal eine Frage zur Bildung des Differenzenquotienten von

f(x) = e^x sowie zu f(x) = ln (x).

Wie sehen die Differenzenquotienten dazu aus?
Kann mir da jemand weiterhelfen.

Danke!
Iion2 Auf diesen Beitrag antworten »

Differenzenquotienten = Ableitungen ? verwirrt
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung = Differentialquotient = Grenzwert des Differenzenquotienten
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib Dir den mal auf:





Und lnx einfach auch so:
usw...

Gruss
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ganz simpel gefragt, willst Du die Ableitungen der Funktionen über den Differentialquotienten herleiten oder wie?

Also mit "h gegen 0" oder "x_0 gegen 0" oder sowas, mit dem Limes halt?
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

ist zwar im endeffekt latte, aber , oder?
 
 
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir auch...hab nich durchgerechnet ob das andere auch geht, aber das is die überall verwendete Form für den Grenzwert...
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spooner
ist zwar im endeffekt latte, aber , oder?


Steht das nicht bei mir? Augenzwinkern

EDIT: Oh sorry, habs falsch gemacht oben

EDIT 2: Oben editiert, tschuldigung
lamox79 Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit e^x ist mir einleuchtend.

Aber wie ist es denn dann bei ln (x), denn hier ist die Ableitung ja 1/x und da kommenwir hier mit dem Differenzenqoutienten nicht drauf.

Gruß, Lamox
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt doch schon Ableitung von e^x berechnet.
Jetzt weiß man, dass log die Umkehrd´funktion (!) von exp ist.
Wie erhält man die Ableitung Umkehrfunktion aus der Ableitung der Funktion?
lamox79 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich

f(x) = e^x und f`(x) = e^x habe und die Umkehrfunktion f^-1 = ln (x)
ist, dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion:

f^-1(y)`= 1/f`(x)

Also: f^-1(y)`= 1/e^lnx = 1/x.

Richtig???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lamox79
f^-1(y)`= 1/f`(x)

Also: f^-1(y)`= 1/e^lnx = 1/x.

Ein bißchen fehlt mir da die formale Präzision. Jetzt hast du auf der linken Seite die Variable y und auf der rechten Seite die Variable x. Das paßt nicht so ganz zusammen. Wenn du jetzt für x wieder ln(y) einsetzst, steht da: f^-1(y)`= 1/ln(y) Irgendwie ist das falsch.
Ich würde es so schreiben:
Es ist f(x) = e^x = y, f^-1(y) = ln(y) = x. Folglich gilt: f^-1(f(x)) = x
Wenn man das nach x differenziert, gilt:

Also:
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

Rock Rock Rock

Evtl. noch eben sagen, warum Du diesen Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion hier anwenden darfst...

P.S. Vielleicht packt Dich ja der Ehrgeiz und Du fragst Dich, ob das denn die einzige Methode sei, oder ob es einen "direkten" Weg gibt?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@lamox: Man kann ln( x) schon direkt mit dem Differenzenquotienten machen! Aber es ist relativ umständlich...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Frooke
Naja, umständlich würde ich nicht sagen, wenn man weiß, dass



und dass der Logarithmus stetig ist!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS: Hast recht, aber umständlich ist so ein relativer Begriff Augenzwinkern ... Nein, es geht wie gesagt schon, aber es braucht etwas mehr Zeilen als bei e^x...

Gruss Frooke
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Nein, es geht wie gesagt schon, aber es braucht etwas mehr Zeilen als bei e^x...

Nein, würde ich auch nicht sagen, mit dem von mir angesprochenen Grenzwert ist es höchstens ein Zweizeiler.
Hingegen ist es schwer genug, zu zeigen, dass , was ebenfalls genug Zeilen braucht.
smile
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS: Hast recht, aber wir haben es in der Schule mal ohne das - und deshalb - viel länger gemacht...

Aber ich will noch grad was fragen, wenn unser Spezi schon da mitschreibt Augenzwinkern ...
Nehmen wir die Funktion

Dann ist

Da man aber weiss, dass

kann man f doch umschreiben in

Damit wäre f' nach der Kettenregel:

Also folgt daraus zwangsläufig
.

Stimmt meine Überlegung?

Lieber Gruß
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